Phép biến đổi sine và cosine fourier hữu hạn (LV01037)

Với ý nghĩa và tầm quan trọng của phép biến đổi Fourier hữu hạn củahàm sine và cosine trong việc giải quyết một số bài toán Vật lý cùng với sự định hướng của thầy hướng dẫn, em chọn đề t

Xin cám ơn các Quý thầy, cô công tác tại Thư viện Trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình tìm tàiliệu.

Xin gửi lời cảm ơn các anh chị lớp Toán giải tích K15 đã giúp đỡ tôi rấtnhiều trong quá trình học tập

Tôi xin chân thành cám ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 08 năm 2013

Học viên

Nguyễn Hồng Việt

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này với đề tài “Phép biến đổi sine và cosineFourier hữu hạn” là công trình nghiên cứu của bản thân tôi

Trong quá trình hoàn thành Luận văn, tôi đã kế thừa các thành tựu củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Học viên

Nguyễn Hồng Việt

Mục lục

Lời cảm ơn i

Lời cam đoan ii

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Lý thuyết cơ bản về chuỗi Fourier 3

1.1.1 Một số khái niệm 3

1.1.2 Khai triển Fourier của hàm có chu kì 2π 4

1.1.3 Chuỗi Fourier của hàm chẵn, lẻ 6

1.1.4 Chuỗi Fourier của hàm có chu kì khác 2π 6

1.1.5 Chuỗi Fourier của hàm xác định trên đoạn [a, b] 7

1.1.6 Đạo hàm và tính hội tụ của chuỗi Fouier 8

1.1.7 Dạng phức của chuỗi Fourier 13

1.2 Tích phân Fourier 14

1.2.1 Biểu diễn hàm số bằng tích phân Fourier 14

1.2.2 Dạng khác của công thức Fourier 19

1.3 Biến đổi Fourier 21

1.3.1 Định nghĩa 21

1.3.2 Các tính chất của biến đổi Fourier 231.3.3 Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến đổi Fourier25

1.3.4 Tích chập và biến đổi Fourier 28Chương 2 Phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn 312.1 Khái niệm về phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn 312.2 Tính chất cơ bản của phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn34

Chương 3 Một số ứng dụng của phép biến đổi sine và cosineFourier hữu hạn 433.1 Vấn đề truyền nhiệt trong một miền hữu hạn với các dữ liệu Dirichlet

ở biên 443.2 Chuyển dịch ngang của một thanh đàn hồi có chiều dài hữu hạn 45

3.3 Biến đổi Fourier hữu hạn của hàm hai biến và áp dụng 47Kết luận 50Tài liệu tham khảo 51

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài Phép biến đổi Fourier là công cụ giải tích hiệulực trong nhiều lĩnh vực như; lý thuyết xác suất, quang học, phân tích tínhiệu, kỹ thuật máy tính hiện đại, Tuy nhiên, phép biến đổi này cònmột số hạn chế nhất định trong việc giải quyết một số bài toán Vật lý.Chẳng hạn như bài toán liên quan đến sự truyền nhiệt trong một miền hữuhạn, chuyển vị ngang của một chùm tia đàn hồi có chiều dài hữu hạn,

Để giải quyết một số bài toán trong lĩnh vực này, nhiều nhà toán học đãnghiên cứu và đưa ra một phép biến đổi khắch phục điều đó, được gọi

là “ Phép biến đổi sine và cosine hữu hạn” Người đầu tiên đề xuất phépbiến đổi này là nhà toán học người Đức Gustav Doetsch (1892-1977) đăngtải trong công trình “Integration von Differentialgleichungen vermittels derendlichen Fourier Transformation” Sau đó, phép biến đổi này được pháttriển và tổng quát hóa bởi nhiều tác giả như Kneitz [4] , Roettinger [5] vàBrown [2]

Với ý nghĩa và tầm quan trọng của phép biến đổi Fourier hữu hạn củahàm sine và cosine trong việc giải quyết một số bài toán Vật lý cùng với

sự định hướng của thầy hướng dẫn, em chọn đề tài

PHÉP BIẾN ĐỔI SINE VÀ COSINE FOURIER HỮU HẠN

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu về phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn vàứng dụng của nó trong giải một số bài toán Vật lý

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày lý thuyết cơ bản về chuỗi Fourier.

Trình bày hệ thống phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn

Trình bày ứng dụng của phép biến đổi sine và cosine Fourier hữu hạn

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phép biến đổi sine, cosine Fourier hữu hạn và ứng dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách, nghiên cứu tài liệu

Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu

6 Dự kiến đóng góp của đề tài

Trình bày hệ thống về lý thuyết của phép biến đổi sine, cosine Fourier hữuhạn

Giới thiệu một số ứng dụng cơ bản của phép biến đổi sine, cosine Fourierhữu hạn trong một số bài toán Vật lý

T gọi là thành phần điều hòa của hàm ϕ (t).

cũng là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2π Khi đó khai triển công thức(1.1.1) có dạng

Chuỗi lượng giác Chuỗi lượng giác là chuỗi có dạng

1.1.2 Khai triển Fourier của hàm có chu kì 2π

Cho hàmf (x)xác định trên R, có chu kỳ 2π Bằng phép đổi biếnt = x−a,

Định nghĩa 1.1.1 Ta nói f (x) khai triển được thành chuỗi lượng giácnếu có thể viết

Giả sử f (x) được khai triển thành chuỗi lượng giác Nếu có thể tích phântừng số hạng thì ta có

Định nghĩa 1.1.2 Cho hàm f (x) là một hàm tuần hoàn với chu kì 2π.Khi đó ta gọi chuỗi Fourier của f (x) là chuỗi

1.1.4 Chuỗi Fourier của hàm có chu kì khác 2π

Giả sử f (x) là hàm tuần hoàn có chu kì 2L 6= 2π Xét phép đổi biến



có chu kì 2π Vậy chuỗiFourier của g (t) sẽ là

a0 = 1π

π

Z

−π

(1.1.16)

a0 = 1π

(i) Mở rộngf (x) thành hàm xác định trên toàn trục số tuần hoàn với chu

kì b Thu hẹp chuỗi trên trên đoạn [0, b], ta có chuỗi Fourier của f (x)

(ii) Mở rộng hàm f (x) thành f (x)¯ trên [−b, b] sau đó xét chuỗi Fourier

của f (x)¯ theo cách (i).

- Nếu đặt f (x) = f (x)¯ với mọi x ∈ [ − b, 0], thì f (x)¯ là hàm chẵn nên

- Nếu đặt f (x) = −f (x)¯ với mọi x ∈ [ − b, 0], thì f (x)¯ là hàm lẻ nên chuỗi

1.1.6 Đạo hàm và tính hội tụ của chuỗi Fouier

Nhận thấy rằng không phải khi nào chuỗi Fourier của một hàm cũng hội

tụ đến chính hàm đó, cho nên ta sẽ dùng biểu thức

để biểu thị rằng hàm f có khai triển Fourier là chuỗi ở vế phải

Mệnh đề 1.1.1 Cho hàm f liên tục trên đoạn [−π, π] với f (−π) = f (π)

và có khai triển Fourier là

Khi đó các hệ số Fourier của f thỏa mãn

nk = εn

Bằng cách tương tự ta cũng nhận được việc đánh giá đối với bn Bổ đềđược chứng minh.

Định lý 1.1.1 Cho hàm f là khả vi liên tục đến cấp k − 1 và khả vi từngkhúc ở cấp k, (k ≥ 1), ngoài ra f(i)(−π) = f(i)(π) , với i = 1, , k − 1

Khi đó chuỗi Fourier của f hội tụ đều đến hàm f trên đoạn [−π; π], vàngoài ra

|f (x) − Sn(x; f )| ≤ ηn

nk−12

(1.1.30)trong đó ηn là dãy số hội tụ đến 0 và Sn(x; f ) là tổng riêng Fourier bậc n

|rn(x)| =

∞

X

m=n+1

ε2 m

vuut

Với các điều kiện của định lý, chuỗi Fourier hội tụ điểm đến hàmf, cho nên

rn(x) cũng chính là độ lệch của hàm f so với tổng riêng Fourier Sn(x; f ).Cách đánh giá trên cho thấy tính hội tụ đều và mọi khẳng định của định

Định lý 1.1.2 Nếu f là một hàm liên tục trên đoạn [−π; π] và có khaitriển Fourier là

π

−π

− 1nπ

Nhận xét Việc xét chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn với chu kì 2` tùy ýđược quy về xét chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn với chu kì 2π nhờ phépbiến đổi t = πx

` , chuyển đoạn [−`, `] thành đoạn [−π, π].

1.1.7 Dạng phức của chuỗi Fourier

Sử dụng công thức biểu diễn hàm lượng giác thông qua số phức

π

Z

−π

c−n = 1

2(an + bnt) =

12π

Công thức này được gọi là dạng phức của chuỗi Fourier

Trong công thức trên, cũng như các công thức sau này, ta hiểu tích phâncủa một hàm nhận giá trị phức w (x) = u (x) + iv (x), với u, v là các hàm

số thực, được định nghĩa một cách tự nhiên là

1.2 Tích phân Fourier

1.2.1 Biểu diễn hàm số bằng tích phân Fourier

Cho hàm số f khả tích tuyệt đối trên hàm số thực Nếu, một cách hìnhthức, ta thay việc tính tổng các số hạng theo chỉ số n bằng việc lấy tíchphân theo một tham số y , thì chuỗi Fourier sẽ được thay bằng tích phân

sau đây (gọi là tích phân Fourier của hàm f )

Bổ đề 1.2.1 Nếu f là hàm khả tích tuyệt đối trên khoảng (a, b) , hữu hạnhoặc vô hạn, thì

Chứng minh Tương tự chứng minh hệ số Fourier của hàm khả tích thìtiến đến 0 khi n tiến ra vô cùng.

Định lý 1.2.1 Nếu hàm f liên tục từng khúc trên mỗi đoạn hữu hạn vàkhả tích tuyệt đối trên toàn trục số Nếu tại điểm x hàm số có đạo hàmphải f+0 (x)và đạo hàm trái f−0 (x) thì ta có

f (x + 0) + f (x − 0)

1π

(Bởi vì, do tính liên tục từng khúc của f, ta có thể phân chia hình hộp

−ξ ≤ t ≤ ξ ,0 ≤ y ≤ η thành một số hữu hạn các hộp nhỏ (bởi các đườngsong song với trục Oy) sao cho trên mỗi hộp con hàm là liên tục theo cả

2 biến đến tận biên, nếu tại biên ta lấy các giá trị giới hạn phải hoặc giới

hạn trái của hàm).

Lưu ý rằng |f (t) cos[y(x − t)]| ≤ |f (t)|, cho nên do tính khả tích tuyệt đốicủa hàm f ta suy ra tính hội tụ đều theo tham số y trên đoạn [0, η] củatích phân sau

Theo tích phân Dirichlet, ta đã biết rằng

Rõ ràng định lý sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra rằng cả 2 tích phân ở

vế phải đều tiến tới 0 khi η → ∞ Điều này được suy ra từ các nhận xétsau:

Do sự tồn tại của các đạo hàm phải của hàm f tại thời điểm x mà hàm

f (x + t) − f (x + 0)

t liên tục từng khúc (theo biến t) tại thời điểm 0và do

đó nó là khả tích (tuyệt đối) trên đoạn [0, 1] Do bổ đề ta có

kết hợp lại ta suy ra điều cần chứng minh.

Nhận xét Với các điều kiện của định lý, nếu hàm số f là liên tục tại x

thì tích phân Fourier tại thời điểm x có giá trị của chính hàm f

1.2.2 Dạng khác của công thức Fourier.

Để việc trình bày được đơn giản hơn, trong phần còn lại ta luôn giải thiếtrằng f là hàm liên tục và thỏa mãn các điều kiện của định lý trên Khi ấy,theo nhận xét đã nêu, ta có công thức Fourier sau đây:

là hội tụ đều (theo y trên toàn trục số) và là hàm liên tục theo biến y Vìvậy, với η > 0, tích phân

tồn tại và do hàm số dưới dấu tích phân là lẻ theo y, tích phân này bằng

0 Tuy nhiên, điều này không đảm bảo cho sự tồn tại của tích phân suy

là không hội tụ, nhưng giá trị chính của chúng vẫn tồn tại và bằng 0.Trở lại với tích phân Fourier ta có

Đây chính là một dạng khác của công thức thích phân Fourier

1.3 Biến đổi Fourier

Như vậy, phép biến dổi Fourier được xác định với mọi hàm khả tích tuyệtđối Trong định nghĩa này, f có thể là một hàm (với biến số thực) nhậngiá trị phức, và ảnh của nó F [f ] nói chung là hàm nhận giá trị phức ngay

Mệnh đề 1.3.1 Nếu hàm f là liên tục, khả tích tuyệt đối trên toàn trục

số, và có đạo hàm từng phía tại mỗi điểm, thì

Cho nên, tích phân Fourier có thêm một dạng nữa

1.3.2 Các tính chất của biến đổi Fourier

Mệnh đề 1.3.2 Phép biến đổi Fourier (và ngược của nó) là tuyến tính,nghĩa là,

F [λ1f1 + λ2f2] = λ1F [f1] + λ2F [f2] (1.3.74)và

F−1[λ1f1 + λ2f2] = λ1F−1[f1] + λ2F−1[f2] ; (1.3.75)(các công thức trên được hiểu theo nghĩa: nếu vế phải tồn tại thì vế tráitồn tại và có đẳng thức xảy ra)

Chứng minh Suy ra ngay từ định nghĩa

Mệnh đề 1.3.3 Phép biến đổi Fourier (cũng như ngược của nó) là phépứng 1-1

Chứng minh Thật vậy, theo mệnh đề trong phần trên

F [f1] =F [f2] ⇒ F−1[F [f1]] = F−1[F [f2]] ⇒ f1 = f2

Mệnh đề 1.3.4 Biến đổi Fourier của hàm khả tích tuyệt đối (trên toàntrục số) là một hàm bị chặn và ngoài ra

ˆ

f (y)

...

s biến đổi tuyến tính

Định nghĩa 2.1.2 (Phép biến đổi cosine Fourier hữu hạn) Nếu f (x) làhàm liên tục liên tục khúc khoảng hữu hạn < x < a ,biến đổi cosine Fourier hữu hạn f...

cosine Fourier hữu hạn< /h2>

Chương này, chúng tơi trình bày cách hệ thống lý thuyếtphép biến đổi sine, cosine Fourier hữu hạn; Khái niệm, tính chất cơbản; phép tính tốn tử phép biến đổi. .. niệm phép biến đổi sine

co -sine Fourier hữu hạn< /h3>

Định nghĩa 2.1.1 (Phép biến đổi sine Fourier hữu hạn) Nếuf (x) mộthàm liên tục liên tục khúc khoảng < x < a biến