Page 1 ĐỀ SỐ 16 Đ ề t h i t h ử Đ ạ i h ọ c l ầ n V n ă m 2 0 1 1 – T r ư ờ n g T H P T c h u y ê n Đ H S P H à N ộ i Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số 21 1 x y x 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Tìm k để trên đồ thị (C) có hai điểm phân biệt ( , ) MM M x y , ( , ) NN N x y thỏa mãn: MM NN x y k x y k Chứng minh rằng hai điểm M, N cùng thuộc một nhánh của đồ thị (C). Câu 2 (2 điểm) 1. Giải phương trình 11 3sin 3 2sin 8 2sin 2 3cos 3 5 3 15 5 x x x x 2. Giải phương trình: 32 75x x x Câu 3 (1 điểm) Tính tích phân 4 2 44 4 sin sin cos x dx xx Câu 4 (1 điểm) Cho lăng trụ xiên ABCA'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A' xuống mặt phẳng (ABC) trung với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ, biết góc BAA' = 0 45 Câu 5 (1 điểm) Chứng minh rằng hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt: 24 24 24 0 0 0 x y z y z x z x y Câu 6 (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E): 22 1 16 9 xy và đường thẳng d: 3 4 12 0xy . Chứng minh rằng đường thẳng d luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm điểm C thuộc (E) sao cho diện tích tam giác ABC bằng 6 (đvdt). 2. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (2; 2; −1), B (1; 4; −1), C (2; 4; 3), D (2; 4; −1). Viết phương trình mặt phẳng () tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và song song với mp(BCD). Câu 7 (1 điểm) Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn 2 0zz . Page 2 ĐỀ SỐ 16 Đ ề t h i t h ử Đ ạ i h ọ c l ầ n V n ă m 2 0 1 1 – T r ư ờ n g T H P T c h u y ê n Đ H S P H à N ộ i Câu 1 2/ Theo bài ra M, N là 2 điểm thuộc đường thẳng x + y = k hay y = −x + k. Xét phương trình hoành độ giao điểm 10 21 2 1 ( 1)( ) 1 x x xk x x x k x 2 ( 1) 1 0x k x k (*) (Vì x = 1 không là nghiệm của phương trình với mọi k) Yêu cầu của bài toán được thỏa mãn phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt 22 ( 1) 4( 1) 0 6 3 0k k k k 3 2 3 3 2 3 k k Đặt t = x − 1 1xt . Khi đó phương trình (*) trở thành: 2 ( 3) 3 0t k t . Với điều kiện trên thì phương trình này có hai nghiệm cùng dấu phương trình (*) có hai nghiệm cùng phía so với 1 Hai điểm M,N cùng thuộc một nhánh của đồ thị (C) Lưu ý: Không sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai để chứng minh! Câu 2 1/ Giải phương trình: 11 3sin 3 2sin 8 2sin 2 3cos 3 5 3 15 5 x x x x (2.1) Phương trình (2.1) 1 3 11 2 3 sin 3 cos 3 2 sin 8 sin 2 0 2 5 2 5 3 5 x x x x 88 3sin 3 2cos 5 sin 3 0 15 5 15 x x x 8 . 8 45 3 sin 3 0 15 19 2 . ( ) 150 5 3 cos 5 31 2 52 . 150 5 xk x x k k x xk 2/ Giải phương trình: 32 75x x x (2.2) Cách 1: phương trình (2.2) 32 10 5 3x x x 2 2 2 4 ( 2)( 2 5) 53 x x x x x 2 2 2 ( 2) ( 2 5) 0 53 x x x x x 2 0 2xx Page 3 Vì 2 22 22 2 4 5 14 2 5 ( 1) 0 5 3 5 3 x x x x x x xx với mọi x Cách 2: Xét 32 ( ) 7 5f x x x x là hàm số xác định trên R có 2 2 '( ) 3 1 0 5 x f x x x (vì 2 5xx với mọi x nên 2 10 5 x x ). Như vậy f(x) là hàm số đồng biến trên R. Mặt khác f(2) = 0. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 Câu 3 Tính tích phân I = 4 2 44 4 sin sin cos x dx xx Xét thêm 4 2 44 4 cos sin cos x J dx xx . Ta có 4 IJ (1). Ngoài ra: 44 2 2 2 4 4 2 2 4 4 4 cos sin cos2 2cos2 1 sin cos 2 sin 2 1 sin 2 2 x x x x J I dx dx dx x x x x Đặt t = sin2x ta có dt = 2cos2x.dx. Khi đó 0 0 2 1 1 1 2 1 1 2 1 ln ln ln(3 2 2) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 dt t JI t t (2) Từ (1) và (2) suy ra 1 ln(3 2 2) 8 42 I Câu 4 Page 4 Gọi O là tâm của đáy ABC. Ta có: ' ( )A O mp ABC mà AB CO nên ( ' )AB mp A CO . Gọi H là giao điểm của AB và CO thì AH AB . Suy ra góc BAA' = 0 45 AA' = AH 2 = 2 2 a ; ' 2 a AH A H . Do đó 2 '' 2 AA B B a S . Vì AO BC nên AA' BC ' ' 'BB BC BB C C cũng là hình chữ nhật Vậy 2 '' 2 '. 2 BB C C a S BB BC 2 (2 2 2 xq a S Câu 5 Nếu một trong 3 ẩn x, y, z bằng 0 thì cả 3 đều bằng 0 Xét trường hợp 0xyz . Từ hệ suy ra cả 3 ẩn x, y, z đều âm Do x, y, z bình đẳng theo hoán vị vòng xoay, nên xét hai trường hợp: TH1: 0x y z . Khi đó 2 2 2 2 4 2 4 4 4 4 0 x y z x y z z x y x y z x y z TH2: y x z . Xét tương tự vẫn ra x = y = z. Thế vào một phương trình của hệ được 3 ( ) 1 0f x x x với x<0. Ta có 2 '( ) 3 1 0f x x với mọi x nên hàm số luôn đồng biến, mà f(−1) = −1 < 0; f(0) = 1 > 0 suy ra phương trình có duy nhất một nghiệm âm. Vậy hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt. Câu 6 1/ Hệ phương trình tọa độ giao điểm của d và (E): 22 3 4 12 0 0; 3 4; 0 1 16 9 xy xy xy xy Vậy d cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B. Giả sử A (4;0) và B (0;3) Ta có 5, 6 ABC AB S nên 2 12 ( , ) 5 ABC S d C AB AB . Từ đó có hệ phương trình tọa độ điểm C 22 22 22 3 4 12 12 22 3 4 12 12 5 34 32 9 16 144 1 2 16 9 xy x xy xy y xy Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài 3 2 3 2 2 2; ; 2 2; 22 CC 2/ Page 5 Ta có (0; 2;0), ( 1;0;0), (0;0;4)DA DB DC . . . 0DADB DB DC DC DA Suy ra DA, DB, DC từng đôi một vuông góc. Gọi M là trung điểm của AC, Mx là trục của tam giác ABC thì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là giao giữa Mx và mặt phẳng trung trực của BD. Từ đó suy ra: 1 2 MI DB Xác định bởi 3 ;3;1 2 I và 21 2 R ID Phương trình mặt cầu (S): 2 22 3 21 ( 3) ( 1) 24 x y z Mặt phẳng () //mp(BCD) nên có véc tơ pháp tuyến là AD (0;2;0) hay n (0;1;0). Phương trình mp () : y + d = 0 Mp () tiếp xúc với (S) 21 ( ,( )) 3 2 d I R d 21 3 2 d Có hai mặt phẳng thỏa mãn đề bài là: 21 30 2 y Câu 7 Đặt ;( , )z x yi x y R . Khi đó ta có: 2 2 2 2 2 0 2 0z z x y x y xyi 2 2 2 2 0 0 0, 1 0 0, 1 xy xy xy x y x y xy Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z gồm 3 điểm: (0;0),(0;1),(0; 1) . ĐỀ SỐ 16 Đ ề t h i t h ử Đ ạ i h ọ c l ầ n V n ă m 2 0 1 1 – T r ư ờ n g T H P T c h u y ê n Đ H S P H à N ộ i Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số 21 1 x y x 1. Khảo sát sự biến thi n. 2 2 xq a S Câu 5 Nếu một trong 3 ẩn x, y, z bằng 0 thì cả 3 đều bằng 0 Xét trường hợp 0xyz . Từ hệ suy ra cả 3 ẩn x, y, z đều âm Do x, y, z bình đẳng theo hoán vị vòng xoay, nên xét hai. hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn 2 0zz . Page 2 ĐỀ SỐ 16 Đ ề t h i t h ử Đ ạ i h ọ c l ầ n V n ă m 2 0 1 1 – T r ư ờ n g T H P T c h u y ê n Đ