các dạng vận dụng kiến thức cơ bản vào làm phép tính nhẩm

25I. Khái quát nội dung chính . A : Đặt vấn đề Vai trò, tác động của toán học với đời sống, với các ngành khoa học kỹ thuật . Vị trí của môn toán trong trường THCS . Khả năng học toán của các em ở trường THCS hiện nay . Do yêu cầu của đổi mới phương pháp : Thầy chủ đạo , trò chủ động . B . Giải quyết vấn đề . 1. ý tưởng đi nghiên cứu đề tài từ một bài toán thực tế với cách giải độc đáo được đúc rút từ sự vận dụng linh hoạt của các nội dung cơ bản của chương trình . 2. Phương pháp dạy học của thầy, cách tìm tòi thực nghiệm để đúc rút ra các dạng vận dụng kiến thức cơ bản vào làm phép tính nhẩm . 3. Tám dạng bài tập khác nhau, mỗi dạng đều nêu ví dụ cụ thể, cơ sở của cách làm, tại sao làm như vậy . Dạng 1 : Nhẩm bình phương của một số có chữ số tận cùng là 5. Dạng 2 : Vận dụng hằng đẳng thức ( a + b )2 vào làm phép tính nhẩm . Dạng 3 : Nhẩm bình phương của một số lớn hơn 50 một chút . Dạng 4 : Nhẩm căn bậc hai của một số chính phương. Dạng 5 : Nhẩm tích hai số nhỏ hơn 100 một chút. Dạng 6 : Nhân nhẩm tích của hai số lớn hơn 100. Dạng 7 : Nhẩm tích của hai số có bốn chữ số mà chữ số hàng nghìn , hàng trăm giống nhau. Tổng chữ số hàng chục và hàng đơn vị của hai thừa số là 100 . Dạng 8 : Tính nhanh một số biểu thức . Dạng 9 : Dãy các phân thức viết theo quy luật . Dạng 10 : Nhận xét , đề suất cách giải một số dạng toán khác. C. Kết quả thực hiện Bài học kinh nghiệm

25I Khái quát nội dung chính

A : Đặt vấn đề

- Vai trò, tác động của toán học với đời sống, với các ngành khoa học kỹ thuật

- Vị trí của môn toán trong trờng THCS

- Khả năng học toán của các em ở trờng THCS hiện nay

- Do yêu cầu của đổi mới phơng pháp : " Thầy chủ đạo , trò chủ động ".

B Giải quyết vấn đề

1 ý tởng đi nghiên cứu đề tài từ một bài toán thực tế với cách giải độc

đáo đợc đúc rút từ sự vận dụng linh hoạt của các nội dung cơ bản của

nghìn , hàng trăm giống nhau Tổng chữ số hàng chục

và hàng đơn vị của hai thừa số là 100

Dạng 8 : Tính nhanh một số biểu thức

Dạng 9 : Dãy các phân thức viết theo quy luật

Dạng 10 : Nhận xét , đề suất cách giải một số dạng toán khác.

C Kết quả thực hiện - Bài học kinh nghiệm

- Kết quả qua 1 số năm giảng dạy gần đây

- Bài học rút ra qua đề tài

II Nội dung chi tiết

A Đặt vấn đề :

Trong thời đại công nghiệp hoá , hiện đại hoá ngày nay , một trong những điểm đáng chú ý của cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật đang diễn ra nhanh nh vũ bão hiện nay là sự thâm nhập ngày càng nhiều của máy tính điện tử , của công nghệ thông tin vào các ngành khoa học khác

mà chìa khoá của nó là toán học

Toán học không chỉ xâm nhập vào các ngành khoa học tự nhiên và kỹ thuật mà còn vào cả sinh học, ngôn ngữ học, tâm lý học, xã hội học Trong sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá ở nớc ta hiện nay , toán học giữ một vị trí nổi bật Nó có tác dụng rất lớn đối với các nghành khoa học khác , đối với kỹ thuật , sản xuất , chiến đấu Trong tr… ờng THCS môn toán có vị trí vô cùng quan trọng Nó có khả năng to lớn để thực hiện mục tiêu giáo dục : "Nâng cao dân trí, bồi dỡng nhân lực , đào tạo nhân tài" Môn toán là công cụ thiết yếu giúp các em học tốt môn học khác , giúp các em phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ Chúng

ta đều biết : Một trong những yêu cầu của việc dạy học sinh học toán là tạo cho các em có phơng pháp t duy , óc sáng tạo , khả năng lập luận ,

kỹ năng tính toán hợp lý , trình bày bài khoa học , rõ ràng Tuy nhiên trong các trờng THCS hiện nay , đặc biệt là các vùng nông thôn tình trạng các em học yếu toán , sợ toán không phải là ít , kiến thức toán học hời hợt , thiếu vững chắc Nhiều em nghĩ toán học khô khan , hóc búa , học toán đau đầu Trớc một bài toán nhiều em không biết bắt đầu từ đâu

? Làm thế nào ? Nếu giáo viên càng thuyết trình thì học sinh càng thụ

động Do đó các em càng sợ , càng yếu , không nắm đợc các kiến thức cơ bản

Trớc yêu cầu của đổi mới phơng pháp : " Thầy chủ đạo , trò chủ động

" , làm thế nào để củng cố đào sâu suy nghĩ và rèn luyện t duy toán học Làm thế nào để giúp các em độc lập suy nghĩ , xây dựng ý thức tự giác trong học tập ? Câu hỏi này luôn làm tôi băn khoăn suy nghĩ để rồi qua đó tự tìm hiểu , nghiên cứu cách thức phơng pháp , trong đó tôi thấy phơng pháp sử dụng phép tính nhẩm là tâm đắc Tôi

đem trao đổi cùng anh chị em đồng nghiệp , cùng họ mang đi thực nghiệm trong thực tế giảng dạy Và chúng tôi đều thấy kết quả thu đợc rất khả quan

B Giải quyết vấn đề

1a) Khi bồi dỡng cho các em giỏi toán , tôi đã cho các em làm bài tập sau :

Tính giá trị của biểu thức :

2211

04,20

-959:03,20

9,95:003,

2

Trong khi đại đa số các em khác dùng máy tính để tính giá trị của biểu thức A Tôi quan sát không thấy em Kiên làm bài mà chỉ ngồi suy ngẫm , sau đó em hỏi tôi ngay : " Tha cô A = 1 " Nhiều em ngỡ ngàng không tin vì em nói ngay đáp số mà không cần dùng máy tính , không làm nháp Em trình bày nhận xét của mình :

5

4 => 08

221104

20

,

20

995003

2

: ,

, : ,

= 1

Do đó A = 1 +1 -1 => A = 1

Qua lời giải trên đã xác định đợc sự linh hoạt của em Kiên dựa vào những kiến thức cơ bản và vận dụng một cách sáng tạo những nội dung sau đây của toán học :

+ Quan hệ giữa các thừa số với kết quả của phép nhân ( chia )

+ Quy tắc biểu diễn hỗn số bằng phân số

1) Tìm a ∈ N biết :

2

1)-(a a

= 36

2) Tìm x biết :

15x

150+ - x

150

= 1 3) Tính tích : +/ ( a2+ a + 1 ) ( a2 - a - 1 )

y2xy-x3

y3+xy+x2

5) Tính giá trị của biểu thức :

A = 2004(1.9.4.6)(1.9.4.7) (1.9.9.9)

B = ( 100 - 12 ) ( 100 - 22 ) ( 100 - 25… 2) Lời giải bài toán trên thực ra không có gì khó nếu nh không có yêu cầu tính nhẩm , tìm tòi lời giải nhanh nhất , đơn giản nhất Để giúp các em thực hiện đợc các yêu cầu đề ra tôi yêu cầu các em thực hiện đúng quy trình sau :

+ ở nhà : Cá nhân tự nghiên cứu , đề xuất cách giải

+ Đến lớp : Tiết 1 : Thảo luận cách giải trong từng nhóm

Tiết 2 : Thảo luận cách giải hay của từng nhóm Tiết 3 : áp dụng cách giải hay đó vào các bài toán khác

Chẳng hạn vào ba ví dụ sau đây

* Ví dụ 1 : Tính nhẩm nghiệm nguyên , dơng của phơng trình có dạng x

* Ví dụ 2 : Phân tích đa thức 12a2 - 15 ab + 3b2 ra thừa số để từ đó rút

ra cách phân tích đa thức có dạng : Số hạng ở giữa có hệ số là đối của tổng các hệ số của hai số hạng còn lại hoặc tích các hệ số của hai số hạng bằng tích các hệ số của hai số hạng còn lại

* Ví dụ 3 : áp dụng công thức nhân nhanh : chẳng hạn áp dụng

+ Để các em đào sâu suy nghĩ, tự giác học tập, ngời thầy cần dạy, đúng trọng tâm , kiến thức chính xác , ngôn ngữ truyền đạt trong sáng , có sức thuyết phục , phải xây dựng đợc không khí thầy trò cùng làm việc " Thầy chủ đạo , trò chủ động "

+ Thầy trò cùng mạn đàm trao đổi để rồi thực hiện theo đúng quy trình

đã đợc thống nhất trong tập thể Cụ thể :

a) Khi đợc cung cấp bài toán , trò cần tạo thói quen suy nghĩ :

bắt đầu từ đâu ? (với đề bài toán) Phải làm gì ? (Thấy đợc bài

toán càng rõ ràng , càng sáng sủa càng tốt) Làm nh thế tiện lợi gì ? (quen với bài toán)

b) Khi hiểu rồi , cần đi sâu nghiên cứu xây dựng chơng trình

(Thầy dùng lời nhắc nhở , kiên nhẫn)

a = 36 => a( a - 1 ) = 72 => a2 - a - 72 = 0

+ Ta có thể dùng công thức nghiệm để giải phơng trình bậc hai một ẩn này

+ Tôi cho các em nhận xét a và a - 1 là hai số nguyên dơng Đó là hai

số tự nhiên liên tiếp nhau và trong bảng nhân 9 ta có 9.8 = 72

thể tính đợc kết quả Nhng nếu quan sát giữa các hạng tử ở hai đa thức

3 +

1 + 2a + 2 a

2

) =

1 - a

3 +

1

+

a

2 =

1-2

15

a

a+

với a ≠ 1 Thông qua bài tập ta thấy đợc tác dụng của phép tính nhẩm trong việc giúp các em đào sâu suy nghĩ , rèn luyện t duy toán học Làm thế nào để các em tự đề suất cách giải nhanh ? Đây là vấn đề nan giải , nó tuỳ thuộc vào sự linh hoạt , nhanh nhẹn , sáng tạo của trò Tuy vậy để phần nào tạo ra sự linh hoạt , sự hứng thú với môn toán tôi đã cung cấp cho các em một số thủ thuật để các em có thể tính nhẩm đợc Các thủ thuật đó đợc rút ra dới một số dạng sau đây :

+ Hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị bao giờ cũng là 25

+ Các chữ số còn lại là tích của các số đó với số tự nhiên liên

( ab )2 = ( 10a + b)2 = 100a2 + 10 2ab + b2

Nh vậy ta có b2 đơn vị , 2ab chục , a2 trăm các dấu cộng mà ta xoá đi chính là vì ta đã biết nó thuộc hàng nào rồi

2) Ví dụ 2 :

a) Tính 232

Ta có ( 2 + 3 )2 = 4 + 12 + 9 Nếu cứ máy móc ghi 232 = 4129 là sai ? Tại sao sai?

Ta đã biết trong tập hợp các số tự nhiên , các chữ số thuộc một hàng nào đó phải nguyên dơng , nhỏ hơn hoặc bằng 9 Nếu nó lớn hơn hoặc bằng 10 thì phải chuyển lên hàng đứng trớc nó Với ví dụ ở trên thì 12 là

1 trăm và 2 chục nên 1 trăm này phải đợc cộng với 4 trăm

=> 232 = 529 b) Tính 362 Có ( 3 + 6 )2 = 

Lấy 3 + 8 = 11 chỉ giữ lại 1 chuyển 1 lên hàng trên :

Lấy 1+ 4 + 6 = 11 chỉ giữ lại 1 chuyển 1 lên hàng trên 1+1= 2

Vậy 462 = 2116 d) Tính 98 2 : Có ( 9 + 8 )2 = 81 + 144 + 64

Lấy 6 + 4 = 10 giữ lại 0 ở hàng chục chuyển 1 lên hàng trăm Lấy 1 + 4 + 1 = 6

+ Lấy hiệu của số đó với 25

+ Viết tiếp vào kết quả 2 chữ số cuối cùng của bình phơng của hiệu giữa số đó và 50

Với ví dụ trên ta làm nh sau : 58 - 25 = 33 ( 58 - 50 )2 = 82 = 64 Viết tiếp 64 vào sau 33 => 582=3364

Ví dụ 2 : 572 ;

57- 25 = 32

Trong trờng hợp này : Nếu bình phơng của hiệu giữa số đó và 50 là số

có 3 chữ số thì phải đem chữ số hàng trăm này cộng lên với chữ số cuối cùng của hiệu trên

Ta lấy 39 + 1 = 40 Rồi viết tiếp 96 vào bên phải số 40

Vậy 642 = 4096

Dạng 4 : Nhẩm căn bậc hai của một số chính ph ơng

Để tính nhẩm căn bậc hai của một số chính phơng , vận dụng tính Δtrong việc giải bài toán bằng cách lập phơng trình Tôi hớng dẫn các em vận dụng ngay chữ số hàng đơn vị để tính nhẩm sơ bộ ban đầu Sau đó vận dụng ngợc lại ba dạng trên vào tính nhẩm các chữ số còn lại Cụ thể

nh sau :

a Một số là số chính phơng thì chữ số hàng đơn vị chỉ có thể là các

số 0 ,1 ,4 , 5 , 6 , 9

* Với chữ số hàng đơn vị là 0 và 5 thì chỉ có thể là số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 bình phơng

b Các chữ số thuộc các hàng còn lại ta vận dụng ngợc lại của ba dạng nhẩm trên

Ví dụ 1 : Tính 15625 = 125

Nhận xét : Chữ số hàng đơn vị là 5 , chữ số hàng chục là 2 chắc chắn kết quả là số có chữ số hàng đơn vị là 5 ;156 = 12 13

nhân nhẩm hai số lớn hơn 100 một chút nh sau: Gọi độ lệch của mỗi số với 100 là phần hơn Muốn nhân hai số lớn hơn 100 một chút ta lấy số này cộng với phần hơn của số kia rồi viết tiếp vào sau tích của hai phần hơn ( bằng hai chữ số )

Ví dụ : Tính nhẩm 2976 2924

Xét xem hai thừa số có liên quan đến nhau hay không ?

- Cả hai thừa số đều có hai chữ số hàng nghìn , hàng trăm là 29

- Hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị của mỗi thừa số có tổng là 100 Vậy nếu đặt a = 29 , b = 76 , c = 24 thì tích trên có dạng nh thế nào? Hãy nêu cách giải ?

Phép nhân trên có dạng :

(100a + b ) (100a + c ) = 10 000 a ( a + 1 ) + bc

* Nh vậy chỉ qua một phép nhân cụ thể các em có thể rút ra cách làm tổng quát với phép nhân hai số bất kỳ có bốn chữ số , hai chữ số hàng nghìn , hàng trăm giống nhau , hai chữ số hàng chục , hàng đơn vị của hai thừa số có tổng là 100 và các tròng hợp tơng tự Tất nhiên việc tính tiếp cần sự sáng tạo của các em Nhng đây cũng tạo ra hứng thú cho các

em tìm hiểu về các con số , về mối liên quan giữa chúng

2 Nếu gặp những tổng gồm nhiều số chẵn liên tiếp hoặc lẻ liên tiếp thì

lu ý hiệu hai số liên tiếp nhau luôn bằng 2

Ngoài ra muốn tínhxem có bao nhiêu số lẻ ( hay chẵn ) chẳng hạn

từ 1 đến 99 có bao nhiêu số lẻ ta làm nh sau :

ba nhận xét trên vào tính toán cho hợp lý

Ví dụ 1 : Tính nhanh kết quả các biểu thức :

a) 1272 + 146 127 + 732

b) 98 28 - ( 184 + 1 ) ( 184 - 1 )

c) 1002 - 992 + 982 - 972 + + 2… 2 - 12

d) (202 + 182 + 162 + +4… 2 + 22 ) - (192 + 172 + 152 + +3… 2 + 12 )

e) 2 2 2 2

75125.150125

220

780

++

125

220 780

+ +

)(

220 - 780 (

+ +

+

75+125

1000560

) (

g)

21147+1284+642+321

42217+24124+1262+631

.

.

.

.

.

.

.

.

h)

35217+20124+1062+531

21147+1284+642+321

.

.

.

.

.

.

.

.

T×m tßi lêi gi¶i :

a) ¸p dông tÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n víi phÐp céng ta cã thÓ viÕt : 36 ( 143 + 57 ) + 64 ( 143 + 57 ) = ( 143 + 57 ) ( 36 +64 )

= 200 100 = 20 000 b) ¸p dông t¬ng tù a cã 28 101 = 28 ( 100 +1 ) = 2800 + 28

= 2828

c) 491 ( 263 + 57 ) - 491 ( 153 + 67 ) = 491 ( 263 + 57 - 153 - 67 )

= 49 100 d) NhËn xÐt c¸c sè h¹ng trong dÊu ngoÆc :

234234 233 - 233233 234 = 234 101 233 - 233 101 234 = 0 VËy 12345 678910 ( 234234 233 - 233233 234 ) = 0 e) So s¸nh c¸c h¹ng tö ë tö vµ mÉu :

2003

1928+75

2004.

=

2003

1928+751+

2003.

=

2003

2003+

75

2003.

= 2003

76

2003.

= 76 g) Nhận xét mỗi số hạng của tử đều gấp 3 lần số hạng tơng ứng ở mẫu:

21147+1284+642

.

.

.

.

.

.

3.21.14.73.12.8.43.6.4.23.3.2

1

++

+

++

=

21.14.712.8.46.4.23.2.1

)21.14.712.8.46.4.23.2.1(

3

++

+

++

21147+1284+642+321

.

.

.

.

.

.

.

.

7531+64531+8531+531

7321+64321+8321+321

.

.

.

.

=

) (

.

) (

.

.

3

37+64+8+1531

7+64+8+1321

=

531

321

.

.

=5

2

Dạng 9 : Dãy các phân thức viết theo quy luật

Đây là dạng bài khó với các dãy phân thức có thể rút gọn phân thức , cũng có khi chứng minh hằng đẳng thức Với dạng này tôi yêu cầu các

em nhận xét để tìm mối liên quan giữa các thành phần tham gia phép tính để tìm ra quy luật chung giữa chúng Qua đó có cách giải cho phù hợp

Ví dụ 1 : Rút gọn các biểu thức sau đây :

1

3 −

2

24

1

3 −

2

24

13

4

141

2.

24

) (

432

14

32

)1 (

5.4

1+n

1

- 3

1 + +…

n

1 -

1+n

1 = 1 -

1+n

1 =

1+n

n

Ví dụ 2 : Chứng minh các đẳng thức sau :

a)

31

b)

321

1

. 2 3 4

1

. + + … n -1)n(n +1)

1

+

−1)( 2)(n n

Nhận xét

1-n2

1)+1)(2n-

n2

2

Đặt A =

31

1 + 3

1

- 5

1 + 5

1

- 7

1 + + …

1-n21

= 1 -

1+n2

1 =

1+n2

n2 => A =

1+n2

n (n ≥ 1)

1

. +

432

1

. + + … n-1)n(n+1)

1

(

=> 2B =

3 2 1

2

. +

432

2

. + 3 4 5

2

. + + … n-1)n(n+1)

2

=

21

n

n

(2

2

2

=

1)(

))(

n

n

2

21

n

n

(4

)2)(

1(

Vế trái bằng vế phải Vậy đẳng thức đợc chứng minh

Dạng 10 : Nhận xét , đề xuất cách giải quyết một số dạng khác ;

Ví dụ 1 : Giải các phơng trình sau :

a)

2004

1+x + 2002

3+x = 2000

5+x + 1998

7+x

số chung theo đúng thứ tự các bớc giải phơng trình thì rất phức tạp Nên với các phơng trình dạng nầy nếu cộng hoặc trừ số1 vào mỗi phân thức thì các phân thức đó đều có tử số bằng nhau

+ 1 ) = (

2000

5+x + 1) + (

1998

7+x

+ 1 )

2004

2005+

x

+ 2002

2005+

x

= 2000

2005+

x

+ 1998

2005+

1

- 2000

1

- 1998

1 ) = 0

Vì

2004

1

+ 2002

1

- 2000

1

- 1998

x

-1) = (

61

1943-

x

-1 ) + (

62

1942-

1

- 61

1

- 621 ) = 0

Vì

59

1

+60

1

- 61

1

- 62

1

≠ 0 => x - 2004 = 0 ⇒ x = 2004

1 + 105

1 +107

1 ) = 0

Vì

101

1 + 103

1 + 105

1 +107

1

≠ 0 => 2003 - x = 0

b) Trong tích 7.8.9 71 có thừa số có tận cùng là 0 nh… 10 , 20 , 30 … nên tích này có chữ số hàng đơn vị là 0

Ví dụ 4 : Tìm hai chữ số tận cùng của biểu thức :

A = 75 ( 42003 + 42002 + + 4… 2 + 4 + 1 ) + 25

Giải : Để tìm hai chữ số tận cùng của A ta lấy A là tích của bội 5 và các luỹ thừa của 4 Mà 25 4 = 100, nên ta làm thế nào để xuất hiện 25.10

Ta phân tích nh sau :

A = 25 3 ( 42003 + 42002 + + 4… 2 + 4 + 1 ) + 25

= 25( 4 - 1 ) ( 42003 + 42002 + + 4… 2 + 4 + 1 ) + 25

= 25( 42004 + 42003 + + 4… 2 + 4 - 42003 - 42002 - - 4… 2 - 4 - 1 ) + 25 = 25 (42004 - 1 ) + 25

= 25 (42004 - 1 + 1)

= 100 42003 chia hết cho 100

Vậy 2 chữ số tận cùng của biểu thức A là hai chữ số 0

Ví dụ 5 : Chứng tỏ các số sau là số nguyên :

3

2+

1094

và

9

8+

y x

y

x

+

Với x > y > 0 c) A = ( 3 + 1 ) (3 + 1 ) (2 3 + 1 ) (4 3 + 1 )( 8 3 + 1) Và B = 16 3 - 1.32

Giải : a) Đặt x = 2004 , => B = x2

A = ( x - 1) ( x + 1 ) = x -1 2

Vậy A < B

b) A =

y x

))(

(

y x

y x y

2xy y x

y

x

++

< 2 2

2 2

y x