aChứng minh rằng: OBNC nội tiếp.. bChứng minh rằng: NO AD cChứng minh rằng: CA.. dXác định vị trí điểm M để 2AM + AN đạt giá trị nhỏ nhất... AN hệ thức lượng Hay AM.. Do đó: M là điểm
Trang 1KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÍ ĐÔN
NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN THI: TOÁN KHÔNG CHUYÊN
NGÀY THI: 20/6/2014
Bài 1: (2đ)
1)Không dùng máy tính cầm tay, tính: A = 1 - 8 - 10
2 +1 2 - 5
a - 2 a a 2 a - 4 a 4 với a > 0 và a ≠ 4
Bài 2: (2đ)
1)Cho hệ phương trình
ax - y = -b
x - by = -a Tìm a và b biết hệ phương trình đã cho có nghiệm (x, y) = (2, 3)
2)Giải phương trình: 2(2x -1) - 3 5x - 6 3x - 8
Bài 3: (2đ)
Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): y = 1x2
2 a)Vẽ đồ thị (P)
b)Trên (P) lấy điểm A có hoành độ xA = -2
Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox sao cho MA – MB đạt giá trị lớn nhất, biết rằng B(1; 1)
Bài 4: (4đ)
Cho nửa đường tròn (O) đường kình AB = 2R Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B Trên cung AB lấy điểm M tùy ý (M khác A và B), tia AM cắt d tại N Gọi C là trung điểm của
AM , tia CO cắt d tại D
a)Chứng minh rằng: OBNC nội tiếp
b)Chứng minh rằng: NO AD c)Chứng minh rằng: CA CN = CO CD
d)Xác định vị trí điểm M để 2AM + AN đạt giá trị nhỏ nhất
Trang 2ĐÁP ÁN:
Bài 1:
1)A = 1 - 8 - 10 2 1 2 1
2 +1 2 - 5
2
(
Bài 2:
2a - 3 = -b 2a + b = 3 6a - 3b = 9 a = 1
2 - 3b = -a a - 3b = -2 a - 3b = -2 b = 1 2) ĐKXĐ: x ≥ 8/3
Biến đổi tương đương phương trình:
0
4(2x - 1) - 6 5x - 6 2 3x - 8 5x - 6 - 6 5x - 6 9 + 3x - 8 2 3x - 8 1= 0
5x - 6 3 3x - 8 1
5x - 6 3
x = 3 3x - 8 1
Vậy PT có 1 nghiệm là x = 3
Bài 3 :
a)HS tự vẽ
b)Điểm A thuộc (P) và có xA = -2 nên yA = ½.(-2)2
= 2 Suy ra : A(-2, 2)
Gọi điểm M thuộc trục Ox nên M(a, 0)
Ta có : A(-2,2) ; B(1,1) và M(a,0)
Ta tính AB = (1+ 2)2(1- 2)2 10 (đvđd)
Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng AB và trục Ox
Ta có : M’A – M’B = AB = 10
Với M khác M’ ta có: A, M, B không thẳng hàng 2 = -2a + b và 1 = a + b
Khi đó: MA – MB < AB = 10 (BĐT trong tam giác)
Do đó MA – MB đạt GTLN là 10 khi M M’ hay M là giao điểm của AB với Ox
+ Viết pt đường thẳng AB đi qua (-2,2) và B(1,1) ta được y = -1x +4
+ Vì M là giao điểm của AB với Ox nên 0 = - a +1 4
3 3 a = 4 Vậy M(4 ; 0)
Trang 3Bài 4 :
a) + Xét (O) có C là trung điểm của dây CM (gt)
OC CM (đường kính và dây cung)
+ d là tiếp tuyến của (O) tại B (gt)
d OB
Xét tứ giác OBNC có : NCO+OBN 90 0900 1800
Suy ra OBNC là tứ giác nội tiếp
b) Xét ADN có :
DC và AB là 2 đường cao cắt nhau tại O
Suy ra : O là trực tâm
Suy ra : ON AD
c) Ta có: Tứ giác OBNC nội tiếp nên COA = CND
Xét CAO vuông tại C và CDN vuông tại C có COA = CND
Suy ra : CAO và CDN đồng dạng
Suy ra : CA CO
CD CN CA CN = CO CD
d) Ta có: AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) MB AN
Xét AMB vuông tại B có đường cao BM ta có:
AB2 = AM AN (hệ thức lượng) Hay AM AN = 4R2
Ta có: 2AM + AN ≥ 2 2AM.AN2 2.4R2 4 2R (BĐT Cô si)
Suy ra 2AM + AN đạt GTNN là 4 2R khi 2AM = AN hay M là trung điểm của AN
Suy ra: ABN vuông cân tại B MAB = 450 sđ MB = 900
Do đó: M là điểm chính giữa của cung AB thì 2AM + AN đạt GTNN
D
C
M
B O
A
N d