Nếu các bạn tinh ý thì giải như cách 1, tuy nhiên bài này cũng có nhiều cách giải, ngoài 2 cách trên các tính ra tích xzy = - 3 và dùng phương pháp thế giải tiếp.. Nhưng ở vế chứng minh
Trang 1Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu 1
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ NHẬN XÉT Hướng dẫn giải không phải là đáp án chính thức, chỉ mang tính chất tham khảo Câu 1
a) Từ a + b + c = 0, suy ra c = - (a + b) Từ đó ta có
0a b c a b a b 3ab a b 3abc Vậy abc = 0, suy ra một trong 3 số a, b, c bằng không @
b) Nhận xét trong hệ phương trình trên vai trò của x, y, z là như nhau
Cách 1:
Đặt xa 1,y b 1,z c 1 Thay vào phương trình (1) ta có a + b + c = 0
Thay vào (2) với a + b + c = 0 ta có ab + ac + bc = - 4 (4)
Thay vào (3) ta có 3 3 3
0
a b c
Áp dụng câu a ta suy ra một trong 3 số a, b, c bằng 0 Không mất tính tổng quát, giả sử a = 0, Khi đó b = - c, thay vào (4) ta tìm được b = 2 hoặc b = - 2
Kết luận: Phương trình có nghiệm (1, - 1, 3) và các hoán vị
Cách 2: Từ (1) và (2) ta có 2 2 2 2
x y z xyz xyyzxz Thay vào (3) ta được 3 3 3
x y z
Tử (1) và (5) ta suy ra 3 3 3 3
Từ đó suy ra trong 3 số thì hai số có tổng bằng 0
Giả sử x + y = 0, từ (1) ta có z = 3 Thay vào (2) ta có x = 1, y = - 1 hoặc x = - 1, y
= 1
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm (1, - 1, 3) và hoán vị (6 nghiệm)
Nhận xét
a) Khá cơ bản và có nhiều cách giải, các bạn có thể áp dụng các đẳng thức quen
3
a b c abc a b c a b c ab ac bc hay
3 3 3 3
3
a b c a b c ab b c ac Tuy nhiên khá dài dòng
b) Bài hệ phương trình đối xứng 3 ẩn, khá phức tạp Nếu các bạn tinh ý thì giải như cách 1, tuy nhiên bài này cũng có nhiều cách giải, ngoài 2 cách trên các tính ra tích xzy = - 3 và dùng phương pháp thế giải tiếp Nhưng phải ra đầy đủ 6 nghiệm thì mới được điểm tối đa Không nên dùng Viet cho 3 biến vì chắc là không được sử
dụng
Trang 2Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu 2
Câu 2
2 0
2
x
x x
x
Với điều kiện trên phương trình tương đương
4x 4x12 x x 2x x 3 x x 2 (2)
t x x t , phương trình trở thành:
3 2 0
2
t
t t
t
Với t 1 ta giải được 1 13, 1 13
x x Với t = 2 ta giải được x 3,x 2
Ta thấy các số 1 13 1, 13, 3, 2
đều thỏa điều kiện
Vậy phương trình có 4 nghiệm và 3, 2,1 13 1, 13
S
b) Đặt a = AB, b = AC Do tam giác ABC vuông tại A nên ta có 2 2
BC a b
2
ABC
+ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 2 2 2
a b ab a b + Ta có
2 2
2 2
2
2
2 2
a b
Bất đẳng thức sau cùng đúng, suy ra điều cần chứng minh
Nhận xét
a) Câu này thuộc loại dễ đối với học sinh lớp chuyên Cách hay nhất là đặt ẩn phụ cho đơn giản trong việc giải, nếu dùng cách bình phương lên thì khá khó khăn vì đưa về phương trình bậc 4 Do bài này các nghiệm đều nhận nên thấy việc giải
Trang 3Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu 3
điều kiện không liên quan nhiều, tuy thế vẫn phải đặc điều kiện và thử lại nếu
muốn đạt điểm tối đa
b) Câu bất đẳng thức này không khó lắm, chỉ dùng phương pháp biến đổi tương đương và đơn giản Nhưng ở vế chứng minh thứ hai, nếu không chuyển số 2 qua
mà bình phương lên thì các em phải chứng minh vế phải không âm
Câu 3
a) Bộ số bốn số 1, 3, 7, 9 thỏa mãn đề bài
b) Ta chứng minh trong 5 số nguyên dương phân biệt thì luôn có 3 số có tổng chia hết cho 3 và lớn hơn 3
+ Vì các số là nguyên dương phân biệt nên tổng ba số bất kỳ luôn lớn hơn 3
Nếu trong 5 số khi chia cho 3 có đầy đủ các số dư 0, 1, 2 thì tổng 3 số có số dư khác nhau sẽ chia hết cho 3
Nếu chỉ có nhiều nhất hai số dư thì theo nguyên tắc Dirichlet sẽ có ít nhất 3 số có cùng số dư khi chia cho 3, vậy tổng 3 số đó sẽ chia hết cho 3
Vậy luôn tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên không tồn tại 5 số nguyên dương phân biệt mà tổng ba số bất kỳ đều là số nguyên tố
Nhận xét
a) Câu này chỉ cần chỉ ra được 4 số mà không cần chứng minh lý luận gì Bài này có nhiều đáp số, ngoài bộ trên còn nhiều bộ khác mà các em có thể chỉ ra được như: (1, 5, 7, 11),
Nếu tìm ra bộ số lớn thì trong lời giải nên cộng lại để chứng tỏ là số nguyên tố b) Câu này là câu khó, khó nhất trong đề năm nay Nếu không biết được ý tưởng chứng minh (tồn tại tổng 3 số
chia hết 3) thì xem như bí
Tuy vậy nếu mất điểm câu
này cũng không sao, vì bí
chắc là bí chung
Câu 4 Bài này ta xét hai trường
hợp, tam giác ABC nhọn hoặc tù Vì
cách chứng minh là tương tự nên xét
tam giác ABC nhọn Khi đó A và K
khác phía đối với BC
Trang 4Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu 4
Vì BC = R√3 nên ta tính được BAC = 600, suy ABE = AEB = 300 ( ABE cân tại A)
Tứ giác ABKE nội tiếp, suy ra AKB = AEB = 300
Chứng minh tương tự ta cũng có AKC = AFC = 300
Từ đó BKC = AKB + AKC = 600
Xét tứ giác OBKC có BOC + BKC = 1200 + 600 = 1800 nên là tứ giác nội tiếp Vậy K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC cố định
b)Ta có SKBC = 1\2 BC KT (T là hình chiếu của T trên BC)
Suy ra SKBC max KT max K là điểm chính giữa cung lớn BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC Khi đó A là điểm chính giữa cung lớn BC của (O)
Khi đó tam giác BCK đều cạnh BC = R√3 nên có diện tích là SBKC = 3√3R2/4
c)Ta có AKC = AKE = 300 nên suy ra K, C, E thẳng hàng
Tứ giác AHCE có AEH = ACH = 300 nên là tứ giác nội tiếp, suy ra AHE = ACE Từ đó suy ra AHB = ACK
Xét ABH và ACK có ABH = AKC và AHB = ACK (cmt)
nên ABH ~ ACK (g.g)
Gọi D là giao điểm của AO và (O) Ta có ABC = ADC và BAH + ABC = DAC + ADC = 900, suy ra BAH = DAC
Hơn nữa BAH = KAC (do ABH ~ ACK)
Từ đó KAC = OAC, suy ra A, K, O thẳng hàng
Cách khác
Tứ giác BOCK nội tiếp, suy ra OKB = OCK = 300
Mà AKB = 300 (cmt) do đó OKB = AKB, suy ra K, A, O thẳng hàng Vậy AK luôn đi qua điểm O cố định
Nhận xét Bài hình học năm nay có vẻ rắc rối về hình vẽ, tuy nhiên cũng không phải là
bài toán quá khó vì dễ dự đoán và chứng minh các ý Có nhiều cách chứng minh cho câu
Trang 5Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu 5
a và câu c của bài toán này và có thể làm câu c trước Các bạn thường nhầm lẫn và chưa chứng minh tính thẳng hàng của ba điểm (K, C, E) và (K, B, F) và áp dụng lung tung Nói tóm lại đây là một bài toán hay
Câu 5 Gọi các đội lần lượt là A1, A2,…,A12
a) Giả sử sau 4 vòng đấu A1 đá với A2,A3, A4,A5 và chưa đấu với 4 đội còn lại Ta chỉ cần chứng minh trong các đội còn lại có hai đội chưa đấu với nhau Thật vậy xét A6, sau 4 vòng đấu A6 đấu nhiều nhất là với 4 trong 6 đội A7, …A12 còn lại nên
có ít nhất 1 đội chưa đấu với A6 Vậy đội bóng đó cùng với A6, A1 là 3 đội chưa
đấu với nhau
b) Câu khẳng định là không Ta xét một lịch đá như sau:
Chia làm hai nhóm, mỗi nhóm 6 đội A1, A2, …A6 và A7, A8, …, A12 Cứ mỗi vòng cho hai đội trong cùng một nhóm đấu với nhau Thì sau 5 vòng hai đội trong cùng
1 nhóm đều đã đá với nhau Xét 3 đội bất kì, thì theo nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất hai đội cùng một nhóm, nên đã đá với nhau @
Nhận xét Năm nay là năm Worldcup đề bài ra một bài bóng đá Tuy nhiên đây cũng
không phải bài toán quá quen thuộc như các năm trước là tìm điểm các đội Câu a, xem ra lại dễ làm hơn câu b Bài toán này hay đòi hỏi suy luận tốt và gọn gàng
Nhận xét chung
Đề năm nay cho hay và đòi hỏi nhiều suy luận logic
Các câu cơ bản điểm là 1a, 2a Các câu phức tạp hơn là 1b, 2b, 3a, bài 4 Nếu làm đúng được các câu trên thì hy vọng rất cao
Các câu khó để phân loại là bài 5 và 3b, trong đó khó nhất là 3b và 5b
Hẹn gặp các bạn trong năm học mới tại trường Phổ Thông Năng Khiếu
Trang 6Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu 6