Đề thi đề xuất kì thi học sinh giỏi các trường chuyên khu vực duyên hải và đồng bằng bắc bộ năm 2015 môn Toán khối 11 của trường chuyên CHU VĂN AN HÀ NỘI

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN ĐỀ XUẤT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI – ĐBBB 2015 Môn: Toán – Lớp 11 Câu 1: Cho x, y, z dương thỏa mãn xy + yz + zx + 2xyz = 1. Chứng minh: Câu 3: Tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường kính AD. M thuộc BC thỏa mãn OM // AB. DM cắt (O) tại P khác D. Chứng minh: C, H, P thẳng hàng, với H là trực tâm tam giác ABC. Câu 4: Tìm tất cả các hàm thỏa mãn: với mọi x, y. Câu 5: Có bao nhiêu cách phân tích thành tích của 3 số nguyên dương, biêt các cách phân tích mà các nhân tử chỉ khác nhau về thứ tự thì chỉ được tính 1 lần? ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ XUẤT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐBBB 2015 Môn: Toán – Lớp 11 Câu 1:(4 điểm) Cho x, y, z dương thỏa mãn xy + yz + zx + 2xyz = 1. Chứng minh: Xét (1 điểm) Liên quan tới xy + yz + zx, từ giả thiết, ta xét: Đặt t = xy + yz + zx, từ giả thiết có: hay xy + yz + zx ≥ ¾. (1 điểm) Thay vào giả thiết được: 2xyz = 1 – (xy + yz + zx) ≤ ¼ hay xyz ≤ 1/8 Do đó, xy + yz + zx ≥ 6xyz (1 điểm) Suy ra: (2) Mặt khác: (3) Cộng vế (2) và (3) có: (4) Kết hợp (1) và (4) ta có đpcm. Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = ½. (1 điểm) Câu 3:(4 điểm) Tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường kính AD. M thuộc BC thỏa mãn OM // AB. DM cắt (O) tại P khác D. Chứng minh: C, H, P thẳng hàng, với H là trực tâm tam giác ABC. DP cắt AB tại E thì M là trung điểm DE (vì OM là đường trung bình) BHCD là hình bình hành nên DH cắt DC tại I là trung điểm mỗi đường Suy ra MI là đường trung bình của ∆DHE → MI // EH → EH // BC (1 điểm) Kéo dài CH cắt (O) tại Q. Ta sẽ c/m Q ≡ P, bằng cách c/m Q, E, D thẳng hàng. Vì BD // CQ nên BDCQ là hình thang cân (hình thang nội tiếp). (1 điểm) Ta có: vì ∆QBH cân tại B vì hình thang BDCQ cân Nên (1 điểm) Mà Q, H, C thẳng hàng, nên E, Q, D thẳng hàng, hay QP (đpcm). (1 điểm) Câu 4: (4 điểm) Tìm tất cả các hàm thỏa mãn: với mọi x, y. Cho x = 1 thì Chọn y thỏa mãn , và đặt thì . (1 điểm) Chọn y = t, và thay vào giả thiết thì: Hay: (1 điểm) Vậy là hàm bậc nhất. Giả sử . Thay vào giả thiết ta có: (1 điểm) Đẳng thức trên đúng với mọi x, y nên: Vậy có 2 hàm thỏa mãn yêu cầu, là – 2014. (1 điểm) Câu 5: (4 điểm)Có bao nhiêu cách phân tích thành tích của 3 số nguyên dương, biêt các cách phân tích mà các nhân tử chỉ khác nhau về thứ tự thì chỉ được tính 1 lần? Xét phân tích với Với mỗi , có cách chọn số , để từ đó chọn . (1 điểm) Vậy số cách chọn các bộ là 10+9+ +1 = 55 cách số cách chọn các bộ và là 55.55 cách. Bây giờ, ta sẽ tính số các cách phân tích bị trùng nhau. +) TH1: 3 thừa số bằng nhau: (1 điểm) +) TH2: 2 thừa số bằng nhau: và (a ; b) # (3 ; 3). Khi đó a {0; 1; 2; 3; 4} ; b {0; 1; 2; 3; 4 } và (a ; b) # (3 ; 3) → số cặp (a; b) là 5.5 – 1 =24, và 24 cặp này cho ta 24 cách phân tích thỏa mãn yêu cầu. Tuy nhiên, mỗi cặp sẽ cho 3 lần đếm trong quá trình đếm mà ta vừa nêu ở trên. (1 điểm) +) TH3: nếu cả 3 thừa số khác nhau, thì mỗi phân tích bị đếm trùng 3!=6 lần. Vậy số cách phân tích là: cách (1 điểm) Người làm đề: Nguyễn Mạnh Cường Sđt: 0169.534.8888. Trong đề không có câu 2 - về dãy số, vì tôi không nghiên cứu được câu nào mới và phù hợp . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN ĐỀ XUẤT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI – ĐBBB 2015 Môn: Toán – Lớp 11 Câu 1: Cho x, y, z dương thỏa mãn. cách phân tích thành tích của 3 số nguyên dương, biêt các cách phân tích mà các nhân tử chỉ khác nhau về thứ tự thì chỉ được tính 1 lần? ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ XUẤT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC. với Với mỗi , có cách chọn số , để từ đó chọn . (1 điểm) Vậy số cách chọn các bộ là 10+9+ +1 = 55 cách số cách chọn các bộ và là 55.55 cách. Bây giờ, ta sẽ tính số các cách phân tích bị trùng