Phép biến đổi sine và cosine fourier hữu hạn (LV01037)

LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cám ơn TS Nguyễn Văn Hào, người đã trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn. Với những lời chỉ dẫn, những tài liệu, sự tận tình hướng dẫn và những lời động viên của thầy đã giúp tôi vượt qua nhiều khó khăn trong quá trình thực hiện luận văn này. Tôi cũng xin cám ơn quý thầy cô giảng dạy chương trình cao học “Toán giải tích” đã truyền dạy những kiến thức quý báu, những kiến thức này rất hữu ích và giúp tôi nhiều khi thực hiện nghiên cứu. Xin cám ơn các Quý thầy, cô công tác tại Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình tìm tài liệu. Xin gửi lời cảm ơn các anh chị lớp Toán giải tích K15 đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập. Tôi xin chân thành cám ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 08 năm 2013 Học viên Nguyễn Hồng Việt i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này với đề tài “Phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn” là công trình nghiên cứu của bản thân tôi. Trong quá trình hoàn thành Luận văn, tôi đã kế thừa các thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Học viên Nguyễn Hồng Việt ii Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Lý thuyết cơ bản về chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Một số khái niệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Khai triển Fourier của hàm có chu kì 2π . . . . . . . . . 4 1.1.3. Chuỗi Fourier của hàm chẵn, lẻ . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4. Chuỗi Fourier của hàm có chu kì khác 2π . . . . . . . . . . . 6 1.1.5. Chuỗi Fourier của hàm xác định trên đoạn [a, b] . . . . . . . 7 1.1.6. Đạo hàm và tính hội tụ của chuỗi Fouier . . . . . . . . . . 8 1.1.7. Dạng phức của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2. Tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1. Biểu diễn hàm số bằng tích phân Fourier . . . . . . . . . . . 14 1.2.2. Dạng khác của công thức Fourier. . . . . . . . . . . . . 19 1.3. Biến đổi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 iii 1.3.2. Các tính chất của biến đổi Fourier. . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.3. Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến đổi Fourier 25 1.3.4. Tích chập và biến đổi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Chương 2. Phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn . . 31 2.1. Khái niệm về phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn . 31 2.2. Tính chất cơ bản của phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn 34 Chương 3. Một số ứng dụng của phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1. Vấn đề truyền nhiệt trong một miền hữu hạn với các dữ liệu Dirichlet ở biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2. Chuyển dịch ngang của một thanh đàn hồi có chiều dài hữu hạn 45 3.3. Biến đổi Fourier hữu hạn của hàm hai biến và áp dụng . . . 47 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 iv MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Phép biến đổi Fourier là công cụ giải tích hiệu lực trong nhiều lĩnh vực như; lý thuyết xác suất, quang học, phân tích tín hiệu, kỹ thuật máy tính hiện đại,. . Tuy nhiên, phép biến đổi này còn một số hạn chế nhất định trong việc giải quyết một số bài toán Vật lý. Chẳng hạn như bài toán liên quan đến sự truyền nhiệt trong một miền hữu hạn, chuyển vị ngang của một chùm tia đàn hồi có chiều dài hữu hạn,. . Để giải quyết một số bài toán trong lĩnh vực này, nhiều nhà toán học đã nghiên cứu và đưa ra một phép biến đổi khắch phục điều đó, được gọi là “ Phép biến đổi sine và cosine hữu hạn”. Người đầu tiên đề xuất phép biến đổi này là nhà toán học người Đức Gustav Doetsch (1892-1977) đăng tải trong công trình “Integration von Differentialgleichungen vermittels der endlichen Fourier Transformation”. Sau đó, phép biến đổi này được phát triển và tổng quát hóa bởi nhiều tác giả như Kneitz [4] , Roettinger [5] và Brown [2]. Với ý nghĩa và tầm quan trọng của phép biến đổi Fourier hữu hạn của hàm sine và cosine trong việc giải quyết một số bài toán Vật lý cùng với sự định hướng của thầy hướng dẫn, em chọn đề tài PHÉP BIẾN ĐỔI SINE VÀ COSINE FOURIER HỮU HẠN 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn nghiên cứu về phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn và ứng dụng của nó trong giải một số bài toán Vật lý. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1 Trình bày lý thuyết cơ bản về chuỗi Fourier. Trình bày hệ thống phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn. Trình bày ứng dụng của phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Phép biến đổi sine, cosine Fourier hữu hạn và ứng dụng. 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu. Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 6. Dự kiến đóng góp của đề tài Trình bày hệ thống về lý thuyết của phép biến đổi sine, cosine Fourier hữu hạn. Giới thiệu một số ứng dụng cơ bản của phép biến đổi sine, cosine Fourier hữu hạn trong một số bài toán Vật lý. 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Lý thuyết cơ bản về chuỗi Fourier 1.1.1. Một số khái niệm Hàm tuần hoàn. Cho hàm số ϕ (t) xác định trên R, ϕ (t) được gọi là hàm tuần hoàn trên R, nếu ∃T > 0 nhỏ nhất sao cho ϕ (t + T ) = ϕ (t) . Hàm điều hòa. Xét hàm số ϕ (t) = A 0 + A 1 sin (ωt + α 1 ) + A 2 sin (2ωt + α 2 ) + = A 0 + ∞  n=1 A n sin (nωt + α n ); (1.1.1) trong đó, A 0 , A 1 , , α 1 , α 2 , là các hằng số có giá trị đặc biệt đối với mỗi hàm như trên, ω = 2π T gọi là thành phần điều hòa của hàm ϕ (t). Nếu ta chọn biến độc lập x = ωt = 2πt T thì ta thu được hàm đối với x, f (x) = ϕ  x ω  3 cũng là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2π. Khi đó khai triển công thức (1.1.1) có dạng f (x) = A 0 + A 1 sin (x + α 1 ) + A 2 sin (2x + α 2 ) + = A 0 + ∞  n=1 A n sin (nt + α n ) (1.1.2) Khai triển các số hạng chuỗi (1.1.2) theo công thức sine của tổng và đặt a 0 = A 0 , a n = A n sin α n , b n = A n cosα n ; n = 1, 2, Khi đó ta có được f (x) = a 0 + (a 1 cos x + b 1 sin x) + (a 2 cos 2x + b 2 sin 2x) + = a 0 + ∞  n=1 (a n cos nx + b n sin nx) (1.1.3) Hàm tuần hoàn f (x) có chu kỳ T = 2π được khai triển theo công thức (1.1.3) được gọi là hàm điều hòa. Chuỗi lượng giác. Chuỗi lượng giác là chuỗi có dạng a 0 2 + ∞  n=1 (a n cos nx + b n sin nx) (1.1.4) trong đó a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 là các hằng số. 1.1.2. Khai triển Fourier của hàm có chu kì 2π Cho hàm f (x) xác định trên R, có chu kỳ 2π. Bằng phép đổi biến t = x−a, ta nhận được a+π  a−π f (x)dx = π  −π f (t)dt, (∀a ∈ R) 4 Định nghĩa 1.1.1. Ta nói f (x) khai triển được thành chuỗi lượng giác nếu có thể viết f (x) = a 0 2 + ∞  n=1 (a n cos nx + b n sin nx) (1.1.5) với mọi x ∈ R. Giả sử f (x) được khai triển thành chuỗi lượng giác. Nếu có thể tích phân từng số hạng thì ta có π  −π f (x) dx = π  −π a 0 2 dx + ∞  n=1 π  −π (a n cos nx + b n sin nx) dx = a 0 2 x    π −π + ∞  n=1  a n n sin nx    π −π − b n n cos nx     π −π  = πa 0 Do đó, ta nhận được a 0 = 1 π π  −π f (x) dx (1.1.6) π  −π f (x) cos nxdx = a n π  −π cos 2 nxdx = a n π ⇒ a n = 1 π π  −π f (x) cos nxdx (1.1.7) π  −π f (x) sin nxdx = b n π  −π sin 2 nxdx = b n π ⇒ b n = 1 π π  −π f (x) sin nxdx (1.1.8) với n = 1, 2, 5 Định nghĩa 1.1.2. Cho hàm f (x) là một hàm tuần hoàn với chu kì 2π. Khi đó ta gọi chuỗi Fourier của f (x) là chuỗi S (x) = a 0 2 + ∞  n=1 (a n cos nx + b n sin nx) trong đó các hệ số được xác định như trong các công thức (1.1.6) - (1.1.8). 1.1.3. Chuỗi Fourier của hàm chẵn, lẻ Cho hàm f (x) là một hàm tuần hoàn với chu kì 2π. Ta thấy a n = 1 π π  −π f (x) cos nxdx = 0, nếu f (x) là hàm lẻ (1.1.9) b n = 1 π π  −π f (x) sin nxdx = 0, nếu f (x) là hàm chẵn (1.1.10) Vậy nếu f (x) là hàm lẻ thì chuỗi Fourier có dạng f (x) = ∞  n=1 b n sin nx; b n = 1 π π  −π f (x) cos nxdx (1.1.11) Vậy nếu f (x) là hàm chẵn thì f (x) = a 0 2 + ∞  n=1 a n cos nx; a n = 1 π π  −π f (x) sin nxdx (1.1.12) 1.1.4. Chuỗi Fourier của hàm có chu kì khác 2π Giả sử f (x) là hàm tuần hoàn có chu kì 2L = 2π . Xét phép đổi biến t = πx L ⇔ x = tL π . Khi đó hàm g (t) = f  tL π  có chu kì 2π . Vậy chuỗi Fourier của g (t) sẽ là a 0 = 1 π π  −π g (t) dt (1.1.13) 6 [...]... 2 Phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn Chương này, chúng tôi trình bày một cách căn bản hệ thống về lý thuyết phép biến đổi sine, cosine Fourier hữu hạn; Khái niệm, các tính chất cơ bản; các phép tính toán tử của phép biến đổi này Phép biến đổi sine, cosine Fourier hữu hạn lần đầu tiên được đưa ra bởi Doet (1935) Về sau, biến đổi này được phát biểu và tổng quát hóa bởi nhiều tác giả như Kneitz... (1947), và Brown (1944) 2.1 Khái niệm về phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn Định nghĩa 2.1.1 (Phép biến đổi sine Fourier hữu hạn) Nếu f (x) là một hàm liên tục hoặc liên tục từng khúc trên khoảng 0 < x < a thì biến đổi 31 sine Fourier hữu hạn được xác định bởi a ˜ Fs {f (x)} = fs (n) = f (x) sin nπx dx, a (2.1.1) 0 với n=1,2,3, Một kết quả quan trọng của lý thuyết chuỗi Fourier đó là chuỗi Fourier. .. được cho bởi Fs−1 2 ˜ fs (n) = f (x) = a ∞ nπx ˜ fs (n) sin a n=1 (2.1.3) Rõ ràng, cả hai Fs và Fs−1 là các biến đổi tuyến tính Định nghĩa 2.1.2 (Phép biến đổi cosine Fourier hữu hạn) Nếu f (x) là hàm liên tục hoặc liên tục từng khúc trên mỗi khoảng hữu hạn 0 < x < a, biến đổi cosine Fourier hữu hạn của f (x) được xác định bởi a ˜ Fc {f (x)} = fc (n) = f (x) cos 0 nới n=0,1,2, 32 nπx dx, a (2.1.4) ... các biến đổi Fourier của chúng Nghĩa là F [ϕ ∗ ψ] = F [ϕ] F [ψ] Chứng minh Bằng cách đổi thứ tự lấy tích phân, ta có ∞ 1 F [ϕ ∗ ψ] = 2π ∞ e−ixy dx −∞ −∞ ∞ ∞ = 1 2π ϕ(t)ψ(x − t)dt ψ(x − t)e−ixy dx ϕ(t)dt −∞ −∞ Bằng phép biến đổi x = t + s ta thu được ∞ 1 F [ϕ ∗ ψ] = √ 2π −∞ ∞ 1 ϕ(t)e−ity dt √ 2π Mệnh đề đã được chứng minh 30 ψ(s)e−isy ds = F [ϕ].F [ψ] −∞ Chương 2 Phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu. .. chất của biến đổi Fourier Mệnh đề 1.3.2 Phép biến đổi Fourier (và ngược của nó) là tuyến tính, nghĩa là, F [λ1 f1 + λ2 f2 ] = λ1 F [f1 ] + λ2 F [f2 ] (1.3.74) F −1 [λ1 f1 + λ2 f2 ] = λ1 F −1 [f1 ] + λ2 F −1 [f2 ] ; (1.3.75) và (các công thức trên được hiểu theo nghĩa: nếu vế phải tồn tại thì vế trái tồn tại và có đẳng thức xảy ra) Chứng minh Suy ra ngay từ định nghĩa Mệnh đề 1.3.3 Phép biến đổi Fourier. .. 2π Φ(y)eixy dy (1.3.68) −∞ người ta gọi phép ứng mỗi hàm f với hàm số ∞ 1 f (y) = Φ(y) = v.p √ 2π f (t)e−iyt dt −∞ là phép biến đổi Fourier và thường được ký hiệu là F Nghĩa là ˆ f = F [f ] = Φ 21 (1.3.69) Như vậy, phép biến dổi Fourier được xác định với mọi hàm khả tích tuyệt đối Trong định nghĩa này, f có thể là một hàm (với biến số thực) nhận giá trị phức, và ảnh của nó F [f ] nói chung là hàm nhận... dàng kiểm tra rằng đây là hàm liên tục và tiến tới 0 khi y tiến ra vô cùng (về cả hai phía) Mệnh đề đã được chứng minh xong 1.3.3 Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến đổi Fourier Mệnh đề 1.3.6 Nếu hàm khả tích tuyệt đối f có các đạo hàm đến cấp n là liên tục và khả tích tuyệt đối trên toàn trục số thì F f (k) = (iy)k F [f ] ; k = 0, 1, 2, n (1.3.80) và tồn tại số M > 0 sao cho |F [f ]| ≤... và vì vậy ta có thể áp dụng tích chập nhiều lần liên tiếp, và cũng có thể áp dụng biến đổi Fourier cho tích chập của hai hàm Trong phần còn lại ta luôn hiểu ngầm là phép tích chập xác định cho lớp các hàm liên tục, bị chặn và khả tích tuyệt đối (trên toàn trục số) Mệnh đề 1.3.8 Tích chập có tính giao hoán và kết hợp Chứng minh Bằng cách đổi biến x − t = s , ta có ∞ ϕ∗ψ = ∞ ϕ(t)ψ(x − t)dt = −∞ ϕ(x −... tính giao hoán Bằng cách đổi biến t = y − ξ , đổi thứ tự lấy tích phân, rồi lại làm phép đổi biến x − y + ξ = η , ta có ∞ ∞ χ(y − x)dx (ϕ∗ψ)∗χ = ϕ(t)ψ(x − t)dt −∞ −∞ ∞ ∞ χ(y − x)dx = ϕ(y − ξ)ψ(x − y + ξ)dξ −∞ −∞ ∞ ∞ ϕ(y − ξ)dξ = ψ(x − y + ξ)χ(y − x)dx −∞ −∞ ∞ ∞ ϕ(y − ξ)dξ = −∞ ψ(η)χ(ξ − η)dη = (ψ ∗ χ) ∗ ϕ −∞ Vậy tích chập có tính chất kết hợp 29 (1.3.86) Mệnh đề 1.3.9 Biến đổi Fourier của tích chập hai... Fourier sine cho hàm số f (x) trong khoảng 0 < x < a 2 a ∞ nπx ˜ fs (n) sin a n=1 (2.1.2) hội tụ đến đến f (x) tại một điểm liên tục trong khoảng 0 < x < a và 1 hội tụ đến [f (x + 0) + f (x − 0)] tại mỗi thời điểm x hữa hạn gián đoạn 2 trong 0 < x < a Theo định nghĩa (2.1.1), biến đổi nghịch đảo sine Fourier được cho bởi Fs−1 2 ˜ fs (n) = f (x) = a ∞ nπx ˜ fs (n) sin a n=1 (2.1.3) Rõ ràng, cả hai Fs và . 2. Phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn . . 31 2.1. Khái niệm về phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn . 31 2.2. Tính chất cơ bản của phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn 34 Chương. phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn. Trình bày ứng dụng của phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Phép biến đổi sine, cosine Fourier hữu hạn và. tài Trình bày hệ thống về lý thuyết của phép biến đổi sine, cosine Fourier hữu hạn. Giới thiệu một số ứng dụng cơ bản của phép biến đổi sine, cosine Fourier hữu hạn trong một số bài toán Vật lý. 2 Chương