Page 1 ĐỀ SỐ 18 Đ ề t h i t h ử Đ ạ i h ọ c l ầ n I I I n ă m 2 0 1 2 – T r ư ờ n g T H P T c h u y ê n K H T N Câu I: Cho hàm số 32 31y x x C 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2. Tìm các giá trị của m để đường thẳng d m đi qua điểm A(−1; −3) và có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số (C) tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau. Câu II: 1. Giải phương trình: 3cos2 5 sin 1 2cos 4 x x x 2. Cho a, b, c là ba số lớn hơn 1. Chứng minh rằng: 3 log log log 2 bc ac ab a b c Câu III. 1. Tính tích phân: 4 2 2 1 ln 1 x xdx I x 2. Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt lớn hơn 2012 sao cho chữ số hàng nghìn không lớn hơn chữ số hàng đơn vị. Câu IV. 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 5). Phương trình đường phân giác BP và đường trung tuyến CM lần lượt là x – y = 0 và x – 5y + 13 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C và diện tích tam giác ABC. 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy là tam giác ABC cân tại C, cạnh đáy AB = 2a, cosABC = 1 3 , góc giữa hai mặt phẳng ABC và A’BC bằng 60 0 . Tính thể tích lăng trụ đứng ABC.A’B’C và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và BC’ theo a. 3. Cho A(1, 0, −2) và B(3, 1, 0) và đường thẳng 1 1 1 : 1 2 1 x y x d . Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho diện tích tam giác ABM bằng 5 2 . Câu V. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = ab + bc + 2ca. Page 2 ĐỀ SỐ 18 Đ ề t h i t h ử Đ ạ i h ọ c l ầ n I I I n ă m 2 0 1 2 – T r ư ờ n g T H P T c h u y ê n K H T N Câu I. 1) 2 ' 3 6 , ' 0 0, 2y x x y x x . Hàm số đồng biến trên ,0 ; 2; và nghịch biến trên khoảng (0; 2). CĐ khi x = 0, y CĐ = 1 và CT khi x = 2, y CT = −3 2) d dm : y = m(x + 1) – 3. Hoành độ giao điểm của d m và (C) là nghiệm của m(x + 1) – 3 = x 3 – 3x 2 + 1 2 1 4 4 0x x x m . Từ điều kiện bài toán suy ra g(x) = x 2 – 4x + 4 – m có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 khác −1 sao cho x 1 + x 2 = 2. (−1) hoặc x 1 + (−1) = 2x 2 . Mà theo định lý viet x 1 + x 2 = 4 suy ra x 1 = 3, x 2 = 1. Suy ra m = 1 (thỏa mãn). Có thể giải bằng cách chứng minh điểm uốn U(1; −1) là tâm đối xứng của đồ thị và điều kiện tương đương với d m đi qua U suy ra −1 = m(1 + 1) – 3 suy ra m = 1) Câu II. 1) Phương trình 22 2sin cos 3cos2 2cos 4sin 1 0 sin xcos 2sin os (cos 2sin ) 0 (2sin cos )(sinx cos 1) 0 x x x x x x x c x x x x x x 2) Ta có ln ln log ln ln ln bc aa a bc b c . Đặt lna = x, lnb = y, lnc = z. Ta có x, y, z > 0. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 3 2 2 2 3 2 x y z x y z y z z x x y y z z x x y . Vế trái: 111 3 2 2 2 3 3 x y x z y x x z z x z y y z y z z x x y x y x y x y y z x z z y y x x z y z y x y z z y z x x y đpcm. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Câu III. 1) Ta có 2 44 2 2 2 11 44 4 1 2 2 2 11 ln 1 1 1 1 ln 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln ln ln4 2 1 2 1 34 2 1 xd x I xd x x x d x dx x x x Mà 4 4 4 2 2 2 2 4 11 2 2 2 22 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln ln 1 1 2 2 1 2 1 dx I dx d x x x x x x x xx Page 3 2) Xét số abcd có tính chất như đầu bài. TH1: a = 2 3 à 1d v c nên d có 7 cách chọn, c có 7 cách chọn và b có 7 cách chọn (khác a, d, c) nên có 7.7.7 số thỏa mãn. TH2: 3a nên có 2 7 C cách chọn các cặp hai số a < d, khi đó có 2 8 A cách chọn các cặp hai số b, c. Đáp số: 7.7.7 + 2 7 C . 2 8 A Câu IV. 1) Gọi B(b, b) M(b + 3)/2, (b + 5) CM: x – 5y + 13 = 0 b = 1 B(1; 1). Gọi D là dx của A qua đường thẳng BP. Phương trình AD: x + y – 8 = 0. Giao điểm AD và BP là I(4, 4) nên D(5, 3). Phương trình BC BD: x – 2y + 1 = 0. Giao điểm BC và CM là C(7, 4). Đoạn BC = 35 , AH = 6 5 . Vậy diện tích S = 9. 2) Cạnh CA = CB = 3a, đường cao CH = 22a , đường cao AK = 42 3 a . Suy ra góc AKA’ = 60 0 , cạnh AA’= 46 3 a . Vậy thể tích lăng trụ là V = 3 16 3 3 a . Khoảng cách d(AB, B’C) = h(H, (A’B’C)) = 42 7 a . 3) Gọi M(t + 1, 2t – 1, t – 1) AM = (t, 2t – 1, t + 1), AB = (2, 1, 2). 2 1 . . 5 2 1 . (3 2,2, 3 2) 3 5 2 0 2 3 S AM AB AM AB t AM AB t t t t t Vậy M(2, 1, 0); M(5/3, 1/3, −1/3). Câu V. Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1P a c b ca a c b a c b b b f b Với hàm số 2 1 1 , 0,1f t t t t t . Ta có: 0 1 2 3 3 ' 1, ' 0 6 21 t f f t t tt (do khi đó 1 2 0t ). Page 4 Từ đó f(t) đồng biến trên trên (0, t 0 ) và nghịch biến trên (t 0 , 1) suy ra 3 3 3 1 max 62 ff tức là 31 max 2 P chẳng hạn khi 0 bt và 2 0 1 1 2 a c t . Page 1 ĐỀ SỐ 18 Đ ề t h i t h ử Đ ạ i h ọ c l ầ n I I I n ă m 2 0 1 2 – T r ư ờ n g T H P T c h u y ê. thẳng d m đi qua điểm A(−1; −3) và có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số (C) tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau. Câu II: 1. Giải phương trình: 3cos2 5 sin 1 2cos 4 x x x 2. Cho a, b, c là. a 2 + b 2 + c 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = ab + bc + 2ca. Page 2 ĐỀ SỐ 18 Đ ề t h i t h ử Đ ạ i h ọ c l ầ n I I I n ă m 2 0 1 2 – T r ư ờ n g T H P T c h u y ê