Tính gần đúng tọa độ điểm C trên đường thẳng d để tam giác ABC cân tại B... Mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ một phương án đúng.. Ở 10 câu còn lại mỗi câu An chọn ngẫu nhiên
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2011 – 2012
MÔN: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi gồm 04 trang Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này
Điểm của bài thi Các giám khảo ( Họ và tên, chữ ký) Số phách
Bằng số: 1
Bằng chữ: 2
Chú ý: 1) Kết quả tính chính xác đến 5 chữ số thập phân (trừ kết quả bài 1)
2) Thí sinh ghi kết quả vào ô trống bên phải, đối với các bài từ bài 6 -10 có thêm phần tóm tắt lời giải
3)Thí sinh không được có thêm ký hiệu nào khác trong bài làm
Bài 1: (2 điểm)
Tìm gần đúng các nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình:
sin 2 cos - 2cos 2x x x+sin - 2 0x =
Bài 2: (2 điểm)
Tính gần đúng diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết BC
= 12m, góc B = 23012'34'', góc C = 74023'12''
Bài 3: (2 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
2y 3x 17
⎪
⎨
⎩
Bài 4: (2 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(-1;3); B(1;1) và
đường thẳng (d) có phương trình: y = 2x Tính gần đúng tọa độ
điểm C trên đường thẳng (d) để tam giác ABC cân tại B
Bài 5: (2 điểm)
Trang 2Bài 6: (2 điểm) Cho dãy (un) xác định bởi: 1 2
⎧
a) Lập qui trình bấm phím tính u n và tổng S n (tổng n số hạng đầu tiên của dãy)
b) Tính u và 8 S 10
Trang 3Bài 7: (2 điểm) An làm bài kiểm tra trắc nghiệm môn Vật lí, đề kiểm tra gồm 40 câu Mỗi câu
có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ một phương án đúng Trả lời đúng mỗi câu được 0,25 điểm
An đã làm được 30 câu trong đó đúng 24 câu Ở 10 câu còn lại mỗi câu An chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời Tính xác suất để An đạt 8 điểm trở lên
Lời giải tóm tắt bài 7 Kết quả
Trang 4Bài 8: (2 điểm) Cho dãy số ( )u xác định bởi công thức: n 20062
n n
u n = + , với mọi n nguyên dương Biết n là giá trị để u là số hạng nhỏ nhất của dãy số trên Tính hệ số của số hạng chứa n
8
x trong khai triển 2 52
7
n x
Trang 5Bài 9: (2 điểm) Người ta muốn làm một
con đường đi từ địa điểm A đến địa điểm B
ở hai bên bờ một con sông, các số liệu được
thể hiện trên hình vẽ, con đường được làm
theo đường gấp khúc AMNB Biết rằng chi
phí xây dựng một km đường bên bờ có điểm
B nhiều gấp 1,3 lần chi phí xây dựng một
km đường bên bờ có điểm A, chi phí làm
cầu MN tại địa điểm nào cũng như nhau
Hỏi phải xây cầu tại điểm M cách điểm H
bao nhiêu km để chi phí làm đường là nhỏ
nhất?
M
A
4,1 km
H
B
N
Trang 6Bài 10: (2 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E của AB và SE = 2a Gọi I, J lần lượt
là trung điểm của EC, SC Trên tia đối của tia BA lấy một điểm M Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên MC Tính gần đúng giá trị lớn nhất thể tích khối tứ diện EHIJ với a=5,14233cm
Trang 7SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2011 – 2012
MÔN: TOÁN
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC MÔN TOÁN
Điểm của bài thi Các giám khảo ( Họ và tên, chữ ký) Số phách
Chú ý: 1) Kết quả tính chính xác đến 5 chữ số thập phân (trừ kết quả bài 1)
2) Thí sinh ghi kết quả vào ô trống bên phải, đối với các bài từ bài 6 -10 có thêm phần tóm tắt lời giải
3)Thí sinh không được có thêm ký hiệu nào khác trong bài làm
Bài 1: (2 điểm)
Tìm gần đúng các nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình:
sin 2 cos - 2 cos 2x x x+sin - 2 0x =
1 54 14'45" 360
2 125 45'15" 360
Bài 2: (2 điểm) Tính gần đúng diện tích hình tròn ngoại tiếp tam
giác ABC biết BC = 12m, góc B = 23012'34'', góc C = 74023'12''
10874 , 115
≈
Bài 3: (2 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
2y 3x 17
⎪
⎨
⎩
⎩
⎨
⎧
=
= 3 1
1
1
y x
⎩
⎨
⎧
≈
≈ 16993 3
05664 , 1
2
2
y x
Bài 4: (2 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(-1;3); B(1;1) và
đường thẳng (d) có phương trình: y = 2x Tính gần đúng tọa độ
điểm C trên đường thẳng (d) để tam giác ABC cân tại B
C1 1
1
1,84900 3,69800
x y
≈
⎧
⎨ ≈
⎩
C2 2
1
0, 64900
1, 29800
x y
≈ −
⎧
⎨ ≈ −
⎩
Bài 5: (2 điểm)
Tính gần đúng khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Trang 8Bài 6: (2 điểm) Cho dãy (un) xác định bởi: 1 2
⎧
a) Lập qui trình bấm phím tính u và tổng n S (tổng n số hạng đầu tiên của dãy) n
b) Tính u và 8 S 10
a) Qui trình bấm phím trên máy 570MS:
2 SHIFT STO X
1 SHIFT STO A
3 SHIFT STO B
4 SHIFT STO C
ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 ALPHA :
ALPHA A ALPHA = 5 ALPHA B + 3 ALPHA A – 2(ALPHA X – 1)
ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA C + ALPHA A ALPHA :
ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 ALPHA : ALPHA B ALPHA = 5
ALPHA A + 3 ALPHA B – 2(ALPHA X – 1) ALPHA : ALPHA C
ALPHA = ALPHA C + ALPHA B
Sau đó ấn « = » liên tiếp với X là chỉ số của u
u8= 67623
S10=2533657
0,5
1,0 0,5
Bài 7: (2 điểm) An làm bài kiểm tra trắc nghiệm môn Vật lí, đề kiểm tra gồm 40 câu Mỗi câu
có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ một phương án đúng Trả lời đúng mỗi câu được 0,25 điểm
An đã làm được 30 câu trong đó đúng 24 câu Ở 10 câu còn lại mỗi câu An chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời Tính xác suất để An đạt 8 điểm trở lên
Lời giải tóm tắt bài 7 điểm
Cách1: (Theo đ/n cổ điển) An đã làm đúng 24 câu, tương ứng 6 điểm
nên để dạt được số điểm là 8 trở lên An cần phải đạt ít nhất 2 điểm
nữa.Tức An cần phải làm đúng ít nhất 8 câu trong 10 câu còn lại Số
cách để trả lời 10 câu còn lại là 410 Gọi A là biến cố: An trả lời đúng ít
nhất 8 câu trong 10 câu còn lại
Gọi Ai là biến cố: An trả lời đúng i câu trong 10 câu còn lại
(i∈{8;9;10})
Số cách chọn đúng i câu là 10i
C Số cách trả lời đúng là 1, sai là 3.Lại
do các Ai đôi một xung khắc, theo qui tắc nhân thì số kết quả thuận lợi
cho biến cố A là: 8 2 9 1 10 0
Vậy xác suất cần tính là: P= 43610 0,00042
Cách 2: ( Theo qui tắc xác suất)
Lập luận như trên, đi đến:
0,5
1,0 0,5
Trang 9Bài 8: (2 điểm) Cho dóy số ( )u n xỏc định bởi cụng thức: 20062
n n
u n = + , với mọi n nguyờn
dương Biết n là giỏ trị để u là số hạng nhỏ nhất của dóy số trờn Tớnh hệ số của số hạng chứa n
8
x trong khai triển 2 52
7
n x
-Xột hàm số ( )= +20062 ;x≥1
x x x f
3 3
'( )=1ư4012 =0⇔x= 4012
x
x
-Lập bảng biến thiờn của f(x), ta được GTNN của f(x) đạt tại
3 4012
=
Ta cú 15 < 3 4012 <16
- Lại cú f(16) < f(15)
Vậy n = 16
Ta cú:
16 0
k
k
ư
ư
Số hạng chứa x8 ứng với k =8, nờn hệ số của x8 là
8
2
( 2) 7
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ≈4159,81815
0,5
0,5 0,5
0,5
Bài 9: (2 điểm) Người ta muốn làm một con
đường đi từ địa điểm A đến địa điểm B ở hai
bờn bờ một con sụng, cỏc số liệu được thể hiện
trờn hỡnh vẽ, con đường được làm theo đường
gấp khỳc AMNB Biết rằng chi phớ xõy dựng
một km đường bờn bờ cú điểm B nhiều gấp 1,3
lần chi phớ xõy dựng một km đường bờn bờ cú
điểm A, chi phớ làm cầu MN tại địa điểm nào
cũng như nhau Hỏi phải xõy cầu tại điểm M
cỏch điểm H bao nhiờu km để chi phớ làm
đường là nhỏ nhất?
Đặt x=HM(0≤x≤4,1)⇒AM= x2+1,44,BN= (4,1ưx)2+2,25
Gọi a là số tiền để làm 1km đường bên bờ có điểm A khi đó chi phí để
làm hai đoạn AM và BN là f(x)=a x2+1,44+1,3a (4,1ưx)2+2,25
25 , 2 ) 1 , 4 (
1 , 4 3
, 1 44 , 1 )
(
'
2
ư
ư +
=
x
x a
x
x
a
x
f
Dùng lệnh SOLVE giải được f ' x( )= 0⇔ x≈2,630356805=x0
+) Tính f(x )≈5,621108864a; f(0)≈6,87550878a;
0,5
0,5
A
4,1 km
H
Trang 10Bài 10: (2 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E của AB và SE = 2a Gọi I, J lần lượt
là trung điểm của EC, SC Trên tia đối của tia BA lấy một điểm M Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên MC Tính gần đúng giá trị lớn nhất thể tích khối tứ diện EHIJ với a = 5,14233cm
Đặt MCE= α
Ta có EC= BE2+BC2 =a 5
Theo định lý ba đường vuông góc ta có
EH vuông góc HC suy ra
EH = EC sin α = a 5 sinα
2EC=a 2
Diện tích tam giác HEI:
SHEI = 1 sin
2HE EI HEI
2
1
5 sin 2
2SE= a Suy ra VJHEI = 1IJ
3 SHEI =
3
5 sin 2
=
VJHEI đạt giá trị lớn nhất khi sin 2α = hay 1
Max VJHEI =
3
5
28,32948
24a ≈ cm3
0,5
0,5 0,5 0,5
-Hết -
J
I E
B
A
C
S
M
H