Câu 1 (4 điểm). Giải hệ phương trình y −2xy +7y =−x +7x+8 √ 3−x+ y +1=x +x −4y +3 . Câu 2 (4 điểm). Cho hai đường tròn 1 và 2 cắt nhau tại P và Q, một đường thẳng d thay đổi đi qua P cắt 1 tại A và cắt 2 tại B sao cho P nằm giữa A và B; C, D là hai điểm cố định lần lượt thuộc 1 , 2 sao cho P thuộc tia đối của tia DC. Tia BD và đoạn AC cắt nhau tại X, điểm Y thuộc 1 sao cho đường thẳng PY song song với đường thẳng BD, điểm Z thuộc 2 sao cho đường thẳng PZ song song với đường thẳng AC. Gọi I và J lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABQ và CDQ. a) Chứng minh rằng đường thẳng IJ vuông góc với đường thẳng . b) Chứng minh rằng đường thẳng YZ luôn đi qua một điểm cố định khi thay đổi. Câu 3 (4 điểm). Cho số nguyên tố p và ba số nguyên dương x,y,z thỏa mãn x<y<z<p. Chứng minh rằng nếu ≡ ≡ (mod p) thì + + chia hết cho x+y+z. Câu 4 (4 điểm). Xét các số thực dương x,y và z thỏa mãn x+y+z≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = √ + + √ √ + √ + + + . Câu 5 (4 điểm). Có 42 học sinh tham gia một buổi giao lưu. Biết rằng cứ 3 học sinh bất kỳ, đều có ít nhất một cặp đôi gồm hai học sinh có trao đổi kinh nghiệm học tập với nhau. Kí hiệu là số cặp đôi như thế. Tìm giá trị nhỏ nhất của . Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ VIII MÔN: TOÁN; KHỐI: 10 Ngày thi: 18/04/2015 Thời gian làm bài: 180 phút (Đề này có 05 câu; gồm 01 trang) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN – KHỐI 10 (Hướng dẫn chấm này có 04 trang) Câu Ý Nội dung chính cần đạt Điểm 1 ⟺ y =x+1 y =x−8 Xét hệ phương trình y −2xy +7y =−x +7x+8(1) √ 3−x+ y +1=x +x −4y +3(2) Điều kiện xác định: x≤3. Ta có phương trình (1) ⟺ ( y −x ) +7 ( y −x ) −8=0 1,0 Vì x≤3 nên x−8<0 , do đó không thể xảy ra trường hợp y =x−8 . Vậy y =x+1 . 0,5 ⟺x +x −4x−4+2− √ x+2+1− √ 3−x=0 ⟺ ( x−2 )( x+2 )( x+1 ) − x−2 √ x+2+2 + x−2 1+ √ 3−x =0 ⟺ ( x−2 ) ( x+2 )( x+1 ) − 1 √ x+2+2 + 1 1+ √ 3−x =0 Thay vào (2) ta có √ 3−x+ √ x+2=x +x −4x−1 (Điều kiện x≥−2 ) 1,0 ⟺ ( x−2 ) ( x+2 )( x+1 ) + 1 3 − 1 √ x+2+2 + 1 1+ √ 3−x − 1 3 =0 ⟺ ( x−2 ) ( x+2 )( x+1 ) + x+1 3( √ x+2+2)( √ x+2+1) + x+1 3( √ 3−x+1)( √ 3−x+2) =0 ⟺ ( x−2 ) (x+1) ( x+2 ) + 1 3( √ x+2+2)( √ x+2+1) + 1 3( √ 3−x+1)( √ 3−x+2) =0 1,0 ⟺ ( x−2 )( x+1 ) =0 (Điều kiện x≥−2 ) Từ đó ta thu được nghiệm của hệ đã cho là ( −1;0 ) ; 2; √ 3 ; 2;− √ 3 . 0,5 2 a Vì ACQP và PDQB là các tứ giác nội tiếp nên ta có XAQ CAQ CPQ DPQ DBQ XBQ nên AXQB nội tiếp (1). 1,0 Vì AXQB và BPDQ là các tứ giác nội tiếp nên ta có QXC ABQ PBQ CDQ nên tứ giác XDQC nội tiếp (2). Từ (1) và (2) suy ra QX là trục đẳng phương của hai đường tròn ABQ và CDQ do đó IJ XQ . 1,0 b Ta sẽ chứng minh rằng đường thẳng YZ đi qua điểm Q cố định và đường thẳng này cũng đi qua điểm X . Vì XDQC nội tiếp nên DQX DCX PCA (3). Từ PZ AC nên PCA CPZ DPZ (4). Từ (3) và (4) suy ra DQX DPZ . 1,0 Mặt khác PDQZ nội tiếp nên 0 180 DPZ DQZ , do đó 0 180 DQX DQZ hay Z, ,Q X thẳng hàng. Chứng minh tương tự ta được Y, ,Q X thẳng hàng. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 1,0 3 Trong lời giải này, tất cả các đồng dư thức đều là modulo p. Từ giả thiết ta có y −x ≡0 , suy ra (y−x)(y +yx+x )≡0. (1) Ta có y-x là số nguyên dương bé hơn p và p là số nguyên tố nên y-x và p là nguyên tố cùng nhau. Do đó từ (1) ta được x +xy+y ≡0. (2) Chứng minh tương tự ta cũng có y +yz+z ≡0 (3) và z +zx+x ≡0. (4) 1,0 d J I Y Z X B D Q P A C Từ (2) và (3) ta có z −x +yz−xy≡0, suy ra (z−x)(x+y+z)≡0 . Do đó x+y+z chia hết cho p, mà 0<x+y+z<3p, suy ra x+y+z bằng p hoặc 2p. (5) 1,0 Sử dụng (2) ta có (x+y) ≡xy , kết hợp với x+y≡−z ta được z ≡xy , thay trở lại (2) ta có x +y +z ≡0. (6) 1,0 Nếu x+y+z=p thì từ (6) ta có ngay x +y +z chia hết cho x+y+z. Nếu x+y+z=2p thì ta có x+y+z chia hết cho 2, suy ra x + y +z cũng chia hết cho 2. Kết hợp với (6) ta có x +y +z chia hết cho 2p (vì p>2) . Suy ra điều phải chứng minh. 1,0 4 Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân ta có ( √ x+ y)( y+ √ z )( √ z+ √ x)≥8 xyz, suy ra P≥8 xyz+ + + . 1,0 8 xyz+ 1 x + 1 y + 1 z ≥13 8 xyz. 1 4x . 1 4y 1 4z =13 1 2 . xyz. ( xyz ) , Cũng theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân ta được 2,0 và xyz≤ ≤ . Suy ra P≥13. Mà khi x=y=z= thì P=13, suy ra giá trị nhỏ nhất của P là 13. 1,0 5 Ta sẽ giải bài toán tổng quát: Bài toán. Cho m là số nguyên dương lớn hơn 1. Có 2m học sinh tham gia một buổi giao lưu. Biết rằng cứ 3 học sinh bất kỳ, đều có ít nhất một cặp đôi gồm hai học sinh có trao đổi kinh nghiệm học tập với nhau. Kí hiệu k là số cặp đôi như thế. Tìm giá trị nhỏ nhất của k. Lời giải. Với mỗi số nguyên dương m>1, rõ ràng tồn tại giá trị nhỏ nhất của k, ta ký hiệu giá trị này bởi k ( m ) . Ta thấy k ( 2 ) =2. Bây giờ giả sử m>2. Xét một buổi giao lưu gồm 2m học sinh sao cho cứ 3 học sinh bất kỳ, đều có ít nhất một cặp đôi gồm hai học sinh có trao đổi kinh nghiệm học tập với nhau và số cặp đôi trao đổi học tập với nhau bằng k ( m ) . 1,0 Tồn tại ít nhất 2 học sinh (ký hiệu là A và B) không trao đổi học tập với nhau, loại A và B ra khỏi buổi giao lưu này ta có một buổi giao lưu gồm 2(m-1) học sinh mà cứ 3 học sinh bất kỳ, đều có ít nhất một cặp đôi gồm hai học sinh có trao đổi kinh nghiệm học tập với nhau. Số cặp đôi gồm hai học sinh có trao đổi kinh nghiệm học tập với nhau 2,0 Chú ý khi chấm: 1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược bài giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất chi tiết nhưng không được quá số điểm dành cho câu, phần đó. 2. Có thể chia điểm thành từng phần nhưng không dưới 0,5 điểm và phải thống nhất trong cả tố chấm. Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm. Không làm tròn điểm. 3. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi thống nhất trong tổ chấm và ghi vào biên bản. trong buổi liên hoan mới sẽ không ít hơn k ( m−1 ) , mà mỗi học sinh trong buổi liên hoan mới sẽ trao đổi kinh nghiệm học tập với A hoặc B (vì A và B không trao đổi học tập với nhau), suy ra k ( m ) ≥ k ( m−1 ) +2 ( m−1 ) . Do đó k(m)≥m(m−1) với mỗi số nguyên dương m>1. (1) Với mỗi số nguyên dương m>1, ta xét một buổi giao lưu gồm 2m học sinh như sau: Các học sinh trong buổi giao lưu thuộc một trong hai nhóm (gọi là X và Y). Nhóm X gồm m học sinh có trao đổi học tập từng đôi một, nhóm Y gồm m học sinh có trao đổi học tập từng đôi một. Mỗi học sinh của nhóm này đều không có trao đổi học tập với bất kỳ một học sinh nào của nhóm kia. Rõ ràng trong buổi giao lưu này, cứ 3 học sinh bất kỳ, đều có ít nhất một cặp đôi gồm hai học sinh có trao đổi kinh nghiệm học tập với nhau và số cặp đôi trao đổi học tập với nhau bằng m(m-1). Suy ra k(m)≤m(m−1) với mỗi số nguyên dương m>1. (2) Từ (1) và (2) suy ra k ( m ) =m(m−1) với mỗi số nguyên dương m>1. Trở lại bài toán ban đầu. Theo trên ta có giá trị k bé nhất là k(21)=420. 1,0 . CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ VIII MÔN: TOÁN; KHỐI: 10 Ngày thi: 18/04 /2015 Thời gian làm bài: 180 phút (Đề này có 05 câu;. Mỗi học sinh của nhóm này đều không có trao đổi học tập với bất kỳ một học sinh nào của nhóm kia. Rõ ràng trong buổi giao lưu này, cứ 3 học sinh bất kỳ, đều có ít nhất một cặp đôi gồm hai học. giao lưu gồm 2m học sinh sao cho cứ 3 học sinh bất kỳ, đều có ít nhất một cặp đôi gồm hai học sinh có trao đổi kinh nghiệm học tập với nhau và số cặp đôi trao đổi học tập với nhau bằng k ( m ) .