Trang 1 TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ Dạng 1: Tách phân thức Câu 1. x I dx xx 2 2 2 1 7 12 I dx xx 2 1 16 9 1 43 = x x x 2 1 16ln 4 9ln 3 = 1 25ln2 16ln3 . Câu 2. dx I xx 2 53 1 Ta có: x x x x x x 3 2 3 2 1 1 1 ( 1) 1 I x x x 2 2 2 1 1 3 1 3 ln ln( 1) ln2 ln5 2 2 2 8 1 2 Câu 3. x I dx x x x 5 2 32 4 31 2 5 6 I 2 4 13 7 14 ln ln ln2 3 3 15 6 5 Câu 4. xdx I x 1 03 ( 1) Ta có: xx xx xx 23 33 11 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) I x x dx 1 23 0 1 ( 1) ( 1) 8 Dạng 2: Đổi biến số Câu 5. x I dx x 2 4 ( 1) (2 1) Ta có: xx fx xx 2 1 1 1 ( ) . . 3 2 1 2 1 x IC x 3 11 9 2 1 Câu 6. x I dx x 99 1 101 0 71 21 x dx x x Id x x x x 99 99 11 2 00 7 1 1 7 1 7 1 2 1 9 2 1 2 1 21 x x 100 100 1 1 7 1 1 1 21 0 9 100 2 1 900 Câu 7. x I dx x 1 22 0 5 ( 4) Đặt tx 2 4 I 1 8 Trang 2 Câu 8. x I dx x 1 7 25 0 (1 ) Đặt t x dt xdx 2 12 t I dt t 2 3 55 1 1 ( 1) 1 1 . 24 2 Câu 9. I x x dx 1 5 3 6 0 (1 ) Đặt dt t t t x dt x dx dx I t t dt x 1 78 3 2 6 2 0 1 1 1 1 3 (1 ) 3 3 7 8 168 3 Câu 10. I dx xx 4 3 4 1 1 ( 1) Đặt tx 2 t I dt t t 3 2 1 1 1 1 3 ln 2 4 2 1 Câu 11. dx I xx 2 10 2 1 .( 1) x dx I xx 2 4 5 10 2 1 . .( 1) . Đặt tx 5 dt I tt 32 22 1 1 5 ( 1) Câu 12. x I dx xx 2 7 7 1 1 (1 ) xx I dx xx 2 76 77 1 (1 ). .(1 ) . Đặt tx 7 t I dt tt 128 1 11 7 (1 ) Câu 13. dx I xx 3 62 1 (1 ) Đặt : x t 1 t I dt t t dt tt 3 1 6 3 42 22 1 3 3 1 1 11 = 117 41 3 135 12 Câu 14. x I dx x 2 2001 2 1002 1 . (1 ) x I dx dx xx x x 22 2004 3 2 1002 1002 11 3 2 1 (1 ) 1 1 . Đặt t dt dx xx 23 12 1 . Cách 2: Ta có: x xdx I xx 1 2000 2 2000 2 2 0 1 .2 2 (1 ) (1 ) . Đặt t x dt xdx 2 12 t I dt d tt tt 1000 22 1000 1000 2 1001 11 1 ( 1) 1 1 1 1 11 22 2002.2 Câu 15. x I dx x 2 2 4 1 1 1 Trang 3 Ta có: x x x x x 2 2 4 2 2 1 1 1 1 1 . Đặt t x dt dx x x 2 11 1 dt I dt tt t 33 22 2 11 1 1 1 2 2 2 2 2 t t 3 1 2 1 2 1 .ln ln 2 2 2 2 2 2 2 1 1 Câu 16. x I dx x 2 2 4 1 1 1 Ta có: x x x x x 2 2 4 2 2 1 1 1 1 1 . Đặt t x dt dx x x 2 11 1 dt I t 5 2 2 2 2 . Đặt du t u dt u 2 2tan 2 cos ; u u u u 12 55 tan 2 arctan2; tan arctan 22 u u I du u u 2 1 21 2 2 2 5 ( ) arctan arctan2 2 2 2 2 Câu 17. x I dx xx 2 2 3 1 1 Ta có: x I dx x x 2 2 1 1 1 1 . Đặt tx x 1 I 4 ln 5 Câu 18. x I dx x 1 4 6 0 1 1 Ta có: x x x x x x x x x x x x x x x x 4 4 2 2 4 2 2 2 6 6 2 4 2 6 2 6 1 ( 1) 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 1 1 dx I dx dx xx 11 3 2 3 2 00 1 1 ( ) 1 . 3 4 3 4 3 1 ( ) 1 Câu 19. x I dx x 3 2 3 4 0 1 x I dx dx x x x x 33 2 33 2 2 2 2 00 1 1 1 1 ln(2 3) 2 4 12 ( 1)( 1) 1 1 Câu 20. xdx I xx 1 42 0 1 . Đặt tx 2 dt dt I tt t 11 22 2 00 11 22 63 1 13 22 Trang 4 Câu 21. x I dx xx 15 2 2 42 1 1 1 Ta có: x x xx x x 2 2 42 2 2 1 1 1 1 1 1 . Đặt t x dt dx x x 2 11 1 dt I t 1 2 0 1 . Đặt du t u dt u 2 tan cos I du 4 0 4 TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng 1 Câu 22. x I dx xx 2 3 9 1 x I dx x x x dx x dx x x dx xx 2 2 2 2 (3 9 1) 3 9 1 3 9 1 + I x dx x C 23 11 3 + I x x dx 2 2 91 x d x x C 3 2 2 2 2 2 11 9 1 (9 1) (9 1) 18 27 I x x C 3 23 2 1 (9 1) 27 Câu 23. xx I dx xx 2 1 xx dx xx 2 1 xx dx dx x x x x 2 11 . + x I dx xx 2 1 1 . Đặt t= x x t x x 2 11 xt 3 2 2 ( 1) x dx t t dt 22 4 ( 1) 3 t dt t t C 23 4 4 4 ( 1) 3 9 3 = x x x x C 3 1 44 11 93 + x I dx xx 2 1 = d x x xx 2 (1 ) 3 1 = x x C 2 4 1 3 Vậy: I x x C 3 4 1 9 Câu 24. x I dx x 4 0 21 1 2 1 Đặt tx21 . I = t dt t 3 2 1 2 ln2 1 . Trang 5 Câu 25. dx I xx 6 2 2 1 4 1 Đặt tx41 . I 31 ln 2 12 Câu 26. I x x dx 1 32 0 1 Đặt: tx 2 1 I t t dt 1 24 0 2 15 . Câu 27. x I dx x 1 0 1 1 Đặt tx dx t dt2. . I = tt dt t 1 3 0 2 1 = t t dt t 1 2 0 2 22 1 = 11 4ln2 3 . Câu 28. x I dx xx 3 0 3 3 1 3 Đặt t x tdu dx12 tt I dt t dt dt t tt 2 2 2 3 2 1 1 1 2 8 1 (2 6) 6 1 32 3 3 6ln 2 Câu 29. I x x dx 0 3 1 .1 Đặt tt t x t x dx t dt I t dt 1 1 74 3 2 3 3 0 0 9 1 1 3 3( 1) 3 7 4 28 Câu 30. x I dx xx 5 2 1 1 31 Đặt tdt t x dx 2 31 3 t tdt I t t 2 2 4 2 2 1 1 3 2 . 3 1 . 3 dt t dt t 44 2 2 22 2 ( 1) 2 9 1 t tt t 3 44 2 1 1 100 9 ln ln . 9 3 1 27 5 22 Câu 31. xx I dx x 3 2 0 21 1 Đặt x t x t 2 11 dx tdt2 t t t I tdt t t dt t t 2 22 2 2 2 5 4 2 3 1 11 2( 1) ( 1) 1 4 54 2 2 (2 3 ) 2 55 Trang 6 Câu 32. x dx I xx 1 2 0 2 ( 1) 1 Đặt t x t x tdt dx 2 1 1 2 tt I tdt t dt t tt t 2 2 22 2 2 3 3 1 11 ( 1) 1 1 16 11 2 .2 2 2 2 33 Câu 33. x I dx x 4 2 0 1 1 1 2 Đặt dx t x dt dx t dt x 1 1 2 ( 1) 12 và tt x 2 2 2 Ta có: I = t t t t t t dt dt t dt t t t t 4 4 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 2 2)( 1) 1 3 4 2 1 4 2 3 2 2 2 = t tt t 2 12 3 4ln 22 = 1 2ln2 4 Câu 34. x I dx x 8 2 3 1 1 x I dx xx 8 22 3 1 11 = x x x 8 22 3 1 ln 1 = 1 ln 3 2 ln 8 3 Câu 35. I x x x dx 1 32 0 ( 1) 2 I x x x dx x x x x x dx 11 3 2 2 2 00 ( 1) 2 ( 2 1) 2 ( 1) . Đặt t x x 2 2 I 2 15 . Câu 36. x x x I dx xx 2 32 2 0 23 1 x x x I dx xx 2 2 2 0 ( )(2 1) 1 . Đặt t x x 2 1 I t dt 3 2 1 4 2 ( 1) 3 . Câu 37. x dx I x 2 3 3 2 0 4 Đặt t x x t xdx t dt 3 2 2 3 2 4 4 2 3 I t t dt 3 2 4 3 4 3 3 8 ( 4 ) 4 2 2 2 5 Câu 38. dx I xx 1 2 1 11 Trang 7 Ta có: x x x x I dx dx x xx 11 22 22 11 1 1 1 1 2 (1 ) (1 ) x dx dx xx 11 2 11 1 1 1 1 22 + I dx x x x 1 1 11 1 1 1 1 1 ln | 1 22 + x I dx x 1 2 2 1 1 2 . Đặt t x t x tdt xdx 2 2 2 1 1 2 2 I 2 = t dt t 2 2 2 2 0 2( 1) Vậy: I 1 . Cách 2: Đặt t x x 2 1 . Câu 39. xx I dx x 1 3 3 1 4 1 3 Ta có: I dx xx 1 1 3 23 1 3 11 1. . Đặt t x 2 1 1 I 6 . Câu 40. x I dx x 2 2 1 4 Ta có: x I xdx x 2 2 2 1 4 . Đặt t = x t x tdt xdx 2 2 2 44 I = t tdt t t dt dt t t t t t 0 0 0 0 2 2 2 2 3 3 3 3 ( ) 4 2 (1 ) ln 2 4 4 4 = 23 3 ln 23 Câu 41. x I dx xx 25 22 2 ( 1) 5 Đặt tx 2 5 dt I t 5 2 3 1 15 ln 47 4 . Câu 42. x I dx xx 27 3 2 1 2 Đặt tx 6 tt I dt dt t t t t t 33 3 2 2 2 11 2 2 2 1 5 5 1 ( 1) 1 1 25 5 3 1 ln 3 12 Câu 43. I dx xx 1 2 0 1 1 Đặt t x x x 2 1 dt It t 13 13 1 1 2 3 2 3 ln(2 1) ln 2 1 3 Câu 44. x I dx xx 3 2 22 0 (1 1 ) (2 1 ) Đặt xt21 I t dt t t 4 2 3 42 36 4 2 16 12 42ln 3 Trang 8 Câu 45. x I dx x x x x 3 2 0 2( 1) 2 1 1 Đặt tx1 t t dt I t dt tt 22 22 2 2 11 2 ( 1) 2 ( 1) ( 1) t 2 3 1 22 ( 1) 33 Câu 46. x x x I dx x 3 22 3 4 1 2011 Ta có: x I dx dx M N xx 3 2 2 2 2 2 33 11 1 1 2011 x M dx x 3 22 2 3 1 1 1 . Đặt t x 3 2 1 1 M t dt 3 7 3 2 3 0 3 21 7 2 128 N dx x dx xx 22 2 2 2 2 3 32 11 1 2011 2011 14077 2011 16 2 I 3 14077 21 7 16 128 . Câu 47. dx I xx 1 3 33 0 (1 ). 1 Đặt tx 3 3 1 t dt I dt t t t t 33 22 2 22 11 4 3 2 3 33 .( 1) .( 1) dt dt t dt t t tt t t 3 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2 4 1 1 1 33 4 23 3 3 1 1 1 1 1 .1 Đặt dt u du tt 34 13 1 uu I du u du u 1 1 11 21 2 21 2 22 33 33 3 00 0 0 1 1 1 1 3 3 3 2 3 Câu 48. x I dx xx x 22 4 2 3 1 1 Đặt tx 2 1 Trang 9 t I dt t 3 22 2 2 ( 1) 2 = tt dt t dt dt tt 3 3 3 42 2 22 2 2 2 2 1 1 19 2 4 2 ln 34 42 22 Dạng 2: Đổi biến số dạng 2 Câu 49. x I x x dx x 1 0 1 2 ln 1 1 Tính x H dx x 1 0 1 1 . Đặt x t tcos ; 0; 2 H 2 2 Tính K x x dx 1 0 2 ln(1 ) . Đặt ux dv xdx ln(1 ) 2 K 1 2 Câu 50. I x x x dx 2 5 2 2 2 ( ) 4 I = x x x dx 2 5 2 2 2 ( ) 4 = x x dx 2 52 2 4 + x x dx 2 22 2 4 = A + B. + Tính A = x x dx 2 52 2 4 . Đặt tx . Tính được: A = 0. + Tính B = x x dx 2 22 2 4 . Đặt xt2sin . Tính được: B = 2 . Vậy: I 2 . Câu 51. x dx I x 2 2 4 1 34 2 Ta có: x I dx dx xx 22 2 44 11 34 22 . + Tính I 1 = dx x 2 4 1 3 2 = x dx 2 4 1 37 2 16 . + Tính x I dx x 2 2 2 4 1 4 2 . Đặt x t dx tdt2sin 2cos . Trang 10 tdt I t dt t d t tt 2 2 2 2 22 2 42 6 6 6 1 cos 1 1 1 3 cot cot . (cot ) 8 8 8 8 sin sin Vậy: I 1 7 2 3 16 . Câu 52. x dx I x 1 2 6 0 4 Đặt t x dt x dx 32 3 dt I t 1 2 0 1 3 4 . Đặt t u u dt udu2sin , 0; 2cos 2 I dt 6 0 1 3 18 . Câu 53. x I dx x 2 0 2 2 Đặt x t dx tdt2cos 2sin t I dt 2 2 0 4 sin 2 2 . Câu 54. x dx I xx 1 2 2 0 32 Ta có: x dx I x 1 2 22 0 2 ( 1) . Đặt xt1 2cos . tt I dt t 2 2 2 2 3 (1 2cos ) 2sin 4 (2cos ) = t t dt 2 3 2 3 4cos 2cos2 = 33 4 22 Câu 55. x x dx 1 2 2 0 1 2 1 Đặt xtsin I t t tdt 6 0 31 (cos sin )cos 12 8 8 Dạng 3: Tích phân từng phần Câu 56. I x dx 3 2 2 1 [...]... sin x cos x I Đặt t 2 tan u I 1 2 0 1 2 1 2(1 tan2 u) 1 1 du arctan 2 2 2tan2 u 2 Trang 26 1 dt 2 t2 2 0 4 arctan 1 du Dạng 4: Tích phân từng phần 3 x sin x Câu 118 I 3 cos2 x dx Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có: I 3 1 x 3 xd cos x cos x 3 3 3 dx 4 J, với J cos x 3 3 3 Để tính J ta đặt t sin x... dx x2 1 2 x 1 2 3 dx x2 1 1 5 2 I ln x x2 1 3 2 5 2 1 ln 2 1 ln2 2 4 Chú ý: Không được dùng phép đổi biến x 1 vì 2;3 1;1 cost Trang 11 TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Biến đổi lượng giác Câu 57 I 8cos2 x sin2x 3 dx sin x cos x (sin x cos x)2 4cos2x dx sin x cos x 4(sin x cos x dx sin x cos x 3cosx... 14 1 1 dx dx 4 16 2 0 2 2 2 1 sin2x 0 2 0 1 sin2x cos x 4 I x. 1 1 1 2 tan x 4 0 1 42 16 16 2 2 4 16 2 2 0 TP4: TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ - LOGARIT Dạng 1: Đổi biến số Câu 121 I e2x 1 ex dx Đặt t ex ex t 2 exdx 2tdt I 2 Câu 122 I t3 2 2 dt t 3 t 2 2t 2ln t 1 C ex ex ex 2 ex... 2 )dt = 4 2 5 3 3 e ln x 2 ln2 x dx x 1 Câu 149 I xe x 1 Câu 150 I dx x(e x ln x) 1 e Đặt t 2 ln2 x I 3 34 24 3 8 3 ee 1 Đặt t e ln x I ln e x Dạng 2: Tích phân từng phần Câu 151 I 2 e sinx sin2xdx 0 2 u sin x du cos xdx I 2 esinx sin x cos xdx Đặt sin x sin x dv e cos xdx v e 0 I 2 2sin xesin x 0 2 e sin x 2 cos... = ee1 x 1 Vậy: I I 1 I 2 ln2 x dx 1 x 1 ln x e ln x Câu 155 I e ln x 1x e 1 ln x Tính I 1 dx Đặt t 1 ln x I 1 4 2 2 3 3 + Tính I 2 ln2 xdx Lấy tích phân từng phần 2 lần được I 2 e 2 1 Vậy I e e 1 e x e e dx ee dx x x 1 1 +Tính I 2 ex ln xdx ex ln x 1 e + Tính I 1 xexdx xex 1 exdx ee(e 1) 2 2 2 3 3 Trang... x.cos2 x I 2 2 dx sin2x.cos2 x Đặt t tan x dt dx cos2 x ; sin2x t2 1 1 t2 tan2 x dt (t )dt ln t C ln tan x C t t 2 2 dt 2t 1 t2 Câu 72 I 2011 sin2011 x sin2009 x sin5 x cot xdx 1 2011 1 sin2 x cot xdx sin4 x Ta có: I Đặt t cot x I 2 2011 (1 t 2 )tdt t 4024 2011 cot 2 x sin4 x cot xdx 4024 8046 2011 2011 2011 2011 t t C 4024 8046 . dx x 2 2001 2 1002 1 . (1 ) x I dx dx xx x x 22 2004 3 2 1002 1002 11 3 2 1 (1 ) 1 1 . Đặt t dt dx xx 23 12 1 . Cách 2: Ta có: x xdx I xx 1 2000 2 2000 . Trang 1 TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ Dạng 1: Tách phân thức Câu 1. x I dx xx 2 2 2 1 7 12 I dx xx 2 1 16 9 1 43 . dt I t 1 2 0 1 . Đặt du t u dt u 2 tan cos I du 4 0 4 TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng 1 Câu 22. x I dx xx 2 3 9 1 x I