Đề thi thử đại học chuyên ĐHSP năm 2011 môn toán (5)

Page 1 ĐỀ SỐ 17 Đ ề t h i t h ử Đ ạ i h ọ c l ầ n I V n ă m 2 0 1 2 – T r ư ờ n g T H P T c h u y ê n K H T N Câu I 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 1 () 1 x yC x    2. Tìm các giá trị của m để đường thẳng ( ): 2d y x m cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất. Câu II 1. Giải phương trình: 3 2cos 2cos 2tan2 sin .sin2x x x x x   2. Giải hệ phương trình: 1 2 2 2 2 ( 2 1 1).2 log 2 y x x x xy            Câu III. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi: 0; ; 0; sin ( sin ) 2 x x y y x x x       . Câu IV. Cho hình hộp ABCDA'B'C'D' có các cạnh AB = AD = AA' = 1 các góc phẳng tại đỉnh A bằng 0 60 . Tính thể tích khối hộp ABCDA'B'C'D' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và A'C'. Câu V. Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện 2ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 4 2 4 11 2 6 9 6 9 P a a a b b      . Câu VI. 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy lập phương trình đường tròn có bán kính bé nhất tiếp xúc đồng thời với trục Ox và đường tròn 22 4 8 11 0x y x y     . 2. Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng ( ): 2 0P x y z    , ( ): 1 0Q x y z    . Lập phương trình đường thẳng (d) song song với 2 mặt phẳng ( ),( )PQ và cách hai mặt phẳng một đoạn bằng 3 . Câu VII. Tìm số phức z thỏa mãn 2 điều kiện 1 z i có modun bằng 2 và có acgumen bằng 12  . Page 2 ĐỀ SỐ 17 Đ ề t h i t h ử Đ ạ i h ọ c l ầ n I V n ă m 2 0 1 2 – T r ư ờ n g T H P T c h u y ê n K H T N Câu I. 1. TXĐ: 1x  . Ta có 2 2 '0 ( 1) y x     . Hàm số giảm trên các khoảng ( ,1) và (1, ) và không có cực trị 1 lim 1,lim xx yy      nên y = 1 là TCN và x = 1 là TCĐ. BBT và đồ thị (tự vẽ) 2. Hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của 2 1 2 2 2 ( 3) ( 1) 0 1 x x m x m x m x m x             , 2 2 17 0mm     nên pt có hai nghiệm phân biệt (khác 1) 12 ,xx . Từ đó (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt 11 ( ,2 )A x x m và 22 ( ,2 )B x x m . Khi đó: 2 2 2 1 2 1 2 ( ) (2 2 )AB x x x m x m      22 1 2 1 2 2 2 5( ) 5( ) 20x x x x x x     2 2 3 1 5 5 20 ( 2 17) 20 2 2 4 mm mm           . Dấu bằng khi m = −1. Vậy khoảng cách nhỏ nhất là 20 khi m = −1. Câu II. 1. Đk: cos2 0x  . Pt 2 2cos (1 cos ) 2tan2 sin sin2 0x x x x x     2 2cos sin sin sin2 2tan2 0x x x x x    hay 2sin sin2 2tan2 0x x x 1 sin2 sin 0 cos xx x       sin2 0 sin cos2 1 x xx       (chú ý khi đó đk luôn được thỏa mãn) 2. Đk: 1 2 x . Khi đó từ pt thứ hai suy ra 2 2 y x   hay 1 2 2 y x   . Thay vào pt đầu ta thu được 2 1 1 1 2xx     2 1 2 2xx     bình phương hai vế rồi chuyển vế suy ra 2 (2 1)(2 ) 3x x x    bình phương hai vế ta thu được: 2 17 9 26 17 0 1, 9 x x x x      Câu III. 1. Giả sử số phức z có mô−đun là r và một argumen là  . Ta có z có mô−đung là r và argumen là −  . Mà 1 2 cos sin 44 ii        suy ra 1 z i có mô−đun là 2 r và một argumen là 4    . Từ đó 22r  và 13 2 2 2 6 3 2 2 z i i              . Page 3 2. Ta có 2 2 2 2 0 0 0 (sin sin ) (1 cos2 ) cos 2 V x x x dx x dx xd x              2 2 22 00 0 sin2 cos cos 2 2 4 x x x x xdx                 Câu IV. 1. Do AA'BD là tứ diện đều cạnh bằng 1 nên ' ' ' ' ' 22 6 6. 12 2 ABCDA B C D AA BD VV   (đvtt) Gọi MN là đường vuông góc chung của AB' và A'C' ( , ' ')M AB N A C . Đặt ', ' 'AM mAB AN nA C . Ta có ' ' ' ' ' 'MN MA AA A N mAB AA nA C       ( ') ' ( )m AB AA AA n AB AD      ( ) (1 ) 'n m AB nAD m AA     Do .0 . ' ' 0 MN AB MN A C        nên suy ra 83 , 11 11 mn và 2 11 MN  . 2. Đường thẳng d nằm đồng thời trong các mặt phẳng ( ')/ /( )PP và ( ') / /( )QQ . Các mặt phẳng ( ')P và ( ')Q cách các mặt phẳng ( ),( )PQ bằng 3 . Phương trình đường thẳng d là 7 1 1 3 ,,, 2222 3 9 3 5 2 2 2 2 x t x t x t x t y t y t y t y t zzzz                                    3. Gọi 11 (2,4), 3OR là tâm và bán kính đường tròn đã cho. Kẻ 11 4O H Ox O H   . Gọi r là bán kính đường tròn cần tìm, ta có 1 min 11 2 3 2 4 22 R r O H r r r          tâm đường tròn thuộc 1 OH . ĐS: 2 2 11 ( 2) 24 xy        Câu V. Ta có bđt 22 1 1 1 (*) 1 1 1x y xy     với mọi x, y > 1. Thật vậy (*) 2 2 2 2 (1 )(1 ) (1 )(1 ) 2(1 )(1 )y xy x xy x y         3 3 2 2 2 2 22x y xy xy x y x y      2 ( 1)( ) 0xy x y    đúng. Từ đó ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 (1 3 ) 1 (1 3 ) 1 (1 3 )(1 3 ) P a b a b           Ta có 2 2 2 2 2 2 1 (1 3 )(1 3 ) 2 3( ) 9a b a b a b       2 2 2 9 6 2 3( ) 9 6 14t a b t t        2 (3 1) 13t   với   0;1t ab . Page 4 Từ đó 2 2 2 1 (1 3 )(1 3 ) (3 1) 13 17ab       . Tức là 2 17 P  . Dấu "=" xảy ra khi 1ab . Page 1 ĐỀ SỐ 17 Đ ề t h i t h ử Đ ạ i h ọ c l ầ n I V n ă m 2 0 1 2 – T r ư ờ n g T H P T c h u y ê n. phức z thỏa mãn 2 điều kiện 1 z i có modun bằng 2 và có acgumen bằng 12  . Page 2 ĐỀ SỐ 17 Đ ề t h i t h ử Đ ạ i h ọ c l ầ n I V n ă m 2 0 1 2 – T r ư ờ n g T H P T c h u y ê n. cos 2 2 4 x x x x xdx                 Câu IV. 1. Do AA'BD là tứ diện đều cạnh bằng 1 nên ' ' ' ' ' 22 6 6. 12 2 ABCDA B C D AA BD VV   (đvtt)