Tang Vu Nguyen|PTNK www.toan111.com ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG PTNK NĂM HỌC 2015 – 2016 TOÁN KHÔNG CHUYÊN. THỜI GIAN LÀM BÀI 120 PHÚT Bài 1. (2 điểm). a) Giải phương trình ( ) ( ) 2 2 9 2 9x x x x − − = − b) Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 5 3 2 5 x y x y x y + − + = + = Bài 2. (1,5 điểm) Cho phương trình ( ) ( ) ( ) 2 3 0 1 1 x m x m x − + − = − a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 2 ,x x . b) Tìm m để 2 2 2 1 2 1 2 5 14 30 4x x x x m m+ − = − + Bài 3. (1,5 điểm) a) Rút gọn biểu thức ( ) 3 3 36 5 : 0, 9, 25 9 3 3 3 x x x Q x x x x x x x x + − − = − − > ≠ ≠ ÷ ÷ − − + − b) Tìm x để Q < 0. Bài 4. (2 điểm) a) Cho một tam giác vuông. Nếu ta tăng độ dài các cạnh góc vuông thêm 3cm thì diện tích tăng 33cm 2 , nếu giảm độ dài một cạnh góc vuông 2cm và tăng độ dài cạnh góc vuông kia 1cm thì diện tích giảm 2cm 2 . Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác vuông. b) Bạn An dự định trong khoảng thời gian từ ngày 1/3 đến ngày 30/4 mỗi ngày sẽ giải 3 bài toán. Thực hiện đúng kế hoạch một thời gian, vào khoảng cuối tháng 3 (tháng 3 có 31 ngày) thì An bị bệnh, phải nghỉ giải toán nhiều ngày liên tiếp. Khi hồi phục, trong tuần đầu An giải 16 bài toán; sau đó, An cố gắng giải 4 bài một ngày và đến 30/4 thì An cũng hoàn thành kế hoạch đã định. Hỏi bạn An đã nghỉ giải toán ít nhất bao nhiêu ngày? Tang Vu Nguyen|PTNK www.toan111.com Bài 5 (3 điểm) Hình bình hành ABCD có · 60 o ADC = và tam giác ACD nhọn. Đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ACD cắt cạnh AB tại E ( ) E A≠ , AC cắt DE tại I. a) Chứng minh tam giác BCE đều và OI CD⊥ b) Gọi K là trung điểm BD, KO cắt DC tại M. Chứng minh A, D, M, I cùng thuộc một đường tròn. c) Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính OJ DE HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. a) Điều kiện 2 0 2x x − ≥ ⇔ ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 9 2 9 9 2 0 3 3 2 2 x x x x x x x x l x n x x − − = − ⇔ − − − = = ⇔ = − − = Ta có 2 0 2 1 2 x x x x x x ≥ − = ⇔ ⇔ = − = Vậy { } 3;1S = − b) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 5 1 3 2 5 2 x y x y x y + − + = + = Đặt 2 2 4t x y= + , 0t ≥ từ (1) ta có ( ) ( ) 2 5 4 5 0 1 t n t t t l = − − = ⇔ = − Ta có hệ 2 2 2 2 2 2 4 5 1 1 1 3 2 5 1 x y x x y x y y + = = = ± ⇔ ⇔ = ± + = = Tang Vu Nguyen|PTNK www.toan111.com Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm ( ) ; yx là ( ) ( ) ( ) ( ) 1;1 , 1; 1 , 1;1 , 1; 1− − − − Bài 2. a) ( ) ( ) ( ) 2 3 0 1 1 x m x m x − + − = − , điều kiện 1x ≠ ( ) 2 1 3 x m x m = ⇔ = − Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 m m m m m m m ≠ ≠ − ≠ ⇔ ≠ − ≠ ≠ b) Theo câu a thì điều kiện là 1 1 2 2 m m m ≠ ≠ ≠ Giả sử 1 2 2 , 3x m x m= = − ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 5 14 30 4 2 3 5 2 3 14 30 4 6 5 0 1 5 x x x x m m m m m m m m m m m l m n + − = − + ⇔ + − − − = − + ⇔ − + = = ⇔ = Bài 3. a) Tang Vu Nguyen|PTNK www.toan111.com ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 36 5 : 9 3 3 3 3 3 36 3 . 5 3 3 12 5 x x x Q x x x x x x x x x x x x x x + − − = − − ÷ ÷ − − + − + − − + − ÷ = ÷ − − + ÷ = − b) Ta có 12 0 0 0 5 0 25 5 x Q x x x < ⇔ < ⇔ < < ⇔ < < − . So với điều kiệ ta có 0 25 9 x x < < ≠ Bài 4. a) Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là x, y (cm). Theo đề bài ta có hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 3 3 33 19 7 2 2 1 1 2 2 12 2 1 2 2 2 x y xy x y y x y x x y xy + + = + + = = ⇔ ⇔ − = − = − + = − Độ dài cạnh huyền 2 2 7 12 193z = + = b) Số ngày dự định làm là 61 ngày, số bài toán dự định làm là 3.61 183 = Gọi x là số ngày làm theo dự định, y là số ngày nghỉ ta có 31x ≤ . Số ngày làm 4 bài/ ngày là 61 – x – y – 7 = 54 – x – y Theo đề bài ta có: ( ) 3 0. 16 4 54 183 4 49 x y x y y x + + + − − = ⇔ + = Mà 18 31 4 18 4 x y y≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥ , mà y ∈¥ nên giá trị nhỏ nhất của y = 5. Với y = 5, ta có x = 29. Thỏa đề bài. Vậy số ngày nghỉ ít nhất là 5 ngày. Tang Vu Nguyen|PTNK www.toan111.com Bài 5. a) Ta có và tam giác BCE có nên là tam giác đều. ta có , suy ra nên hình thang AECD là hình thang cân. Khi đó , tam giác ICD cân tại I. Ta có IC = ID, OC = OD nên OI là trung trực của CD. Do đó . b) Ta có K là trung điểm BD nên K cũng là trung điểm AC do ABCD là hình bình hành. Khi đó và OK là trung trực của AC. Suy ra MA = MC. Suy ra Mà Từ đó . Suy ra tứ giác AIMD nội tiếp. c) Ta có . Suy ra thẳng hàng. Do tam giác ABC và tam giác ACD bằng nhau nên . Mặt khác Khi đó Mà (AECD là hình thang cân). Vậy . Tang Vu Nguyen| PTNK www.toan111.com ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG PTNK NĂM HỌC 2015 – 2016 TOÁN KHÔNG CHUYÊN. THỜI GIAN LÀM BÀI 120 PHÚT Bài 1. (2. giải 16 bài toán; sau đó, An cố gắng giải 4 bài một ngày và đến 30/4 thì An cũng hoàn thành kế hoạch đã định. Hỏi bạn An đã nghỉ giải toán ít nhất bao nhiêu ngày? Tang Vu Nguyen| PTNK www.toan111.com. y = 5, ta có x = 29. Thỏa đề bài. Vậy số ngày nghỉ ít nhất là 5 ngày. Tang Vu Nguyen| PTNK www.toan111.com Bài 5. a) Ta có và tam giác BCE có nên là tam giác đều. ta có , suy ra nên hình