Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu 1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.. Tính độ dài các cạnh của tam giác.. Gọi G là trọng tâm của tam giác AOD; AG cắt CD tại E.. a Chứng minh tứ giác AOED
Trang 1Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu 1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2010 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Môn thi: TOÁN (không chuyên)
Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian phát đề
Bài 1 (2, 5 đ)
a) Tìm m để phương trình 2
x xm có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thỏa
2 2
1 1 2 1 2 7 1 2
x x x x x x
b) Giải phương trình 2
9 4 x x 6x9 2x5 9 4 x
Bài 2 (2 đ)
a) Giải hệ phương trình
1
x y xy xy
xy x y
b) Rút gọn biểu thức 1 : 1 2 1
1
a
với a > 1
Bài 3.(1,5 đ) Cho tam giác ABC vuông tại A, có chu vi bằng 30cm và diện tích bằng 30cm2 Tính độ dài các cạnh của tam giác
Bài 4 (1đ) Cho số tự nhiên n có hai chữ số, chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y
(nghĩa là x 0 và n = 10x + y) Gọi M n
x y
a) Tìm n để M = 2
b) Tìm n để M đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 5 (3đ) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O, cạnh AB = 3a và ABD = 300 Gọi G là trọng tâm của tam giác AOD; AG cắt CD tại E
a) Chứng minh tứ giác AOED nội tiếp trong một đường tròn
b) Cho DG cắt AB tại F Tính diện tích tứ giác AFOE
c) Đường tròn tâm J nội tiếp tam giác BCD tiếp với DB, CD tại I và K Gọi H là giao điểm của IK và AC Tính IOJ và độ dài đoạn HE
Hết
Trang 2Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu 2
HƯỚNG DẪN GIẢI Đây chỉ là hướng dẫn giải không phải đáp án chính thức chỉ mang giá trị tham khảo Bài 1
a) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt ’ = 1 – (m – 3) > 0 m < 4
Với điều kiện trên theo định lý Viet ta có: 1 2
1 2
2 3
S x x
P x x m
Ta có
2
2 2
2 2
7 7 2
Vậy giá trị m thỏa đề bài là 7/2
b) Điều kiện 2
4
x x
Với điều kiện trên ta có phương trình tương đương với phươn trình
3 5 2 2
x
Giải (1) ta được x = 9/4
8
3 5 2
3
3 5 82
2
Vậy phương trình có hai nghiệm là 2 và 9/4
Trang 3Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu 3
0
2 1 0
x
x y
Với x = 0 thế vào (2) có y = -1
Với y = 0 thế vào (2) ta có x = 1
Với x + 2y + 1 = 0 x = - 1 – 2y thế vào (2) ta có: - 2y2 – 4y - 2 = 0 y = - 1, suy ra x = 1 Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm (x, y) là (0, - 1), (1, 0) và (1, -1)
b)
2
1
1 2
a
a a
Bài 3 Gọi độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là x và y, cạnh huyền là z
Ta có theo định lý Pytagore thì 2 2 2
z x y (1)
Ta có S = ½ xy = 30 xy = 60 (2)
P = x + y + z = 30 x + y = 30 – z
Bình phương 2 vế ta có : x2 + 2xy + y2 = 900 – 60z + z2 120 = 900 – 60z z = 13
Suy ra: x + y = 17, xy = 60 Giải ra được x = 5, y = 12 hoặc x = 12 và y = 5
Vậy tam giác vuông có ba cạnh là 5, 12 và 13
Bài 4
Trang 4Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu 4
a) Ta có M 2 10x y 2 10x y 2x 2y y 8x
x y
Vì y ≤ 9, < 16 suy ra x < 2 mà x là số nguyên dương nên x = 1 y = 8 Vậy n = 18
1
M
y
x
Vì 1 ≤ x ≤ 9 và 0 ≤ y ≤ 9, suy ra 0 y 9
x
, suy ra 1 1 y 10
x
Do đó 19
10
M Dấu bằng xảy ra khi y = 9, x = 1
Vậy M nhỏ nhất bằng 19/10 khi n = 19
Bài 5
a) Ta có OA = OD do ABCD là hình chữ
nhật và ADO = 900 - ABD = 600
Suy ra tam giác ADO đều
Mà G là trọng tâm nên cũng là tâm
đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của
tamgiác OAD Suy ra AG là phân giác
AOD
Suy ra ADE = AOE (c.g c), từ đó AOE = ADE = 900
Xét tứ giác ADEO có ADE + AOE = 1800 nên là tứ giác nội tiếp
b) Gọi P là giao điểm của AE và OD
Tam giác OAD đều nên DG là đường trung trực của AO, suy ra FA = FO, tam giác FAO cân tại F Do đó FOA = FAO = 900 - DAO = 300 = OAE
Suy ra OF //AE, tứ giác AFOE là hình thang
Ta có AD = AB.tan ABD = 3a tan300 = a√3
Mà a√3 = AD = AE cos DAE = AE cos300, suy ra AE = 2a
Và FO = FA = AD tan ADF = a√3 tan300 = a, OP = ½ OD = a√3/2
2
AFOE
c) Ta có OBC = OAD nên OBC cũng là tam giác đều Suy ra BO = BC
Suy ra BOJ = BCJ (c g c)
Trang 5Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu 5
Mà BCJ = ½ BCD = 450, nên BOJ = 450 hay IOJ = 450
Ta có tứ giác JIDK nội tiếp, suy ra JIK = JDK = ½ IDC = 150
Và JOH = BOC - JOI = 600 - 450 = 150
Ta có JIK = JOH nên tứ giác JIOH nội tiếp, suy ra JHO = 900
Tam giác JOC cân tại J (BJ là đường trung trực của OC) mà JH ⊥ OC, suy ra H là trung điểm OC, do đó OH = ½ OC = ½ OA = a√3/ 2
Từ đó áp dụng Pytagore cho tam giác EOH tính được EH = a√7/2
Hết