ĐỀ 46 – TOÁN ÔN VÀO 10 – KEYS – 2013 ĐỀ 46 Câu 1: Tính giá trị biểu thức: A = 1 1 1 + + + 1 + 2 2 + 3 24 + 25 ××× . Câu 2: a) Cho các số khác không a, b, c. Tính giá trị của biểu thức: M = x 2011 + y 2011 + z 2011 Biết x, y, z thoả mãn điều kiện: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x + y + z x y z = + + a + b + c a b c b) Chứng minh rằng với a > 1 8 thì số sau đây là một số nguyên dương. x = 3 3 a + 1 8a - 1 a + 1 8a - 1 a + + a - . 3 3 3 3 Câu 3: a) Cho a, b, c > 0 thoả mãn: 1 35 4c + 1 + a 35 + 2b 4c + 57 ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của A = a.b.c. b) Giả sử a, b, c, d, A, B, C, D là những số dương và a b c d = = = A B C D . Chứng minh rằng: aA + bB + cC + dD = (a + b + c + d) (A +B + C + D) Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi M, N, P, Q là bốn đỉnh của một hình chữ nhật (M và N nằm trên cạnh BC, P nằm trên cạnh AC và Q nằm trên cạnh AB). a) Chứng minh rằng: Diện tích hình chữ nhật MNPQ có giá trị lớn nhất khi PQ đi qua trung điểm của đường cao AH. b) Giả sử AH = BC. Chứng minh rằng, mọi hình chữ nhật MNPQ đều có chu vi bằng nhau. Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân ở A, đường trung tuyến BM. Gọi D là hình chiếu của C trên tia BM, H là hình chiếu của D trên AC. Chứng minh rằng AH = 3HD. KEYS Câu 1: Ta có: A = 1 - 2 2 - 3 24 - 25 + + + - 1 - 1 - 1 = - 1 + 2 - 2 + 3 - 3 + + 25 = - 1 + 5 = 4 Câu 2: a) Từ giả thiết suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x y y z z - + - + - = 0 a a + b + c b a + b + c c a + b + c ÷ ÷ ÷ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 x - + y - + z - = 0 a a + b + c b a + b + c c a + b + c ⇔ ÷ ÷ ÷ (*) Do 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 - > 0; - > 0; - > 0 a a + b + c b a + b + c c a + b + c Nên từ (*) suy ra x = y = z = 0, do đó M = 0 b) x 3 = 2a + 3 2 2 a + 1 8a - 1 3 . a - 3 3 ÷ ÷ x ⇔ x 3 = 2a + 3x . ( ) 3 3 1 - 2a 3 ⇔ x 3 = 2a + x(1 - 2a) ⇔ x 3 + (2a - 1) x - 2a = 0 ⇔ (x - 1) (x 2 + x + 2a) = 0 2 x - 1 = 0 x 1 1 x + x + 2a = 0 ( a > ) 8 nên x là nguyên ⇔ ⇔ = v« nghiÖm do mét sè du¬ng Câu 3: a) Ta có: ( ) ( ) 4c 1 35 35 + 2. > 0 4c + 57 1 + a 35 2b 1 + a 2b + 35 ≥ ≥ + (1) Mặt khác 1 4c 35 1 4c 35 - - 1 + a 4c + 57 35 + 2b 1 + a 4c + 57 35 + 2b ≤ ⇔ ≤ 1 4c 35 2b - + 1 1 - = 1 +a 4c + 57 35 + 2b 35 + 2b ⇔ ≤ ( ) ( ) 2b 1 57 57 + 2. 35 + 2b 1 + a 4c + 57 1 + a 4c + 57 ⇔ ≥ ≥ > 0 (2) Q P N M H C B A Ta có: 1 4c 35 1 - 1 - + 1 + a 4c + 57 35 + 2b ≥ ( ) ( ) a 57 35 35 . 57 + 2. 1 + a 4c + 57 35 + 2b 4c + 57 35 + 2b ⇔ ≥ ≥ > 0 (3) Từ (1), (2), (3) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8abc 35 . 57 8 . 1 + a 4c + 57 2b + 35 1 + a 2b + 35 4c + 57 ≥ Do đó abc ≥ 35.57 = 1995. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 2, b = 35 và c = 57 2 . Vậy min (abc) = 1995. b) Đặt t = A B C D = = = a b c d ⇒ A = ta, B = tb, C = tc, D = td. t = A + B + C + D a + b + c + d Vì vậy 2 2 2 2 aA + bB + cC + dD = a t + b t + c t + d t = (a + b + c + d) A + B + C + D t = (a + b + c + d) a + b + c + d = (a + b + c +d)(A + B + C + D) Câu 4: a) Xét ∆ABC có PQ // BC AQ QP = AB BC ⇒ Xét ∆BAH có QM // AH BQ QM = BA AH ⇒ Cộng từng vế ta có: H M D C B A AQ BQ QP QM QP QM + = + 1 = + AB AB BC AH BC AH ⇒ 2 MNPQ ABC ABC MNPQ 2S QP QM QP QM 1 = + 4 . = BC AH BC AH S S S . 2 ⇒ ≥ ÷ ⇒ ≤ ABC MNPQ S QP QM 1 BC maxS = khi = = QP = 2 BC AH 2 2 ⇔ Tức là khi PQ là đường trung bình của ∆ABC, khi đó PQ đi qua trung điểm AH. b) Vì QP QM 1 = + BC AH mà BC = AH QP + QM 1 = QP + QM = BC BC ⇒ ⇔ Do đó chu vi (MNPQ) = 2BC (không đổi) Câu 5: ∆HCD đồng dạng với ∆ ABM (g.g) mà AB = 2AM nên HC = 2HD. Đặt HD = x thì HC = 2x. Ta có: DH 2 = HM . HC hay x 2 = HM . 2x ⇒ HM = 0,5x; MC = 2,5x; AM = 2,5x; AH = 3x. Vậy AH = 3HD. . ĐỀ 46 – TOÁN ÔN VÀO 10 – KEYS – 2013 ĐỀ 46 Câu 1: Tính giá trị biểu thức: A = 1 1 1 + + + 1 + 2 2 + 3 24 + 25 ××× . Câu. đi qua trung điểm của đường cao AH. b) Giả sử AH = BC. Chứng minh rằng, mọi hình chữ nhật MNPQ đều có chu vi bằng nhau. Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân ở A, đường trung tuyến BM. Gọi D là hình. 2 - 3 24 - 25 + + + - 1 - 1 - 1 = - 1 + 2 - 2 + 3 - 3 + + 25 = - 1 + 5 = 4 Câu 2: a) Từ giả thi t suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x y y z z - + - + - = 0 a a + b + c b a + b