Đề thi thử đại học chuyên ĐHSP năm 2012 môn toán (2)

Page 1 ĐỀ SỐ 11 Đề thi thử Đại học lần III năm 2012 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Câu I. (2 điểm) Cho hàm số: 21 1 x y x    1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C). Với giá trị nào của m, đường thẳng y = −x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác IAB đều. Câu II. (2 điểm) 1. Giải phương trình 2 sin os 1 63 (cos sinx.tan ) os 2 cos x c x x x c x x                    2. Tìm các giá trị của tham số a để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt: 28 33 log log 1 0x a x a    Câu III. (1 điểm) Tính tích phân 2 6 0 2sin 4 os2 x I dx cx         Câu IV. (1 điểm) Tứ diện ABCD có cạnh AB = 6, cạnh CD = 8 và các cạnh còn lại bằng 74 . Hãy tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Câu V. (1 điểm) Cho các số dương a, b, c, m, n, p thỏa mãn: a + m = b + n = c + p = k Chứng minh rằng: an + bp + cm < k 2 Câu VI. (2 điểm) 1. Cho điểm M(0; 2) và hyperbol (H): 22 1 41 xx  . Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M cắt (H) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 5 3 MA MB . 2. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): 2 2 2 6 2 2 14 0x y z x y z       . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính r = 4. Câu VII. (1 điểm) Giải hệ bất phương trình     2 1 2 3 62 log 2 x 0 4 x 4 1 x 9            Page 2 ĐỀ SỐ 11 Đề thi thử Đại học lần III năm 2012 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Câu I. 1. HS tự giải 2. Tìm m… Đường thẳng y = −x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình sau có hai nghiệm phân biệt.   12 2 1 21 ,: 1 1 0 1 x x x x x m x m x m x                      2 5 1 4 1 0 (*) 1 1 1 1 0 m mm m mm                       (0,25 điểm) Ta có I(1; 2), x 1 + x 2 = m – 1 và x 1 x 2 = m – 1. Gọi A(x 1 ; y 1 ), B(x 2 ; y 2 ) và H là trung điểm của AB. Khi đó y i = −x i + m (i = 1, 2) và H 2 1 1 2 1 1 3 3 ; . ; . ( ; ) 2 2 2 2 m m m m IH AB x x x x                    Tam giác IAB đều 22 22 3 3 (**) 4 2 IA IB IA IB IH AB IH AB             (0,25 điểm) Ta có 2 IA =     2 1 2 1 2 ( 1) 0IB x x x x m      . Do x 1 + x 2 = m – 1 nên đẳng thức này đúng với mọi m thỏa mãn (*) (0,25 điểm) Ta có (**)       2 22 21 3 3 3 22       m x x m       22 1 2 1 2 2 3 4 3 1 4 1 6 3 0 3 6                       x x x x m m m m m Các giá trị này của m đều thỏa mãn (*). Đáp số 36m  (0,25 điểm) Câu II. 1. Giải phương trình… ĐK: cosx  0, cos 0 2 x  Phương trình đã cho 2 sin sin sinx.sin 1 66 2 cos os cos os 2 x xx x x c x x c                          (0,5 điểm) 2 2 2 2 1 tan 1 2sin 2sin 3 tanx tan 3 tanx 0 22             xx xx Page 3 tanx 0 () tanx 3 3               xk x k k Z    So sánh với điều kiện, nghiệm của phương trình là 2 , , 3 x k x k k Z       (0,5 điểm) 2. Tìm giá trị của tham số a… Điều kiện 8 3 log 0 1  xx 22 33 log 2 log 1 0    PT x a x a Đặt 2 3 log 0x  . Phương trình đã cho trở thành t 2 + 2at + a + 1 = 0 (1) Nhận xét: với mỗi t  0, phương trình 2 3 log x = 1 22 2 2 2 3 1,2 1 2 log 3 3 tt x t x x tm x x       suy ra phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có đúng một nghiệm không âm (0,5 điểm) − Nếu a + 1 = 0 thì a = −1. PT (1) trở thành 2 0 20 2 t tt t         (loại) − Nếu a  −1, khi đó t = 0 không là nghiệm của (1) . Để phương trình có đúng một nghiệm dương thì: + Trường hợp 1. PT (1) có 2 nghiệm trái dấu  a + 1 < 0  a < −1 (0,5 điểm) + Trường hợp 2. Phương trình (1) có nghiệm kép dương   2 2 12 0 ' 1 0 15 2 10 a aa a aa t t a                        Đáp số: a < −1; 15 2 a   Câu III. Tính tích phân Ta có      2 6 6 6 0 0 0 1 os 2 cos sinx 1 sin 2 2 os2 os2 cos sinx cos sinx cx x x I dx dx dx c x c x x x                  (0,5 điểm) 66 6 0 00 cos sinx (cos sinx) 3 1 ln cos sinx ln cos sinx cos sinx 2 x d x I dx x xx             (0,5 điểm) Câu IV. Tính diện tích mặt cầu Theo giả thiết DA = DB = CA = CB = 74 , tam giác ACB cân nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACB thuộc đường cao CE. Ta có tam giác CAB = tam giác DAB do đó Page 4 EC = ED  CED cân  đường cao EF của tam giác CED là đường vuông góc chung của AB và CD đồng thời là trung trực của AB, CD. Vậy tâm O hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nằm trên EF (0,5 điểm) Ta có EF 2 = ED 2 – DF 2 mà ED 2 = 74 – 9 = 65  EF 2 = 65 – 16 = 49  EF = 7 Mặt khác EF = OE + OF 22 9 16RR   . Giải phương trình 22 9 16RR   = 7 ta được R = 5. Do đó diện tích mặt cầu là 2 4 100S R t   (đvdt) (0,5 điểm) Câu V. Chứng minh rằng… Ta có: k 3 = (a + m)(b + n)(c + p) = abc + mnp + abp + can + anp + bcm + bmp + cmn Mặt khác k(an + bp + cm) = an(c + p) + bp(a + m) + cm(b + n) = abp + can + anp + bcm + cmn. Vậy k 3 = abc + mnp + k(an + bp + cm) > k(an + bp + cm)  k 2 > an + bp + cm (đpcm) Câu VI. 1. Viết phương trình đường thẳng… Nhận xét: đường thẳng đi qua M(0; 2) song song với trục Oy không cắt (H) Khi đó (d): y = kx + 2. Tọa độ giao điểm của (d) với (H) là nghiệm của hệ phương trình:   22 22 44 4 1 16 20 0 (1) 2 xy k x kx y kx           Để         ,1d H A B   có hai nghiệm phân biệt 2 2 1 1 4 1 0 2 (2) 2 '0 5 20 16 0 2 k k k k k                       (1 điểm) Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 là hoành độ của A và B, thỏa mãn 12 2 12 2 16 41 20 , 41 xx k xx k              Từ điều kiện 12 55 33 MA MB x x   , khi đó ta có:   2 2 2 22 2 2 2 22 22 22 5 16 6 36 12 3 4 1 4 1 1 5 20 12 41 41 3 4 1 4 1 x x x kk k k k xx kk                        (thỏa mãn (2)) Vậy có hai đường thẳn thỏa mãn bài toán: (d 1 ): y = x + 2, (d 2 ) y = −x + 2 (0,5 điểm) 2. Viết phương trình mặt phẳng… Mặt cầu (S) có tâm là I(−3; 1; 1) và bán kính R = 5 Page 5 Gọi H(a; b; c) là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) chứa trục Oz nên có vecto pháp tuyến ,n k OH    trong đó k (0; 0; 1) và OH (a; b; c). Suy ra n = (−b; a; 0) với a 2 + b 2  0. Suy ra phương trình mặt phẳng (P) có dạng: −bx + ay = 0 (0,5 điểm) Mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tròn có bán kính r = 4 22 3IH R r    . Như vậy khoảng cách từ I đến (P) bằng 2 2 2 2 22 3 3 3 9 6 9 9 ba b ab a b a ba          2 0 8 6 0 3 4 a a ab ab           . Vậy có hai mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình là x = 0, 4x – 3y = 0 (0,5 điểm) Câu VII. Giải hệ bất phương trình… Ta có:   22 1 2 log 2 0 2 1 1x x x       Xét hàm số     3 62 4 1 .f x x x   với 1x  . Đặt t = x 2 , 01t thì f(x) trở thành g(t) = t 3 + 4(1 – t) 3 = g’(t) = 3t 2 – 12(1 – t) 2 g’(t) = 0  t 2 = 4(1 – t) 2   2 2 0;1 2 3 3 t t t           (0,5 điểm) ta có     24 . 0 4, 1 1 39 g g g       suy ra   44 min( ) minf 99 tx   . Suy ra bất phương trình 6 2 3 4 4(1 ) 9 xx   nghiệm đúng   1;1x   . Tóm lại: Tập nghiệm của hệ bất phương trình là S = [−1; 1] . Page 1 ĐỀ SỐ 11 Đề thi thử Đại học lần III năm 2012 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Câu I. (2 điểm) Cho hàm số: 21 1 x y x    1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C).  2 1 2 3 62 log 2 x 0 4 x 4 1 x 9            Page 2 ĐỀ SỐ 11 Đề thi thử Đại học lần III năm 2012 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Câu I. 1. HS tự giải 2. Tìm m… Đường thẳng y. x kk k k k xx kk                        (thỏa mãn (2)) Vậy có hai đường thẳn thỏa mãn bài toán: (d 1 ): y = x + 2, (d 2 ) y = −x + 2 (0,5 điểm) 2. Viết phương trình