Sở gd và ĐT thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn : Toán Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1 : Cho biểu thức ( ) a a aaaa A a + ++ = 2 : 1 a) Tìm a để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn A Bài 2 : Cho 2 số dơng x,y thoả mãn x+y=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 22 1 1 1 1 yx B Bài 3 : Cho phơng trình 2 1 )1( 4 2 = xm x (m là tham số ) a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với m R b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm 21 , xx thoả mãn biểu thức 2 212 2 1 xxxx + đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị này Bài 4 : Một vận động viên bắn súng đã bắn hơn 11 viên và đều trúng vào vòng 9,10 điểm; tổng số điểm đạt đợc là 109 điểm. Hỏi vận động vieen đó đã bắn bao nhiêu viên và kết quả bắn vào các vòng ra sao? Bài 5 : Giải phơng trình 5168143 =++++ xxxx Bài 6 : Cho parabol(P) : y= 2 4 1 x và đờng thẳng (d) : y= mx 2m 1 a) tìm m để đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) b)chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định )(PA Bài 7: Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình 1820137 22 =+ yx Bài 8 : Cho tam giác nhọn ABC, gọi AH,BI,CK là các đờng cao của tam giác Chứng minh rằng CBA S S ABC HIK 222 coscoscos1 = Bài 9: Cho hình vuông ABCD. Gọi MNPQ là tứ giác lồi có 4 đỉnh lần lợt nằm trên 4 cạnh của hình vuông. Xác định tứ giác MNPQ sao cho nó có chu vi nhỏ nhất Bài 10 : Cho đờng tròn (O;R) và điểm P cố định ở ngoài đờng tròn, vẽ cát tuyến PBC bất kì . tìm quỹ tích các điểm O 1 đối xứng với O qua BC khi cát tuyến PBC quay quanh P Sở gd và ĐT thanh hoá Đáp án đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn : Toán Thời gian làm bài : 150 phút Bài Nội dung Điểm Bài 1 (2 đ) a) Tìm a để biểu thức A có nghĩa Biểu thức A có nghĩa khi > 1 0 1;0 0 0 0 2 a a aa a aa a Vậy A có nghĩa khi và chỉ khi a>0 và a 1 b) Rút gọn A(1,5 điểm) 1 1 1 1 . 1 1 )1)(1( 1 . 1 1 )1( 1 . 1 )1( 3 = + = = +++ ++ = + ++ = a aa aaaa aa aa a aaa A Vậy A= 1 1 a 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ Bài 2 (2đ) Ta có : 2222 22 )1)(1)(1)(1()1)(1( yx yyxx yx yx P ++ = = Thay x+y = 1 theo giả thiết, ta đợc = = xy yx 1 1 xyxy xyyx xy yx P 2 1 1)1)(1( += +++ = ++ = P nhỏ nhất khi xy 2 nhỏ nhất, khi đó xy lớn nhất 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ Vì x+ y=1 xy = 1 xy=x(1-x)=-x 2 +x = -(x- 4 1 4 1 ) 2 1 2 + xy lớn nhất bằng 4 1 khi và chỉ khi x=y= 2 1 Vậy P 9 2 1 . 2 1 2 1 min =+= khi x=y= 2 1 0,25 đ 0,25 đ Bài 3 (2đ) a) Ta có 2 1 )1( 4 2 = xm x x 0244 2 =+ mmx 01)12( 2, >++= m với Rm Do đó phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với m (đpcm) b) theo định lý Viet = =+ 24. 4 21 21 mxx mxx 11)14( 816)24(4 )( 2 2 2121 2 212 2 1 += +=+= +=+ m mmmm xxxxxxxx Vậy Min ( 2 212 2 1 xxxx + )=-1 Khi 4m+1=0 4 1 = m 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ Bài 4 (2đ) Gọi x, y lần lợt là số lần bắn trúng vào các vòng 9, 10 điểm (x; y N )Vì vận động viên đã bắn hơn 11 viên nên ta có x+y >11 (1) Vì vận động viên đạt đợc tổng điểm là 109 nên : 9x+10y = 109 (2) yyx yyx =+ =+ 109)(9 10999 9 109 )(109)(9 <+<+ yxyx (3) Từ (1) vầ (3) ta có 11<x+y< 9 109 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Bài 5 (2đ) mà x,y 12=+ yxN (4) Kết hợp (2) và (4) = = =+ =+ 1 11 12 109109 y x yx yx Vậy vận động viên đã bắn 12 viên và kết quả là 11 viên vào vòng 9 và 1 viên vào vòng 10 5168143 =++++ xxxx (điều kiện x 1 ) 0,5 đ 0,25 đ (*) -trờng hợp 521021 xxx thì 521 2121(*) == =+ xx xx thoả mãn điều kiện x 1 - trờng hợp 5121021 <<< xxx (*) 2112 =+ xx phơng trình nghiệm đúng với mọi x [ ) 5;1 kết hợp cả 2 trờng hợp ta có tập nghiệm của phơng trình là x [ ] 5;1 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Bài 6 (2đ) a) phơng trình hoành độ giao điểm của (p) và (d) là : 22' 2 2 )1(4484 0484 12 4 1 +=++= =+ = mmm mmxx mmxx Để (d)tiếp xúc với (p) thì 10 ' == m b) (d) : y=mx-2m-1 01)2( = yxm Nếu x=2 thì y=-1 với Rm Vậy (d) luôn qua điểm cố định A(2;-1) A )(P Vì toạ độ của A nghiệm đúng của phơng trình (P) 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 2121 53121 5)31()21( 22 =+ =++ =++ xx xx xx (đpcm) Bài 7 (2đ) Vì 1820 13 và 13y 13713 22 x mà (7,13)=1 13 2 x 13 là số nguyên tố 13x đặt x=13m (m )Z . tơng tự ,1820 7 và 7x 7137 22 y mà (7,13)=1 7 2 y 7y đặt y=7n(n )Z . thay x=13m; y=7n (n )Z .vào phuơng trình ta đợc : 7(13m) 1820)7(13 22 =+ n 20713 22 =+ nm (*) suy ra : 13 20 2 m vì (m )Z . ( ) == == 7 20 0 /11 22 22 nm MTnm ( loại vì (n Z) Với 1 2 =m và 1 2 =n phơng trình (*) có các nghiệm : = = = = = = = = 1 1 ; 1 1 ; 1 1 ; 1 1 n m n m n m n m Suy ra phơng trình đã cho các nghiệm = = = = = = = = 7 13 ; 7 13 ; 7 13 ; 7 13 y x y x y x y x 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Bài 8 (2đ) Lu ý học sinh không vẽ hình không chấm điểm Ta có : ABC CIH ABC BHK ABC AKI ABC HIK CIHBHKAKIABCHIK S S S S S S S S SSSSS = = 1 0,25 đ 0,25 đ B H K A I C Hai tam giác AKI và ABC có chng góc A nên ta có : AB AI AC AK ABAC AIAK S S ABC AKI . . . == trong tam giác vuông AKC và AIB ta có : A AB AI A AC AK cos;cos == do đó A S S ABC AKI 2 cos= tơng tự : C CA CH CB CI S S B BC BK AB BH S S ABC CIH ABC BHK 2 2 cos. cos. == == vậy CBA S S ABC HIK 222 coscoscos1 = (đpcm) 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Bài 9 (2đ) Gọi I, J, K lần lợt là Trung điểm của QM, QN D P C PN Ta có : K 2 ; 2 2 ; 2 PN KC PQ JK MN IJ QM AI == == Q J N I A M B Chu vi của hình tứ giác MNPQ là : QM+MN+NP+PQ=2(AI+IJ+JK+KC) AC2 Nên chu vi của tứ giác MNPQ nhỏ nhất bằng 2AC. Khi đó A, I, J, K, C thẳng hàng hay M, N, P, Q là các đỉnh của các hình chữ nhật có các cạnh song song với các đờng chéo của hình vuông , cụ thể nh hình vẽ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,75 đ D P C Q N A M B BàI 10 : O 2 T P O B C T 1 O 1 O 3 Phần thuận : vì O 1 đối xứng với O qua BC nên PO 1 = PO là không đổi O 1 thuộc đờng tròn (P; PO) (0,5đ) * Giới hạn : Có 2 vị trí giới hạn của cát tuyến PBC đó là PT và PT 1 là 2 tiếp tuyến của (O;R) kẻ từ P. Gọi O 2 là điểm đối xứng của O qua PT; O 3 là điểm đối xứng của O qua PT 1 thì O 1 chỉ di động trên cung O 2 O 3 của đờng tròn (P;PO) . (0,5đ) * Phần đảo : lấy một điểm O 1 bất kì thuộc cung O 2 O 3 , OO 1 là một dây cung trong (P;PO), từ P kẻ đờng thẳng PBC cắt (O;R) tại B, C và vuông góc với OO 1 thì theo tính chất đờng kính vuông góc với dây cung ta suy ra O và O 1 đối xứng nhau qua BC (0,5đ) * Kết luận : quü tÝch ®iÓm O 1 lµ cung O 2 O 3 cña ®êng trßn (P;PO) (0,5®) . = =+ 24 . 4 21 21 mxx mxx 11)14( 816 )24 (4 )( 2 2 21 21 2 2 12 2 1 += +=+= +=+ m mmmm xxxxxxxx Vậy Min ( 2 2 12 2 1 xxxx + ) =-1 Khi 4m+1=0 4 1 = m 0 ,25 đ 0,5 đ 0 ,25 đ 0 ,25 đ 0 ,25 đ 0,5. 1 09 (2) yyx yyx =+ =+ 1 09) (9 1 099 9 9 1 09 )(1 09) (9 <+<+ yxyx (3) Từ (1) vầ (3) ta có 11<x+y< 9 1 09 0,5 đ 0 ,25 đ 0 ,25 đ 0 ,25 đ Bài 5 (2 ) mà x,y 12= + yxN (4) Kết hợp (2) . xy 2 nhỏ nhất, khi đó xy lớn nhất 0 ,25 đ 0 ,25 đ 0,5 đ 0 ,25 đ 0 ,25 đ Vì x+ y=1 xy = 1 xy=x(1-x)=-x 2 +x = -( x- 4 1 4 1 ) 2 1 2 + xy lớn nhất bằng 4 1 khi và chỉ khi x=y= 2 1 Vậy P 9 2 1 . 2 1 2 1 min =+=