Phép biến đổi sine và cosine fourier hữu hạn

LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cám ơn TS Nguyễn Văn Hào, người trực tiếp hướng dẫn hoàn thành luận văn Với lời dẫn, tài liệu, tận tình hướng dẫn lời động viên thầy giúp vượt qua nhiều khó khăn trình thực luận văn Tôi xin cám ơn quý thầy cô giảng dạy chương trình cao học “Toán giải tích” truyền dạy kiến thức quý báu, kiến thức hữu ích giúp nhiều thực nghiên cứu Xin cám ơn Quý thầy, cô công tác Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho trình tìm tài liệu Xin gửi lời cảm ơn anh chị lớp Toán giải tích K15 giúp đỡ nhiều trình học tập Tôi xin chân thành cám ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 08 năm 2013 Học viên Nguyễn Hồng Việt i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài “Phép biến đổi sine cosine Fourier hữu hạn” công trình nghiên cứu thân Trong trình hoàn thành Luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Học viên Nguyễn Hồng Việt ii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Lý thuyết chuỗi Fourier 1.1.1 Một số khái niệm 1.1.2 Khai triển Fourier hàm có chu kì 2π 1.1.3 Chuỗi Fourier hàm chẵn, lẻ 1.1.4 Chuỗi Fourier hàm có chu kì khác 2π 1.1.5 Chuỗi Fourier hàm xác định đoạn [a, b] 1.1.6 Đạo hàm tính hội tụ chuỗi Fouier 1.1.7 Dạng phức chuỗi Fourier 13 1.2 Tích phân Fourier 14 1.2.1 Biểu diễn hàm số tích phân Fourier 14 1.2.2 Dạng khác công thức Fourier 19 1.3 Biến đổi Fourier 21 1.3.1 Định nghĩa 21 iii 1.3.2 Các tính chất biến đổi Fourier 23 1.3.3 Biến đổi Fourier đạo hàm đạo hàm biến đổi Fourier 25 1.3.4 Tích chập biến đổi Fourier 28 Chương Phép biến đổi sine cosine Fourier hữu hạn 31 2.1 Khái niệm phép biến đổi sine cosine Fourier hữu hạn 31 2.2 Tính chất phép biến đổi sine cosine Fourier hữu hạn 34 Chương Một số ứng dụng phép biến đổi sine cosine Fourier hữu hạn 43 3.1 Vấn đề truyền nhiệt miền hữu hạn với liệu Dirichlet biên 44 3.2 Chuyển dịch ngang đàn hồi có chiều dài hữu hạn 45 3.3 Biến đổi Fourier hữu hạn hàm hai biến áp dụng 47 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 iv MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phép biến đổi Fourier công cụ giải tích hiệu lực nhiều lĩnh vực như; lý thuyết xác suất, quang học, phân tích tín hiệu, kỹ thuật máy tính đại, Tuy nhiên, phép biến đổi số hạn chế định việc giải số toán Vật lý Chẳng hạn toán liên quan đến truyền nhiệt miền hữu hạn, chuyển vị ngang chùm tia đàn hồi có chiều dài hữu hạn, Để giải số toán lĩnh vực này, nhiều nhà toán học nghiên cứu đưa phép biến đổi khắch phục điều đó, gọi “ Phép biến đổi sine cosine hữu hạn” Người đề xuất phép biến đổi nhà toán học người Đức Gustav Doetsch (1892-1977) đăng tải công trình “Integration von Differentialgleichungen vermittels der endlichen Fourier Transformation” Sau đó, phép biến đổi phát triển tổng quát hóa nhiều tác Kneitz [4] , Roettinger [5] Brown [2] Với ý nghĩa tầm quan trọng phép biến đổi Fourier hữu hạn hàm sine cosine việc giải số toán Vật lý với định hướng thầy hướng dẫn, em chọn đề tài PHÉP BIẾN ĐỔI SINE VÀ COSINE FOURIER HỮU HẠN Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn nghiên cứu phép biến đổi sine cosine Fourier hữu hạn ứng dụng giải số toán Vật lý Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày lý thuyết chuỗi Fourier Trình bày hệ thống phép biến đổi sine cosine Fourier hữu hạn Trình bày ứng dụng phép biến đổi sine cosine Fourier hữu hạn Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phép biến đổi sine, cosine Fourier hữu hạn ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu Dự kiến đóng góp đề tài Trình bày hệ thống lý thuyết phép biến đổi sine, cosine Fourier hữu hạn Giới thiệu số ứng dụng phép biến đổi sine, cosine Fourier hữu hạn số toán Vật lý Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Lý thuyết chuỗi Fourier 1.1.1 Một số khái niệm Hàm tuần hoàn Cho hàm số ϕ (t) xác định R, ϕ (t) gọi hàm tuần hoàn R, ∃T > nhỏ cho ϕ (t + T ) = ϕ (t) Hàm điều hòa Xét hàm số ϕ (t) = A0 + A1 sin (ωt + α1 ) + A2 sin (2ωt + α2 ) + ∞ = A0 + An sin (nωt + αn ); (1.1.1) n=1 đó, A0 , A1 , , α1 , α2 , số có giá trị đặc biệt 2π hàm trên, ω = gọi thành phần điều hòa hàm ϕ (t) T 2πt Nếu ta chọn biến độc lập x = ωt = ta thu hàm x, T x f (x) = ϕ ω hàm tuần hoàn với chu kì T = 2π Khi khai triển công thức (1.1.1) có dạng f (x) = A0 + A1 sin (x + α1 ) + A2 sin (2x + α2 ) + ∞ = A0 + An sin (nt + αn ) (1.1.2) n=1 Khai triển số hạng chuỗi (1.1.2) theo công thức sine tổng đặt a0 = A0 , an = An sin αn , bn = An cosαn ; n = 1, 2, Khi ta có f (x) = a0 + (a1 cos x + b1 sin x) + (a2 cos 2x + b2 sin 2x) + ∞ = a0 + (an cos nx + bn sin nx) (1.1.3) n=1 Hàm tuần hoàn f (x) có chu kỳ T = 2π khai triển theo công thức (1.1.3) gọi hàm điều hòa Chuỗi lượng giác Chuỗi lượng giác chuỗi có dạng ∞ a0 + (an cos nx + bn sin nx) n=1 (1.1.4) a0 , a1 , b1 , a2 , b2 số 1.1.2 Khai triển Fourier hàm có chu kì 2π Cho hàm f (x) xác định R, có chu kỳ 2π Bằng phép đổi biến t = x−a, ta nhận a+π π f (t)dt, (∀a ∈ R) f (x)dx = a−π −π Định nghĩa 1.1.1 Ta nói f (x) khai triển thành chuỗi lượng giác viết ∞ a0 f (x) = + (an cos nx + bn sin nx) n=1 (1.1.5) với x ∈ R Giả sử f (x) khai triển thành chuỗi lượng giác Nếu tích phân số hạng ta có π π ∞ a0 dx + n=1 f (x) dx = −π −π a0 = x ∞ π + −π n=1 π (an cos nx + bn sin nx) dx −π an sin nx n Do đó, ta nhận bn − cos nx n −π π π = πa0 −π π a0 = π f (x) dx (1.1.6) −π π π cos2 nxdx = an π f (x) cos nxdx = an −π −π π ⇒ an = π f (x) cos nxdx (1.1.7) −π π π f (x) sin nxdx = bn sin2 nxdx = bn π −π −π π ⇒ bn = π f (x) sin nxdx −π với n = 1, 2, (1.1.8) Định nghĩa 1.1.2 Cho hàm f (x) hàm tuần hoàn với chu kì 2π Khi ta gọi chuỗi Fourier f (x) chuỗi ∞ a0 S (x) = + (an cos nx + bn sin nx) n=1 hệ số xác định công thức (1.1.6) - (1.1.8) 1.1.3 Chuỗi Fourier hàm chẵn, lẻ Cho hàm f (x) hàm tuần hoàn với chu kì 2π Ta thấy π an = π f (x) cos nxdx = 0, f (x) hàm lẻ (1.1.9) f (x) sin nxdx = 0, f (x) hàm chẵn (1.1.10) −π π bn = π −π Vậy f (x) hàm lẻ chuỗi Fourier có dạng π ∞ f (x) = bn sin nx; bn = π n=1 f (x) cos nxdx (1.1.11) −π Vậy f (x) hàm chẵn π ∞ a0 f (x) = + an cos nx; an = π n=1 f (x) sin nxdx (1.1.12) −π 1.1.4 Chuỗi Fourier hàm có chu kì khác 2π Giả sử f (x) hàm tuần hoàn có chu kì 2L = 2π Xét phép đổi biến tL tL πx ⇔ x = Khi hàm g (t) = f có chu kì 2π Vậy chuỗi t= L π π Fourier g (t) π a0 = π g (t) dt −π (1.1.13) Do đó, từ biểu thức dấu tích phân hàm số chẵn theo x nên ta nhận π cos nαf˜s (n) = [sin n(x + α) + sin n(x − α)] f1 (x)dx, −π cách đổi biến x + α = t x − α = t, biểu thức trở thành π+α = π−α sin ntf1 (t − α)dt + −π+α sin ntf1 (t + α)dt, −(π+α) Lại hàm dấu tích phân tuần hoàn theo biến t với chu kỳ 2π , nên giới hạn tích phân thay giới hạn từ −π đến π để nhận π = π sin ntf1 (t − α)dt + −π  = sin ntf1 (t + α)dt −π 1 −π π    {sin ntf1 (t − α)} dt +  + π  {sin ntf1 (t + α)} dt + −π  (2.2.24) Hơn nữa, sử dụng f1 (−x − α) = −f1 (x + α) ta nhận π sin ntf1 (t − α)dt = −π sin nxf1 (x + α)dx, Bằng cách đổi biến tương tự tích phân thứ ba biểu thức (2.2.24) ta thu công thức π cos nαf˜s (n) = π sin ntf1 (t − α)dt + sin nxf1 (x + α)dx 37 Từ đó, ta nhận kết công thức (2.2.21) Cuối cùng, f1 (x + π) = f1 (2π + x − π) = f1 (x − π) = −f1 (π − x), < x < π, f1 (π − x) = f (π − x) nên, α = π , công thức (2.2.21) trở thành π f˜s (n) cos nπ= sin nxf (x − π)dx = Fs {f (x − π)} , Điều đó, cho ta nhận công thức (2.2.22).Việc chứng minh công thức (2.2.23) tiến hành tương tự công thức (2.2.21) Định lý 2.2.2 Nếu f2 (x) hàm thác triển tuần hoàn chẵn f (x) với chu kỳ 2π với số α ta có Fc = {f2 (x − α) + f2 (x + α)} = cos nαFc {f (x)} , (2.2.25) Fc = {f2 (x − α) − f2 (x + α)} = sin nαFc {f (x)} , (2.2.26) Định lý tương tự định lý 2.2.1, việc chứng minh tiến hành tương tự Tiếp theo, giới thiệu tích chập hai hàm số tuần hoàn liên tục khúc f (x) g(x) xác định −π < x < π π f (x) ∗ g(x) = f (x − u)g(u)du −π 38 (2.2.27) Rõ ràng tích chập, f (x) ∗ g(x) liên tục tuần hoàn với chu kỳ 2π Tích chập có tính đối xứng, nghĩa f ∗ g = g ∗ f Hơn nữa, tích chập hàm chẵn f (x) g(x) chẵn lẻ Tích chập lẻ haif (x) g(x) chẵn lại lẻ Định lý 2.2.3 (Tích chập) Nếu f1 (x) g1 (x) hai thác triển tuần hoàn lẻ f (x) g(x) tương ứng đoạn < x < π , f2 (x) g2 (x) hai thác triển tuần hoàn chẵn f (x) g(x) tương ứng đoạn < x < π tương ứng ta có kết Fc {f1 (x) ∗ g1 (x)} = −2f˜s (n) g˜s (n) , (2.2.28) Fc {f2 (x) ∗ g2 (x)} = 2f˜c (n) g˜c (n) , (2.2.29) Fs {f1 (x) ∗ g2 (x)} = 2f˜s (n) g˜c (n) , (2.2.30) Fs {f2 (x) ∗ g1 (x)} = 2f˜c (n) g˜s (n) (2.2.31) Fc−1 f˜s (n) g˜s (n) = − {f1 (x) ∗ g1 (x)} , (2.2.32) Fc−1 f˜c (n) g˜c (n) = {f2 (x) ∗ g2 (x)} , (2.2.33) Fs−1 f˜s (n) g˜c (n) = {f1 (x) ∗ g2 (x)} , (2.2.34) Fs−1 f˜c (n) g˜s (n) = {f2 (x) ∗ g1 (x)} (2.2.35) Hoặc tương đương 39 Chứng minh Để chứng minh (2.2.28), ta xét tích π f˜s (n) sin nug(u)du, 2f˜s (n) g˜s (n) = cách sử dụng (2.2.23), ta có π 2f˜s (n) g˜s (n) = g(u) [Fc {f1 (x + u) − f1 (x − u)}] du π = π  {f1 (x + u) − f1 (x − u)} cos nx du, g(u)   Từ đó, đổi thứ tự lấy tích phân ta nhận  π π {f1 (x + u) − f1 (x − u)} g(u)du dx, cos(nx)   (2.2.36) Sử dụng định nghĩa tích chập (2.2.27), việc đổi biến tích phân theo tính chất thác triển lẻ hàm f1 (x) g1 (x), ta thu π f1 (x) ∗ g1 (x) = [f1 (x − u) − f1 (x + u)] g(u)du (2.2.37) = I1 − I2 − I3 + I4 (2.2.38) Trong π x I1 = f (u)g(u − x)du, f (u)g(x + u)du, I2 = x 40 (2.2.39) π−x I3 = π f (u)g(2π − x − u)du, f (u)g(x + u)du, I4 = (2.2.40) x Do đó, từ công thức (2.2.37) (2.2.36), ta nhận công thức (2.2.28).Định lý chứng minh Các kết lại Định lý 2.2.3 chứng minh tương tự phép chứng minh Như việc ứng dụng định lý tích chập, ta xác định biến đổi cosine Fourier ngược (n2 − a2 )−1 Với n = 0, ta có n(−1)n+1 (−1)n+1 = = f˜s (n)˜ gs (n), 2 n −a n −a n f˜s (n) = n(−1) n+1 2 −1 (n − a ) tức f (x) = (−1)n+1 g˜s (n) = n x sin ax g(x) = sin aπ π cho f (x) = sin ax x g(x) = sin aπ π Rõ ràng n2 = f˜s (n)˜ gs (n) = Fs − a2 sin ax x Fs sin aπ π Theo công thức (2.2.32), ta có Fc−1 n2 − a2 = Fc−1 f˜s (n)˜ gs (n) = − f1 (x) ∗ g1 (x), 41 (2.2.41) f1 (x) hàm thác triển tuần hoàn lẻ hàm f (x) với chu kỳ x 2π g1 (x) = Do đó, ta π π Fc−1 n2 − a2 =− π f1 (x − u)g1 (u)du = − 2π −π f1 (x − u)udu −π Tích phân dễ dàng tính cách chia nhỏ cận tích phân sử dụng công thức (2.2.38) để nhận Fc−1 n2 − a2 =− 42 cos {a(π − x)} a sin aπ (2.2.42) Chương Một số ứng dụng phép biến đổi sine cosine Fourier hữu hạn Trong chương minh họa việc sử dụng phép biến đổi sine, cosine Fourier hữu hạn để tìm nghiệm số phương trình vi phân đạo hàm riêng với giá trị biên giá trị đầu Đây toán xuất vấn đề lĩnh vực vật lý 43 3.1 Vấn đề truyền nhiệt miền hữu hạn với liệu Dirichlet biên Chúng ta bắt đầu cách xem xét nghiệm phân bố nhiệt u(x, t) phương trình khuếch tán ut = κuxx ; ≤ x ≤ a, t > (3.1.1) với điều kiện đầu điều kiện biên sau u(0, t) = = u(a, t) (3.1.2) 0≤x≤a u(x, 0) = f (x); (3.1.3) Áp dụng phép biến đổi sine Fourier hữu hạn vấn đề khuếch tán cho ta toán giá trị đầu d˜ us nπ +κ dt a u˜s = 0, (3.1.4) u˜s (n, 0) = f˜s (n) (3.1.5) Nghiệm phương trình (3.1.4)- (3.1.5) nπ u˜s (n, t) = f˜s (n) exp −κ a t Phép biến đổi ngược sine Fuorier hữu hạn cho ta nghiệm u(x, t) = a ∞ nπ f˜s (n) exp −κ a n=1 44 t sin nπx a (3.1.6) u(x, t) = a a ∞ nπ exp −κ a n=1 nπx t sin a f (ξ) sin nπξ dξ a (3.1.7) Đặc biệt, f (x) = T0 = số (3.1.7) trở thành u(x, t) = ∞ 2T0 π n=1 nπ [1 − (−1)n ] exp −κ n a t sin nπx a (3.1.8) Nghiệm đánh giá đượcgiá trị số cách sử dụng biến đổi Fourier nhanh, thuật toán tính toán hiệu biến đổi Fourier hữu hạn 3.2 Chuyển dịch ngang đàn hồi có chiều dài hữu hạn Ta xét chuyển dịch ngang đàn hồi điểm x theo hướng xuống vị trí cân đàn hồi dọc theo trục x Với áp dụng tải trọng W (x, t) đơn vị chiều dài trung bình đàn hồi, hàm chuyển y(x, t) thỏa mãn phương trình chuyển động ∂ 4y ∂ 2y W(x, t) + = ; ∂x4 a2 ∂t2 EI a2 = EI ρα , ≤ x ≤ , t > 0, (3.2.9) α diện tích mặt cắt ngang ρ mật độ Nếu đàn hồi tự có lề hai đầu nó, ∂ 2y = 0, x = x = ∂x2 (3.2.10) ∂y = g(x); t = với < x < ∂t (3.2.11) y(x, t) = Các điều kiện ban đầu y(x, t) = f (x), 45 Ta sử dụng biến đổi Laplace với biến t phép biến đổi sine Fourier hữu hạn với biến x, ta ∞ e−st dt u¯˜s (n, s) = u(x, t) sin nπx dx (3.2.12) Áp dụng biến đổi kép phương trình (3.2.9)- (3.2.11) cho nghiệm y¯ ˜s (n, s) sau sf˜s (n) + g˜s (n) ¯ + y˜s (n, s) = (s2 + c2 ) c = a nπ a2 EI ˜ s (n, s) W , (s2 + c2 ) (3.2.13) Biến đổi Laplace ngược cho ta g˜s (n) y˜s (n, t) = f˜s (n)cos(ct) + sin(ct) c t a2 + EI c ˜ s (n, τ )dτ sin c(t − τ )W (3.2.14) Do đó, biến đổi nghịch đảo sine Fourier hữu hạn cho nghiệm thức y(x, t) = ∞ ys (n, t) sin πnx n=1 = ∞ sin πnx g˜s (n) f˜s (n)cos(ct) + sin(ct) c n=1 + a EI t c  ˜ s (n, τ )dτ  sin c(t − τ )W 46 (3.2.15) Trong f˜s (n) = f (ξ) sin nπξ dξ; g˜s (n) = g(ξ) sin nπξ dξ (3.2.16) Trường hợp dao động tự quan tâm Trong trường hợp W (x, t) ≡ ˜ s (n, t) ≡ nên nghiệm (3.2.15) viết dạng đơn giản 0, W y(x, t) = l ∞ n=1 g˜s (n) πnx f˜s (n) cos ct + sin ct sin , c l (3.2.17) f˜s (n) g˜s (n) cho (3.2.16) 3.3 Biến đổi Fourier hữu hạn hàm hai biến áp dụng Những phân tích cho thấy biến đổi sine cosin Fourier hữu hạn hàm với biến độc lập mở rộng đến hàm với biến độc lập Trong trường hợp đặc biệt, f (x, y) hàm hai biến độc lập x y , xác định ≤ x ≤ a, ≤ y ≤ b, biến đổi kép Fourier hữu hạn xác định a b Fs = {f (x, y)} = f˜s (m, n) sin nπy mπx sin dxdy (3.3.18) a b Biến đổi ngược xác định chuỗi kép Fs−1 f˜s (m, n) = f (x, y) = ab ∞ ∞ mπx nπy f˜s (m, n) sin sin a b m=1 n=1 (3.3.19) Tương tự, ta có định nghĩa biến đổi kép cosine Fourier hữu hạn biến đổi ngược Biến đổi kép sine Fourier dẫn suất phần 47 f (x, y) lấy dễ dàng Nếu f (x, y) triệt tiêu biên hình chữ nhật D {0 ≤ x ≤ a, ≤ y ≤ b} , Fs ∂ 2f ∂ 2f + = −π 2 ∂x ∂y m2 n2 + a2 b f˜s (m, n) (3.3.20) Dao động tự lớp màng co giãn hình chữ nhật Bài toán giá trị đầu cho trường chuyển ngang u(x, y, t) thỏa mãn phương trình với điều kiện đầu điều kiện biên toán c ∂ 2u ∂ 2u + ∂x2 ∂y ∂ 2u = , cho tất (x, y) D, t > ∂t u(x, y, t) = biên ∂D cho tất t > (3.3.21) (3.3.22) u(x, y, t) = f (x, y), ut (x, y, t) = g(x, y) t = cho (x, y) ∈ D (3.3.23) Áp dụng biến đổi kép sine Fourier hữu hạn xác định a b u˜s (m, n) = u(x, y) sin nπy mπx sin dxdy, a b (3.3.24) từ biểu thức (3.3.21)- (3.3.23) cho ta d2 u˜s + c2 π 2 dt m2 n2 + a2 b d˜ us u˜s (m, n, 0) = f˜s (m, n), dt u˜s = 0, t>0 = g˜s (m, n) (3.3.25) (3.3.26) t=0 Nghiệm biến đổi u˜s (m, n, t) = f˜s (m, n) cos(cπωmn t) + (cπωmn )−1 g˜s (m, n) sin(cπωmn t), (3.3.27) 48 ωmn = m2 n2 + a2 b (3.3.28) Biến đổi nghịch đảo cho ta nhiệm thức u(x, y, t) u(x, y, t) = ∞ ab ∞ sin m=1 n=1 mπx nπy sin a b f˜s (m, n) cos(cπωmn t) + (cπωmn )−1 g˜s (m, n) sin(cπωmn t) (3.3.29) a b f˜s (m, n) = mπξ a sin nπη dξdη, b (3.3.30) g(ξ, η) sin mπξ a sin nπη dξdη b (3.3.31) a b g˜s (m, n) = f (ξ, η) sin 49 Kết luận Luận văn giải vấn đề sau đây: Trình bày cách hệ thống lý thuyết phép biến đổi sine cosine Fourier hữu hạn Trình bày số ứng dụng phép biến đổi sine cosine Fourier hữu hạn số toán vật lý: - Về vấn đề truyền nhiệt miền hữu hạn với liệu Drichlet biên - Chuyển vị ngang chùm tia đàn hồi có chiều dài hữu hạn - Dao động tự lớp màng co dãn hình chữ nhật 50 Tài liệu tham khảo [1] Churchill, R V., (1972) Operational Mathematics, (Third Edition), McGraw-Hill Book Company, New York [2] Brown, H K., (1944) Resolution of boundary value problems by means of the finite Fourier transformation; general vibration of a string,J Appl Phys XIV, 609–618 [3] Doetsch, G., (1935) Integration v¨ on Differentialgleichungen vermittels der endlichen Fourier Transformation,Math Annalen, 112, 52–68 [4] Kneitz, H., (1938) L¨ osung v¨ on Randwertprobemen bei systemen gew¨ohnlicher Differentialgle ichungen vermittels der endlichen Fourier transformation,Math Zeit., XLIV, 266–291 [5] Roettinger, I., (1947) A generalization of the finite Fourier transformation and applications,Quart, Appl Math., 5, 298–310 51