Bộ 15 đề thi học sinh giỏi lớp 11

(Đề 1) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) __________________________ Câu I: Giải hệ phương trình: 22 22 24 22 xyxy xy xy          Câu II: Tìm tất cả các nghiệm x(2009; 2011) của phương trình : cos sin x x os2 1 sin 2 0cx x Câu III: Cho dãy số ( ) xác định bởi: n u 1 1 1 ( 1)( 2)( 3) 1, *. nnnnn u uuuuu nN         Đặt 1 1 . 2 n n i i S u     Tính li . m n S Câu IV: 1. Cho elip(E): 22 1 25 9 xy và điểm M(2;1). Viết phương trình đường thẳng ( ) đi qua M và cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho M là trung điểm AB.  2. Cho tứ diện ABCD, O là điểm bất kì nằm trong miền tam giác BCD. Từ O kẻ các đường thẳng song song với AB, AC, AD cắt các mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC) lần lượt tai M, N, P . Chứng minh rằng: OM ON OP AB AC AD  không đổi. Câu V: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 333 22 2 2 22 3()()(abc abcabc bca cab      ). H ết (Đề 2) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian ra đề) Câu 1: (2 điểm) Giải phương trình : 31cot 3tan2 2 2 2 0 21cot x xc cos x x osx       Câu 2: (2,5 điểm) 1. Cho khai triển: 2 3 2010 2011 2 3 4042110 0 1 2 3 4042110 (1 ) xx x x a axax ax a x        a. Tính tổng . 0 2 4 4042110 aaa a b. Chứng m inh rằng: 0 1 2 3 2010 2011 2011 2011 2011 2010 2011 2009 2011 2008 2011 1 2011 0 2011Ca Ca Ca Ca CaCa 2. Gọi A l à tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A. Tính xác xuất để chọn được một số thuộc vào tập Avà số đó chia hết cho 3. Câu 3: (2,5 điểm) 1. Cho dãy số ( ) được xác định như sau: n u 2 111 2011, ( ), *, 2. nnn uunuunNn   Chứng minh rằng dãy số ( ) có giới hạn và tìm giới hạn đó. n u 2. Tính giới hạn: 3 2 1 21 322 . 1 lim x xx x A x       Câu 4: (3 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a. 1. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD)và đường thẳng A’C đi qua trọng tâm tam giác A’BD. 2. Hãy xác định các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh A’D, CD’ sao cho MN vuông góc với mặt phẳng (CB’D’). Tính độ dài đoạn MN theo a. Hết (Đề 3) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (3 điểm) 1. Chứng minh rằng : 2 1sin2 cot . 1sin2 4 a a a        2. Cho: sinx + siny = 2sin(x + y), với x + y  k  ,k   . Chứng minh rằng: 1 tan tan 22 xy  3 . Câu 2: (3 điểm) 1. Cho tam giác ABC với các kí hiệu thông thường, biết: 3 sin . sin . . 22 22 AB B cos cos 3 A Chứng minh rằng tam giác ABC cân. 2. Giải phương trình sau: 2(sin 3 cos ) 3 2 sin 2 . x xcosxx Câu 3: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD. Tứ giác đáy có AB và CD cắt nhau tại E. AD và BC cắt nhau tại F. AC và BD cắt nhau tại G. (P) là mặt phẳng cắt SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’. 1. Tìm giao điểm D’ của SD và (P). 2. Với điều kiện nào của (P) thì A’B’C’D’ là hình bình hành. Câu 4: (1 điểm) Chứng minh rằng: x, y, z     thì: 222 2( ). x yz xyxz  Hết (Đề 4 ) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) MÔN: TOÁN Câu 1: (2 điểm) Cho dãy số ( ),n=0,1,2… được xác định như sau: n u 012 2 2 321 (1 ) nnn uu nnu nn      0, 1, 0 (1)(1) 1 n uuu nn n n        , 0n u   . Chứng minh rằng (u )là số chính phương với mọi n n *   . Câu 2: (3 điểm) Cho tứ diện ABCD, mặt phẳng (  ) song song với hai đường thẳng AD và BC. Gọi N, P, Q tương ứng là giao iểm c M, đ ủa (  ) với các đường thẳng AB, AC, CD, DB. Xác định tất cả các vị trí của (  ) để: a. Tứ giác MNPQ là hình thoi. b. Diện tích thiết diện giữa (  ) và tứ diện ABCD là lớn nhất. Câu 3: (3 điểm) 1. Giải hệ phương trình: 22 2 2 1 2 xy xy x yx y          2. Cho x, y, z R . Chứng minh rằng :   222 111 . xy yz zx x yz yzx zxy xy   z   ương trình đúng với mọi x: 3. Tìm a để bất ph 2 3sin 2sin . os2 3xxcosxcxa . Câu 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài các cạ h là a, b, n c, độ dài ba đường phân giác trong tương lần lượt là , l , l . 1. Chứng minh rằng: ứng với các góc A, B, C l a b c 33. ab bc ca llllll cab   . Nhận dạng tam giác, biết: tan ( tan a+btanb). 2 C ab a 2 Hết (Đề 5 ) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) a + b + c = 6 MÔN: TOÁN Câu 1: Cho a, b, c >0 và 33 3 2 111 abc bca   Chứng minh rằng:  iải phương trình: Câu 2: G 2 2 3 1 3 2 2 5 3 16.( )xxxxx x      Câu 3: Giải hệ phương trình: 32 32 12( ) 12( ) x xxy y yyx           Câu 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng iểm M, N lần lượt di chuy 1. Hai đ ển trên cạnh 1 AD v à DC sao cho AM = x, CN = y với và góc MBN bằng 45  . 0, x y   a. Chứng minh rằng : 1 x yxy . b. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích  BMN. Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ sau có nghiệm thực: 2 2 2 42 4 5 (2) 816 3216 x x x xx mxm           0 Tìm giá trị lớn nhất, n Câu 6: hỏ nhất của biểu thức : 54 1 54 21 6 aa P aa     trong đó a là tham số thực và 5 1. 4 a   Hết (Đề 6 ) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: MÔN: TOÁN (2 điểm) Cho dãy ( n x ) lập theo quy tắc: 0 0x     ãy số đề là số nguyên. b. Tìm số hạng tổng quát của dãy số. 2 1 52 41. nn n xx x      a. Chứng m inh rằng mọi số hạng của d Câu 2: (2 điểm) 1. Định a để hệ: 2 22 cos sin 1 ax a y x xy        có nghiệm duy nhất. . Chứng minh rằng nếu thì: 2 2 2cos sin2 16 sin . os2 xx xc x   2 2 2 x x Câu 3: (2 điểm) 1. Giải phương trình: 2 32 14923 52xxx xx     . 2. Giải h ệ phương trình: 23 3 2 2 6 6 5 ( 4)( 2 6) 22 1 xx x x x x x xx          . Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=c, AC=b.Gọi (P) là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) ; S là một điểm di động trên (P) sao cho S.ABC là hình chóp có hai mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo lần lượt là  và 2    . Gọi chiếu vuông góc của S trên BC, AB, AC. b. Tìm giá trị lớn nhất của SH và khi đó hãy tìm giá trị của H, I, J lần lượt là hình a. Chứng m inh rằng 2 .SH HI HJ .  . Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác: 3 333 33 33 33 24. abc bc ca ab    Chứng minh rằng: Hết (Đề 7 ) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) MÔN: TOÁN Câu 1: (3 điểm) 1. Giải phương trình: 2 (xx 2)3 . 2. Giải bất phương trình: 3 1243 2.xx x   3. Tìm điều kiện của tham số a, b để phương trình sau có các nghiệm lập thành cấp số ộng: . c 32 3ax 0xx b Câu 2: (2 điểm) Tìm m để hệ phương trình sau đây có nghiệm và hãy giải hệ phương trình tương ứng ợc của m: với những giá trị tìm đư 42 3 sinx. os2 2 2 . cos . os2 1 cym m xc y m         Câu 3: (1 điểm) Cho a, b, c là ba số dương và thoả mãn 1abc  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 333 31 31 31Pa b c.     Câu 4: (2 đ Cho đều. Trên các cạnh AB và BC lần l ượt lấy các điểm M, N sao cho iểm) ABC 1 3 AM AB à 1 3 B NB C. Gọi I là giao điểm của AN và CM. Chứng minh rằng BI vuông góc CM. v Câu 5: (2 điểm) Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng: 333 33333 3 1. () () () abc abc bca cab      Hết (Đề 8 ) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) MÔN: TOÁN Câu 1: (3 điểm) Cho hai phương trình sau: 73 2sin (1 sin ).sin .sin x axa    x 3 (2) . Tìm tất cả các giá trị của a để hai phương trình (1) và (2) tương đương. Câu 2: (1) 26 ( 1)(1 ) 2sinacosx x   2 2sin 2( 1)xa a. Giải các phương trình trên với a = 2. b (2 điểm) Giải hệ phương trình: 33 sin sin sin 2 . 3 cos cos cos 2 xyz xyz          Câu 3: (2 điểm) 1. Tính giới hạn sau: 11 1 1 1 . 13 35 57 2121 lim n nnn        . Giải phương trình: 22 15 3 2 8.xxx  2 Câu 4: (2 điểm) Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’. Một mặt phẳng (P) thay đổi song song với hai đáy của lăng trụ, cắt các đoạn thẳng AB’, BC’, CD’, DA’ tương ứng lần lượt tại các điểm M, N, P, Q. Hãy xác định vị trí của mặt phẳng (P) sao cho tứ giác MNPQ có diện ch lớn nhất. tí Câu 5: (1 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương abcsao cho 111 111 abc  2.     Hết (Đề 9 ) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) MÔN: TOÁN Câu 1: (3 điểm) 1. Tìm tất cả các giá trị   0; 2x   sao cho: 2cos 1xsin 2 1 sin 2 2.xx    à biện luận phương trình theo tham số a, b: 2. Giải v 2222 2222 2( ) 2( ) x xx a a x xx a a xb xb  . Câu 2: (2 điểm) 1. Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn . 1abc  Chứng minh rằng: 111 111abc bca        1. 2. Giải hệ phương trình: 22 22 11 11 xxy x yxy y xxy x yxy y          18 2 . Câu 3: (2 điểm) Cho dã  n xác định bởi: y số  u 2 1 n unan   v ,2ới 1 ,3 n  ; a là tham số có giá trị thực. . Tì m tất cả các giá trị của a để dãy số có giới hạn khi . a. Với (1)a  hãy tìm giới hạn của dãy số khi n . b n  Câu 4: (3 điểm) Gọi O ác ABCD. Qua A, B, C, lần lượt vẽ các đường , A dOA ,, BC D dOBdOCdOD. Các cặp là tâm đường tròn nội tiếp tứ gi D thẳng đường thẳng và và và A d B d , B d C d , C d D d , D d và A d tương ứng cắt nhau tại K, L, M, N. a. Chứng minh rằng các đường thẳng KM và NL cắt nhau tại O. b. Gọi p, q, r lần lượt là độ dài các đoạn thẳng OK, OL, OM. Tính độ dài đoạn ON. Hết (Đề 10 ) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) MÔN: TOÁN Câu 1: (2 điểm) Tìm các giá trị của a để phương trình sau chỉ có một nghiệm: 53 5(21)(1) 1. ()(31 aa xa xax a    ) a Câu 2 : (3 điểm) 1. Tìm số : tự nhiên a nhỏ nhất để phương trình sau có nghiệm 2 3 ()2() . 2 2 0. xx cos a x cos a x cos cos a         . Cho tam giác ABC có B. Chứng minh rằng: 2 3a  tan tan 2tanAC 32 cos cos . 4 AC 2 Câu 3: (3 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng nếu ba trung điểm của AD, BC, OE thẳng hàng thì AB=CD hoặc  AEB 0 90 . Câu 4: (1 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn 3xyz  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . 111 x yz P xy yz zx    Câu 5: (1 điểm) Tìm ba số thực dương a, b, c thoả mãn hệ : 149 3 . 12 abc abc         Hết [...]... (Đề 11) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thoả mãn hệ thức: BC AB  BC  AB  BC AC Tính tổng số đo góc: 3 A  B Câu 2: (2 điểm) Cho một cấp số nhân biết rằng tổng các số hạng của chúng bằng 11, tổng bình phương các số hạng của chúng bằng 341,... c là ba số thực dương thoả mãn ab  bc  ca  2 Tìm giá trị lớn nhất của: P  a a2  2  b b2  2  c c2  2 Hết - ( MỘT SỐ ĐỀ DÀNH CHO LỚP 12) (Đề 14) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) 1 Chứng minh rằng với mọi x   ta luôn có sin x  cos x  1 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có... cắt các cạnh AC và AD của tứ diện ABCD lần lượt tại P và Q (P  C, Q  D) Chứng minh rằng tam giác OMN đồng dạng với tam giác OQP Hết - (Đề 13) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) 1 Giải phương trình: ( x  3) (4  x)(12  x) 2 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 3 x  m y 2  1  1  1  x y  m2... điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn abc  1 Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1      1 a  b 1 b  c 1 c  a 2  a 2  b 2  c Hết - ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) (Đề 12) Câu 1: (2 điểm) Xét các tam giác ABC thoả mãn ràng buộc: Max  A, B, C   2 Tìm giá trị lớn của biểu thức: P  sin A  sin 2 B  sin 3 C Câu 2: (3... Kí hiệu S(n) là tổng các chữ số của số 3n 2  n  1 a Tìm giá trị nhỏ nhất của S(n) b Chứng minh rằng tồn tại n để S (n)  1999 Hết - (Đề 15) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) 3 x  y  x  y 1 Giải hệ phương trình:   x  y  x  y  2  2 Giải phương trình: 2 log3   cos x    log 2  cos x   sin... Chứng minh rằng công bội của cấp số nhân đã cho khác 1 b Xác định các số hạng của cấp số nhân Câu 3: (2 điểm) an  (0;1)  Cho dãy số ( an ) thoả mãn các điều kiện:   1 , n   an 1 (1  an )   4  1 1 a Chứng minh rằng: an   2 2n b Chứng minh rằng dãy số ( an ) có giới hạn và tìm giới hạn đó Câu 4: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông và SAB là tam giác đều, mặt phẳng đi qua... các số dương thoả mãn điều kiện a 2  b 2  c 2  3 Chứng minh rằng:   4  4  4   1  2 2  1  2  1  3(a  b  c) 2 2 2  a b  b  c  c  a  2 Câu 3: (3 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đỉnh S, cạnh đáy của hình chóp có độ dài bằng 2, chiều cao bằng h Gọi C1 (O; r ) là hình cầu tâm O bán kính r nội tiếp hình chóp; gọi C2 (K;R) là hình cầu tâm K bán kính R tiếp xúc với 8 cạnh . minh rằng: 111 11 . 1 11 222bc ca a b c       Hết 1ab   (Đề 12 ) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) MÔN:. abcsao cho 111 111 abc  2.     Hết (Đề 9 ) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) MÔN: TOÁN. 2 011 2 3 404 2110 0 1 2 3 404 2110 (1 ) xx x x a axax ax a x        a. Tính tổng . 0 2 4 404 2110 aaa a b. Chứng m inh rằng: 0 1 2 3 2010 2 011 2 011 2 011 2 011 2010 2 011 2009 2011