200 BÀI TẬP TÍCH PHÂN VTEST

Trang 1 TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ Dạng 1: Tách phân thức Câu 1. x I dx xx 2 2 2 1 7 12     I dx xx 2 1 16 9 1 43         =   x x x 2 1 16ln 4 9ln 3    = 1 25ln2 16ln3 . Câu 2. dx I xx 2 53 1     Ta có: x x x x x x 3 2 3 2 1 1 1 ( 1) 1       I x x x 2 2 2 1 1 3 1 3 ln ln( 1) ln2 ln5 2 2 2 8 1 2             Câu 3. x I dx x x x 5 2 32 4 31 2 5 6        I 2 4 13 7 14 ln ln ln2 3 3 15 6 5     Câu 4. xdx I x 1 03 ( 1)     Ta có: xx xx xx 23 33 11 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)         I x x dx 1 23 0 1 ( 1) ( 1) 8           Dạng 2: Đổi biến số Câu 5. x I dx x 2 4 ( 1) (2 1)      Ta có: xx fx xx 2 1 1 1 ( ) . . 3 2 1 2 1                  x IC x 3 11 9 2 1       Câu 6.     x I dx x 99 1 101 0 71 21        x dx x x Id x x x x 99 99 11 2 00 7 1 1 7 1 7 1 2 1 9 2 1 2 1 21                            x x 100 100 1 1 7 1 1 1 21 0 9 100 2 1 900             Câu 7. x I dx x 1 22 0 5 ( 4)     Đặt tx 2 4  I 1 8  Trang 2 Câu 8. x I dx x 1 7 25 0 (1 )     Đặt t x dt xdx 2 12     t I dt t 2 3 55 1 1 ( 1) 1 1 . 24 2    Câu 9. I x x dx 1 5 3 6 0 (1 )   Đặt dt t t t x dt x dx dx I t t dt x 1 78 3 2 6 2 0 1 1 1 1 3 (1 ) 3 3 7 8 168 3                   Câu 10. I dx xx 4 3 4 1 1 ( 1)     Đặt tx 2   t I dt t t 3 2 1 1 1 1 3 ln 2 4 2 1         Câu 11. dx I xx 2 10 2 1 .( 1)     x dx I xx 2 4 5 10 2 1 . .( 1)    . Đặt tx 5   dt I tt 32 22 1 1 5 ( 1)    Câu 12. x I dx xx 2 7 7 1 1 (1 )      xx I dx xx 2 76 77 1 (1 ). .(1 )     . Đặt tx 7   t I dt tt 128 1 11 7 (1 )     Câu 13. dx I xx 3 62 1 (1 )     Đặt : x t 1   t I dt t t dt tt 3 1 6 3 42 22 1 3 3 1 1 11            = 117 41 3 135 12    Câu 14. x I dx x 2 2001 2 1002 1 . (1 )     x I dx dx xx x x 22 2004 3 2 1002 1002 11 3 2 1 (1 ) 1 1        . Đặt t dt dx xx 23 12 1     . Cách 2: Ta có: x xdx I xx 1 2000 2 2000 2 2 0 1 .2 2 (1 ) (1 )    . Đặt t x dt xdx 2 12     t I dt d tt tt 1000 22 1000 1000 2 1001 11 1 ( 1) 1 1 1 1 11 22 2002.2                    Câu 15. x I dx x 2 2 4 1 1 1     Trang 3  Ta có: x x x x x 2 2 4 2 2 1 1 1 1 1      . Đặt t x dt dx x x 2 11 1          dt I dt tt t 33 22 2 11 1 1 1 2 2 2 2 2          t t 3 1 2 1 2 1 .ln ln 2 2 2 2 2 2 2 1 1        Câu 16. x I dx x 2 2 4 1 1 1      Ta có: x x x x x 2 2 4 2 2 1 1 1 1 1      . Đặt t x dt dx x x 2 11 1          dt I t 5 2 2 2 2    . Đặt du t u dt u 2 2tan 2 cos    ; u u u u 12 55 tan 2 arctan2; tan arctan 22        u u I du u u 2 1 21 2 2 2 5 ( ) arctan arctan2 2 2 2 2          Câu 17. x I dx xx 2 2 3 1 1     Ta có: x I dx x x 2 2 1 1 1 1     . Đặt tx x 1   I 4 ln 5  Câu 18. x I dx x 1 4 6 0 1 1      Ta có: x x x x x x x x x x x x x x x x 4 4 2 2 4 2 2 2 6 6 2 4 2 6 2 6 1 ( 1) 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 1 1                     dx I dx dx xx 11 3 2 3 2 00 1 1 ( ) 1 . 3 4 3 4 3 1 ( ) 1           Câu 19. x I dx x 3 2 3 4 0 1     x I dx dx x x x x 33 2 33 2 2 2 2 00 1 1 1 1 ln(2 3) 2 4 12 ( 1)( 1) 1 1                Câu 20. xdx I xx 1 42 0 1    .  Đặt tx 2   dt dt I tt t 11 22 2 00 11 22 63 1 13 22                Trang 4 Câu 21. x I dx xx 15 2 2 42 1 1 1       Ta có: x x xx x x 2 2 42 2 2 1 1 1 1 1 1      . Đặt t x dt dx x x 2 11 1          dt I t 1 2 0 1    . Đặt du t u dt u 2 tan cos     I du 4 0 4     TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng 1 Câu 22. x I dx xx 2 3 9 1     x I dx x x x dx x dx x x dx xx 2 2 2 2 (3 9 1) 3 9 1 3 9 1             + I x dx x C 23 11 3    + I x x dx 2 2 91  x d x x C 3 2 2 2 2 2 11 9 1 (9 1) (9 1) 18 27         I x x C 3 23 2 1 (9 1) 27     Câu 23. xx I dx xx 2 1      xx dx xx 2 1    xx dx dx x x x x 2 11    . + x I dx xx 2 1 1    . Đặt t= x x t x x 2 11    xt 3 2 2 ( 1)   x dx t t dt 22 4 ( 1) 3     t dt t t C 23 4 4 4 ( 1) 3 9 3      =   x x x x C 3 1 44 11 93     + x I dx xx 2 1    = d x x xx 2 (1 ) 3 1    = x x C 2 4 1 3  Vậy:   I x x C 3 4 1 9    Câu 24. x I dx x 4 0 21 1 2 1      Đặt tx21 . I = t dt t 3 2 1 2 ln2 1    . Trang 5 Câu 25. dx I xx 6 2 2 1 4 1       Đặt tx41 . I 31 ln 2 12  Câu 26. I x x dx 1 32 0 1   Đặt: tx 2 1    I t t dt 1 24 0 2 15     . Câu 27. x I dx x 1 0 1 1      Đặt tx  dx t dt2. . I = tt dt t 1 3 0 2 1    = t t dt t 1 2 0 2 22 1         = 11 4ln2 3  . Câu 28. x I dx xx 3 0 3 3 1 3        Đặt t x tdu dx12     tt I dt t dt dt t tt 2 2 2 3 2 1 1 1 2 8 1 (2 6) 6 1 32           3 3 6ln 2    Câu 29. I x x dx 0 3 1 .1     Đặt tt t x t x dx t dt I t dt 1 1 74 3 2 3 3 0 0 9 1 1 3 3( 1) 3 7 4 28                   Câu 30. x I dx xx 5 2 1 1 31      Đặt tdt t x dx 2 31 3      t tdt I t t 2 2 4 2 2 1 1 3 2 . 3 1 . 3          dt t dt t 44 2 2 22 2 ( 1) 2 9 1      t tt t 3 44 2 1 1 100 9 ln ln . 9 3 1 27 5 22           Câu 31. xx I dx x 3 2 0 21 1      Đặt x t x t 2 11      dx tdt2  t t t I tdt t t dt t t 2 22 2 2 2 5 4 2 3 1 11 2( 1) ( 1) 1 4 54 2 2 (2 3 ) 2 55               Trang 6 Câu 32. x dx I xx 1 2 0 2 ( 1) 1     Đặt t x t x tdt dx 2 1 1 2       tt I tdt t dt t tt t 2 2 22 2 2 3 3 1 11 ( 1) 1 1 16 11 2 .2 2 2 2 33                   Câu 33.   x I dx x 4 2 0 1 1 1 2      Đặt dx t x dt dx t dt x 1 1 2 ( 1) 12          và tt x 2 2 2   Ta có: I = t t t t t t dt dt t dt t t t t 4 4 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 2 2)( 1) 1 3 4 2 1 4 2 3 2 2 2                  = t tt t 2 12 3 4ln 22        = 1 2ln2 4  Câu 34. x I dx x 8 2 3 1 1      x I dx xx 8 22 3 1 11        =   x x x 8 22 3 1 ln 1       =     1 ln 3 2 ln 8 3    Câu 35. I x x x dx 1 32 0 ( 1) 2     I x x x dx x x x x x dx 11 3 2 2 2 00 ( 1) 2 ( 2 1) 2 ( 1)         . Đặt t x x 2 2  I 2 15  . Câu 36. x x x I dx xx 2 32 2 0 23 1      x x x I dx xx 2 2 2 0 ( )(2 1) 1     . Đặt t x x 2 1   I t dt 3 2 1 4 2 ( 1) 3      . Câu 37. x dx I x 2 3 3 2 0 4     Đặt t x x t xdx t dt 3 2 2 3 2 4 4 2 3        I t t dt 3 2 4 3 4 3 3 8 ( 4 ) 4 2 2 2 5          Câu 38. dx I xx 1 2 1 11       Trang 7  Ta có: x x x x I dx dx x xx 11 22 22 11 1 1 1 1 2 (1 ) (1 )             x dx dx xx 11 2 11 1 1 1 1 22          + I dx x x x 1 1 11 1 1 1 1 1 ln | 1 22              + x I dx x 1 2 2 1 1 2     . Đặt t x t x tdt xdx 2 2 2 1 1 2 2        I 2 = t dt t 2 2 2 2 0 2( 1)    Vậy: I 1 . Cách 2: Đặt t x x 2 1   . Câu 39.   xx I dx x 1 3 3 1 4 1 3     Ta có: I dx xx 1 1 3 23 1 3 11 1.      . Đặt t x 2 1 1  I 6 . Câu 40. x I dx x 2 2 1 4    Ta có: x I xdx x 2 2 2 1 4   . Đặt t = x t x tdt xdx 2 2 2 44        I = t tdt t t dt dt t t t t t 0 0 0 0 2 2 2 2 3 3 3 3 ( ) 4 2 (1 ) ln 2 4 4 4                 = 23 3 ln 23        Câu 41. x I dx xx 25 22 2 ( 1) 5     Đặt tx 2 5  dt I t 5 2 3 1 15 ln 47 4    . Câu 42. x I dx xx 27 3 2 1 2     Đặt tx 6   tt I dt dt t t t t t 33 3 2 2 2 11 2 2 2 1 5 5 1 ( 1) 1 1              25 5 3 1 ln 3 12         Câu 43. I dx xx 1 2 0 1 1     Đặt t x x x 2 1     dt It t 13 13 1 1 2 3 2 3 ln(2 1) ln 2 1 3          Câu 44. x I dx xx 3 2 22 0 (1 1 ) (2 1 )        Đặt xt21    I t dt t t 4 2 3 42 36 4 2 16 12 42ln 3            Trang 8 Câu 45. x I dx x x x x 3 2 0 2( 1) 2 1 1         Đặt tx1  t t dt I t dt tt 22 22 2 2 11 2 ( 1) 2 ( 1) ( 1)       t 2 3 1 22 ( 1) 33    Câu 46. x x x I dx x 3 22 3 4 1 2011    Ta có: x I dx dx M N xx 3 2 2 2 2 2 33 11 1 1 2011       x M dx x 3 22 2 3 1 1 1   . Đặt t x 3 2 1 1  M t dt 3 7 3 2 3 0 3 21 7 2 128       N dx x dx xx 22 2 2 2 2 3 32 11 1 2011 2011 14077 2011 16 2            I 3 14077 21 7 16 128  . Câu 47. dx I xx 1 3 33 0 (1 ). 1     Đặt tx 3 3 1  t dt I dt t t t t 33 22 2 22 11 4 3 2 3 33 .( 1) .( 1)    dt dt t dt t t tt t t 3 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2 4 1 1 1 33 4 23 3 3 1 1 1 1 1 .1                         Đặt dt u du tt 34 13 1     uu I du u du u 1 1 11 21 2 21 2 22 33 33 3 00 0 0 1 1 1 1 3 3 3 2 3               Câu 48. x I dx xx x 22 4 2 3 1 1        Đặt tx 2 1 Trang 9  t I dt t 3 22 2 2 ( 1) 2     = tt dt t dt dt tt 3 3 3 42 2 22 2 2 2 2 1 1 19 2 4 2 ln 34 42 22                 Dạng 2: Đổi biến số dạng 2 Câu 49.   x I x x dx x 1 0 1 2 ln 1 1            Tính x H dx x 1 0 1 1     . Đặt x t tcos ; 0; 2       H 2 2    Tính K x x dx 1 0 2 ln(1 )  . Đặt ux dv xdx ln(1 ) 2       K 1 2  Câu 50. I x x x dx 2 5 2 2 2 ( ) 4       I = x x x dx 2 5 2 2 2 ( ) 4    = x x dx 2 52 2 4    + x x dx 2 22 2 4    = A + B. + Tính A = x x dx 2 52 2 4    . Đặt tx . Tính được: A = 0. + Tính B = x x dx 2 22 2 4    . Đặt xt2sin . Tính được: B = 2  . Vậy: I 2   . Câu 51.   x dx I x 2 2 4 1 34 2     Ta có: x I dx dx xx 22 2 44 11 34 22    . + Tính I 1 = dx x 2 4 1 3 2  = x dx 2 4 1 37 2 16    . + Tính x I dx x 2 2 2 4 1 4 2    . Đặt x t dx tdt2sin 2cos   . Trang 10  tdt I t dt t d t tt 2 2 2 2 22 2 42 6 6 6 1 cos 1 1 1 3 cot cot . (cot ) 8 8 8 8 sin sin                  Vậy:   I 1 7 2 3 16  . Câu 52. x dx I x 1 2 6 0 4     Đặt t x dt x dx 32 3    dt I t 1 2 0 1 3 4    . Đặt t u u dt udu2sin , 0; 2cos 2          I dt 6 0 1 3 18     . Câu 53. x I dx x 2 0 2 2      Đặt x t dx tdt2cos 2sin     t I dt 2 2 0 4 sin 2 2       . Câu 54. x dx I xx 1 2 2 0 32     Ta có: x dx I x 1 2 22 0 2 ( 1)    . Đặt xt1 2cos .  tt I dt t 2 2 2 2 3 (1 2cos ) 2sin 4 (2cos )       =   t t dt 2 3 2 3 4cos 2cos2     = 33 4 22   Câu 55. x x dx 1 2 2 0 1 2 1   Đặt xtsin  I t t tdt 6 0 31 (cos sin )cos 12 8 8         Dạng 3: Tích phân từng phần Câu 56. I x dx 3 2 2 1  [...]... sin x  cos x  I   Đặt t  2 tan u  I   1 2  0 1 2 1 2(1  tan2 u) 1 1 du   arctan 2 2 2tan2 u  2 Trang 26 1 dt  2 t2  2 0 4 arctan 1 du Dạng 4: Tích phân từng phần  3 x sin x  Câu 118 I   3 cos2 x dx  Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có:  I 3       1  x 3 xd     cos x  cos x   3 3 3     dx 4   J, với J  cos x 3 3  3  Để tính J ta đặt t  sin x... dx x2  1  2   x 1   2 3   dx x2  1   1  5 2  I  ln x  x2  1 3 2 5 2 1  ln  2  1  ln2 2 4 Chú ý: Không được dùng phép đổi biến x  1 vì  2;3   1;1   cost Trang 11 TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Biến đổi lượng giác Câu 57 I   8cos2 x  sin2x  3 dx sin x  cos x (sin x  cos x)2  4cos2x dx    sin x  cos x  4(sin x  cos x dx   sin x  cos x  3cosx... 14 1 1 dx     dx  4  16 2 0 2  2  2 1  sin2x  0 2 0 1  sin2x cos  x   4   I  x.     1 1   1 2    tan  x   4     0  1  42  16 16 2 2 4 16 2 2  0 TP4: TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ - LOGARIT Dạng 1: Đổi biến số Câu 121 I   e2x 1  ex dx  Đặt t  ex  ex  t 2  exdx  2tdt  I  2 Câu 122 I   t3 2 2 dt  t 3  t 2  2t  2ln t  1  C  ex ex  ex  2 ex... 2 )dt = 4 2 5 3 3 e ln x 2  ln2 x dx x 1 Câu 149 I   xe x  1 Câu 150 I   dx x(e x  ln x) 1 e  Đặt t  2  ln2 x  I   3 34  24    3 8 3 ee  1  Đặt t  e  ln x  I  ln e x Dạng 2: Tích phân từng phần  Câu 151 I  2 e sinx sin2xdx 0  2 u  sin x du  cos xdx   I  2  esinx sin x cos xdx Đặt  sin x sin x dv  e cos xdx v  e 0  I 2  2sin xesin x 0  2  e sin x 2 cos... = ee1 x 1 Vậy: I  I 1  I 2     ln2 x  dx  1  x 1  ln x e  ln x Câu 155 I    e ln x 1x e 1  ln x  Tính I 1   dx Đặt t  1  ln x  I 1  4 2 2  3 3 + Tính I 2   ln2 xdx Lấy tích phân từng phần 2 lần được I 2  e  2 1 Vậy I  e  e 1 e x e e dx  ee   dx x x 1 1 +Tính I 2   ex ln xdx  ex ln x   1 e + Tính I 1   xexdx  xex 1   exdx  ee(e  1) 2 2 2  3 3 Trang... x.cos2 x  I  2  2 dx sin2x.cos2 x Đặt t  tan x  dt  dx cos2 x ; sin2x  t2  1 1 t2 tan2 x  dt   (t  )dt   ln t  C   ln tan x  C t t 2 2 dt 2t 1 t2 Câu 72 I   2011 sin2011 x  sin2009 x sin5 x cot xdx 1 2011 1  sin2 x cot xdx   sin4 x  Ta có: I   Đặt t  cot x  I   2 2011 (1  t 2 )tdt t 4024 2011  cot 2 x sin4 x cot xdx 4024 8046 2011 2011 2011 2011  t  t C 4024 8046 . dx x 2 2001 2 1002 1 . (1 )     x I dx dx xx x x 22 2004 3 2 1002 1002 11 3 2 1 (1 ) 1 1        . Đặt t dt dx xx 23 12 1     . Cách 2: Ta có: x xdx I xx 1 2000 2 2000 . Trang 1 TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ Dạng 1: Tách phân thức Câu 1. x I dx xx 2 2 2 1 7 12     I dx xx 2 1 16 9 1 43  .  dt I t 1 2 0 1    . Đặt du t u dt u 2 tan cos     I du 4 0 4     TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng 1 Câu 22. x I dx xx 2 3 9 1     x I