Tìm điểm M thuộc C sao cho tiếp tuyến của C tại M cắt các đường tiệm cận của C tại A và B để đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳ
Trang 1TÂY Tháng 03/2015
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút; không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2điểm)
Cho hàm số 2x+3
2
y
x
(C) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị (C) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B để đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB
có diện tích nhỏ nhất
Câu 2 (1điểm) Giải phương trình 5 os(2x ) 4sin(5 ) 9
Câu 3 (1điểm) Tính tích phân I =
2
2
0 2
x xx dx
Câu 4 (1điểm)
a) Tìm số phức z thỏa mãn z z 3(z z) 4 3i
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt đúng một lần, chữ số 2 có mặt
đúng hai lần, các chữ số khác có mặt không quá một lần (chữ số đầu phải khác 0)
Câu 5 (1điểm)
Trong không gian hệ Oxyz, cho hai điểm A(0 ; 0 ; -3), B( 2 ; 0; -1) và mặt phẳng (P) có phương trình 3x – 4y + z – 1 =0 Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P) Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng AB
Câu 6 (1điểm)
Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, mặt phẳng (SBD) vuông góc với đáy, các đường thẳng SA, SD đều tạo với mặt đáy góc 0
30 Biết AD = a 6, BD = 2a, góc CBD bằng 0
45 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD) theo a
Câu 7 (1điểm)
Trong mặt phẳng hệ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh B thuộc đường thẳng (d1): 2x – y + 2 =0, đỉnh C thuộc đường thẳng (d2): x – y – 5 =0 Gọi H là hình chiếu của B trên đường thẳng AC Biết điểm M( ; )9 2
5 5 , K(9; 2) lần lượt là trung điểm của AH và CD Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
biết đỉnh C có hoành độ lớn hơn 4
Câu 8 (1 điểm) Giải hệ phương trình
( 2 2) ( 6) ( 1)( 2 7) ( 1)( 1)
Câu 9 (1 điểm)
Cho các số thực x ; y ; z không âm sao cho không có hai số nào đồng thời bằng 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = (xy yz zx)( 2 1 2 21 2 21 2)
Hết
Trang 2ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 ĐỢT 1
Môn: TOÁN
m Câu 1
(2 điểm) 1 Khảo sát hàm số: 2x 3
x 2
1,0 điể
m
- Tập xác định: R \ 2
- Sự biến thiên:
/
2
1
x 2
- Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; 2 ; 2; ; hàm số không có
cực trị
0,25
xlim y 2; lim yx 2
Đồ thị có tiệm cận ngang y = 2
lim y ; lim y
Đồ thị có tiệm cận đứng x = -2 0,25
- Bảng biến thiên:
x / y
y
2
- Đồ thị:
0; ; ; 0
- Đồ thị đối xứng nhau qua giao điểm I2; 2
- Đồ thị
0,25
Trang 3O 3
2
2
1
y
x
2
y 2 3
2 1
I 2; 2
2.(1,0 điểm)………
a 2
Tiếp tuyến của (C) tại M là:
a 2
a 2
0,25
Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng A 2;2a 2
a 2
; cắt tiệm cận ngang tại
B 2a2; 2 M là trung điểm AB
0,25
Điểm I2; 2 ; IAB vuông tại I nên IM là bán kính đường tròn ngoại tiếp
IAB
Do đó: Sđường tròn đạt min IMmin
2
2
2
0,25
min IM 2
2
2
1
a 2
a 2
1
2
Vậy có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu để M11;1 ; M 23;3
0,25
Câu 2
(1,0
điểm)
5
Trang 4
2
6
7
Vậy nghiệm của phương trình: x k2 k Z
3
0,5
Câu 3
(1,0
điểm)
I x 2xx dx x 1 x 2x 1 dx x 1 x 1 dx 0,25
Đặt t x 1 x t 1 dxdt
0,25
2
1
2
1
2 1
Đặt tsin u dt cos udu
u
2
2
0,25
2
2
Vậy: I A B
2
Câu 4
(1,0
điểm)
a (0,5 điểm)
Đặt z x yi
Giải thiết xyixyi 3 x yi x yi 4 3i
2 2
0,25
2
1
Vậy có hai số phức z thỏa mãn đề: z 15 1i
2 2
0,25
b (0,5 điểm)
Gọi số tự nhiên cần tìm là abcde
+ Đưa 1 chữ số 1 vào có 5 cách
Đưa 2 chữ số 2 vào có 2
4
C cách Đưa 2 chữ số trong 8 chữ số còn lại vào 2 vị trí còn lại có 2
8
A cách (kể cả a
= 0)
Có M5.C A2 2 1680 số (kể cả a = 0)
0,25
Trang 5Đưa 2 chữ số 2 vào có C3 cách
Chọn 1 chứ số trong 7 chữ số còn lại có 7 cách
Có N4.C 723 84 (số)
Vậy có M N 1596 (số)
Câu 5
(1,0
điểm)
Ta có: AB2;0; 2 2 1;0;1
Phương trình:
x t
AB : y 0
AB P 3t 0 t 3 1 0 t 1 I 1;0; 2 0,25
+ Ta có: nP 3; 4;1 ; u AB1;0;1
Đường thẳng d P ; cắt và ABd qua I ; dn ;dP uAB 0,25
u u ; n 4; 2; 4 2 2;1; 1
Phương trình đường thẳng d qua I 1;0; 2 là:
x 1 2s
y s
Câu 6
(1,0
điểm)
Gọi OACBD
Kẻ SHBD tại H
0
AHK
vuông cân tại H
ADH45 )
S
B
C
I
K
H O
0
45
0
30
0,25
0
1
2
1
3
0,25
Trang 6+ 2
3
Gọi K là trung điểm AD HKADADSHK
Kẻ HISK tại I HISADd H; SAD HI
0,25
Ta có: 12 12 1 2 HI a 15
HI SH HK 5
3
0,25
Câu 7
(1,0
điểm)
Gọi B b; 2b 2 ;C c;c; 5
Gọi E đối xứng B qua C
E 2c b; 2c 2b 12
E
K
D A
M
Ta có: HE 2MK 2 36 8; 72 16;
H 2c b ; 2c 2b
Lại có: CK 9 c;7 c ; BC c b;c 2b 7
BH 2c 2b ; 2c 4b ; MC c ;c
0,25
Giải thiết:
2
2
2c 3bc 23c 23b 49 0 CK.BC 0
0,25
b 1
B 1; 4 ; C 9; 4
c 4(loai)
c 9
Suy ra: D 9;0 ; E 17; 4 A 1;0
Đáp số:……
0,25
Câu 8
(1,0
điểm) Hệ phương trình:
y x 2x 2 x y 6
y 1 x 2x 7 x 1 y 1
Trang 7Đặt:
Y 1 X 6 X Y 1 2
Lấy (1) + (2) vế theo vế thu gọn được:
Mặt khác (1) trừ (2) theo vế, thu gọn được:
X Y X Y 2XY 7 0 4
Trường hợp 1: X = Y thay vào (1) được: 2 2
X 1 X 6 X X 1
Nên hệ đã cho có nghiệm: x; y : 1; 2 ; 2;3
0,25
Từ (3) và (5) đồng thời đặt:
5
2 5
2
ta được hệ:
2
2
2
2
2
1 a 2
1 b
a 2
1 b 2
0,25
Suy ra các nghiệm: X; Y là 2;3 ; 3; 2
Trang 8Câu 9
(1;0
điểm)
Giả sử zmin x; y; z
Khi đó ta có: x y 2z xy yz zx x z y z
;
0,25
a x ; b y a 0; b 0 theo gt cho
a
P ab
a
1
b b
0,25
Đặt a
t t 0 b
ta khảo sát hàm số:
t 1 t
(với t > 0)
/
2
Bảng biến thiên:
t
/
f t
f t
0
5 2
0,25
min f t
2
đạt được khi t = 1 a b x y Kết hợp được min P5 đạt khi x = y; z = 0