Nghiên cứu lý thuyết trật tự của hợp kim β - CuZn bằng phương pháp thống kê momen

LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ của các thầy cô gáo và các bạn học viên tôi đã hoàn thành đề tài của mình. Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, PGS – TS Phạm Đình Tám đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo. cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng để tôi hoàn thành bài luận văn này và truyền cho tôi niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng thầy. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu, các thầy, các cô công tác tại phòng Sau đại học trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các thầy cô giáo đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua. Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này. Học viên thực hiện: Đặng Thị Phương Hải LỜI CAM ĐOAN Tên tôi là: Đặng Thị Phương Hải. Học viên: K14 Vật lí lí thuyết và Vật lí toán. Trường đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tôi xin cam kết đề tài “Nghiên cứu lý thuyết trật tự của hợp kim β - CuZn bằng phương pháp thống kê momen” là kết quả nghiên cứu của riêng cá nhân tôi, tìm hiểu và thực hiện dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của thầy giáo, PGS - TS Phạm Đình Tám. Nếu có gì không trung thực trong luận văn tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học. Học viên thực hiện: Đặng Thị Phương Hải MỤC LỤC Mở đầu…………………………………………………………………… 1 Nội dung…………………………………………………………………… 3 Chƣơng 1: Các phƣơng pháp thống kê nghiên cứu trật tự của hợp kim……………………………………………………………………. 3 1.1. Lý thuyết thống kê về trật tự……………………………… 3 1.2. Phương pháp Kirkwood…………………………………… 6 1.3. Phương pháp giả hóa……………………………………… 12 Chƣơng 2: Năng lƣợng tự do và các thông số trật tự của hợp kim thay thế AB……………………………………………………………… 17 2.1. Momen và các biểu thức nhiệt động của tinh thể một loại nguyên tử…………………………………………………………………… 17 2.1.1. Momen…………………………………………………… 17 2.1.2. Các công thức tổng quát về momen………………………. 18 2.1.3. Công thức tổng quát tính năng lượng tự do theo phương pháp momen……………………………………………………………… 23 2.1.4. Biểu thức năng lượng tự do và các biểu thức nhiệt động của tinh thể…………………………………………………………………. 23 2.2. Biểu thức năng lượng tự do và biểu thức thông số mạng của hợp kim thay thế AB……………………………………………………… 27 2.2.1. Biểu thức năng lượng tự do của hợp kim…………………. 27 2.2.2. Phương trình trạng thái và biểu thức tính thông số mạng của hợp kim………………………………………………………………… 29 2.3. Thông số trật tự và phương trình xác định nhiệt độ trật tự T 0 . 30 Chƣơng 3: Nghiên cứu trật tự của hợp kim β – CuZn bằng phƣơng pháp momen…………………………………………………… 35 3.1. Thế tương tác giữa các nguyên tử trong kim loại và hợp kim 35 3.2. Phương trình trạng thái và biểu thức thông số mạng của hợp kim β – CuZn………………………………………………………………. 37 3.3. Thông số trật tự xa và nhiệt độ trật tự T 0 của hợp kim β – CuZn……………………………………………………………………… 45 3.3.1. Thông số trật tự xa của hợp kim β – CuZn……………… 50 3.3.2. Nhiệt độ trật tự của hợp kim β – CuZn……………………. 46 3.4. Tính số và thảo luận kết quả………………………………… 48 Kết luận……………………………………………………………………. 52 Công trình công bố liên quan đến nội dung luận văn………………… 53 Tài liệu tham khảo……………………………………………………… 54 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hợp kim là một vật thể mang tính kim loại (sáng, dẻo, dẫn điện và nhiệt), chứa nhiều nguyên tố, trong đó chủ yếu là nguyên tố kim loại, nguyên tố còn lại là nguyên tố hợp kim hóa. Do đó hợp kim có nhiều mặt ưu việt hơn kim loại nguyên chất. Hợp kim được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như hàng hải, các ứng dụng y tế, quân sự, thương mại, công nghiệp, khu dân cư và sản xuất. Vì vậy, rất nhiều các ngành khoa học đã chọn hợp kim làm đối tượng nghiên cứu. Có nhiều phương pháp để nghiên cứu trật tự của hợp kim như phương pháp Bragg – Williams, phương pháp Kirkwood, phương pháp giả hóa… đã cho phép giải thích nhiều hiện tượng trật tự của hợp kim; tuy nhiên, lại không làm rõ được các thông số trật tự chịu ảnh hưởng như thế nào dưới tác động của nhiệt độ và áp suất. Do đó, phương pháp thống kê mới – phương pháp momen được đưa vào để giải quyết vấn đề trên. Phương pháp này đơn giản nhưng cho kết quả giải tích và kết quả số phù hợp khá tốt với thực nghiệm khi nghiên cứu tính chất các tinh thể và đã áp dụng thành công để nghiên cứu tính chất nhiệt động của tinh thể một loại nguyên tử. Dựa trên cơ sở áp dụng phương pháp momen, tôi đưa ra đề tài “Nghiên cứu lý thuyết trật tự của hợp kim β - CuZn bằng phương pháp thống kê momen”. Trong đề tài này, tôi đi tìm hiểu các thông tin về trật tự và các tính chất nhiệt động của hợp kim β - CuZn, hay còn gọi là đồng thau, một trong những hợp kim phổ biến, có vai trò quan trọng và được ứng dụng rộng rãi trong thực tế thông qua biểu thức năng lượng tự do. Từ đó tìm được phương trình trạng thái, biểu thức tính thông số mạng của hợp kim β - CuZn, phương trình xác định 2 thông số trật tự xa cân bằng, phương trình xác định nhiệt độ chuyển pha trật tự và ảnh hưởng của trật tự lên tính chất nhiệt động của hợp kim β - CuZn. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu các hiện tượng trật tự trong hợp kim và ảnh hưởng của nhiệt độ, áp suất tới thông số trật tự của hợp kim β - CuZn. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Xác định năng lượng tự do và biểu thức tính thông số mạng của hợp kim β - CuZn. - Xác định thông số trật tự và phương trình xác định nhiệt độ trật tự của hợp kim β - CuZn. - Áp dụng tính số. 4. Đối tƣợng nghiên cứu Hợp kim β - CuZn, các tính chất nhiệt động và tính trật tự của hợp kim β - CuZn. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp thống kê momen. 3 CHƢƠNG 1 CÁC PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ NGHIÊN CỨU TRẬT TỰ CỦA HỢP KIM 1.1. Lý thuyết thống kê về trật tự Ta có thể tìm biểu thức gần đúng đối với thế nhiệt động và đối với giá trị cân bằng của thông số trật tự xa trong toàn miền biến thiên của chúng bằng cách dựa vào cơ sở cho lý thuyết thống kê trật tự là xác định mẫu hợp kim đơn giản. Trong lý thuyết này, hằng số năng lượng có thể được biểu diễn tường mình qua năng lượng tương tác giữa các nguyên tử loại khác nhau. Do đó, nên lựa chọn các mẫu xác định và những loại thế nhiệt động đặc biệt ở điểm chuyển pha loại 2. Mẫu gần đúng tương tác của các nguyên tử là mẫu đơn giản nhưng có thể giúp ta giải thích được nhiều hiện tượng liên quan đến trật tự trong nhiều trường hợp nên thường được sử dụng trong lý thuyết thống kê. Đối với những vật rắn chịu sự nén nhỏ, có thể coi thể tích V không đổi. Khi đó ta sử dụng năng lượng tự do  thay thế cho thế nhiệt động  . Bằng phương pháp tổng quát của vậy lý thống kê, ta xác định được năng lượng tự do. Tổng thống kê có dạng như sau: n n E Z exp kT      , (1.1) trong đó n là số trạng thái của hệ. Ở đây, ta coi số trạng thái này xác định như số cấu hình i của nguyên tử trên các nút và tập hợp các số lượng tử (kí hiệu là m) đặc trưng cho trạng thái electron dẫn, dao động nhiệt của các nguyên tử và trạng thái liên quan đến bậc tự do khác cho bởi cấu hình i. 4 Năng lượng E n của hợp kim trong mô hình tương tác cặp được xác định bởi biểu thức: E n = E i + E m , (1.2) trong đó, E i là năng lượng cấu hình. E m có thể xem gần đúng không phụ thuộc vào cấu hình i, được xác định bởi các số lượng tử m. Nếu biết trước loại nguyên tử chiếm mỗi nút mạng trong hợp kim thì sẽ xác định được cấu hình năng lượng E i . Thay (1.2) vào (1.1) và chuyển tổng theo n sang tổng theo i và m, ta được: i m m i i,m m i E E E E Z exp exp exp kT kT kT                            (1.3) Đặt: im im EE Z' exp ; Z''= exp kT kT                 (1.4) Khi đó, (1.3) có dạng: Z Z'.Z'' (1.5) Mà, năng lượng tự do được xác định: ' kTlnZ'   . Từ đó ta nhận được các biểu thức: ' '' ' kTlnZ' '' kTlnZ''            (1.6) trong đó ' là năng lượng tự do cấu hình của hợp kim, xác định bởi cấu hình. Việc giải bài toán tìm năng lượng tự do để tính tổng thống kê dựa vào điều kiện cực tiểu từ tính chất cân bằng trong hợp kim gặp nhiều khó khăn về mặt toán học. Chỉ có thể giải bài toán này đối với mạng tinh thể một chiều và hai chiều. Như vậy, để xác định được thừa số cấu hình Z’ của tổng thống kê trong mạng tinh thể ba chiều cần sử dụng các phương pháp gần đúng khác nhau, đơn 5 giản là những phương pháp trong đó không tính tới tương quan, và trật tự chỉ được đặc trưng bởi thông số trật tự xa. Lý thuyết thống kê không tính tới tương quan này được phát triển trong các công trình của Gorsky và Bragg – Williams. Cụ thể như sau: Xét hợp kim có nồng độ thành phần là c  đã cho, thông số trật tự xa có thể xác định bởi các thông số độc lập 1 2 q , , ,   . Khi đó biểu thức đối với Z’ được viết dưới dạng: 1q 1q Z' Z     (1.7) Tổng này lấy theo tất cả các giá trị của thông số trật tự xa, trong đó 1q Z  là tổng theo tất cả các cấu hình tương ứng với giá trị cho trước của thông số trật tự xa 1 2 q , , ,   và được xác định:   1q 1q i i E Z exp kT        (1.8) Đối với tinh thể vĩ mô có số lượng nguyên tử lớn thì thay lnZ’ thành 1 2 q , , , lnZ    với 1 2 q , , ,   là giá trị cân bằng của thông số trật tự trong đó giá trị 1 2 q , , , Z    đạt cực đại tại nhiệt độ xác định. Tính được 1q Z  ở các giá trị khác nhau của thông số trật tự xa và giá trị cân bằng của chúng từ điều kiện cực đại của 1q Z  hay cực tiểu của năng lượng tự do cấu hình ở 1 2 q , , ,   thì sẽ xác định được giá trị cân bằng 1 2 q , , ,   . 1q ' kTlnZ     (1.9) 6 Do '' không phụ thuộc vào 1 2 q , , ,   nên có thể coi ' ''    với: 1 1 2 2 q q ' ' ' 0; 0; ; 0                   (1.10) Khi không xét tới tương quan tính gần đúng thì năng lượng cấu hình E i là như nhau đối với tất cả các cấu hình ứng với thông số trật tự xa 1 2 q , , ,   đã cho trước. Trong trường hợp này E i có thể xác định từ giả thiết về sự hỗn loạn của các nguyên tử trên mỗi loại nút. Thay (1.8) vào (1.9), khảo sát gần đúng E i = E và đưa E exp kT     ra khỏi dấu tổng theo i thì ta nhận được biểu thức gần đúng của ' như sau: ' E kTlnW   , (1.11) trong đó W là số các hoán vị khác nhau của các nguyên tử theo các nút mạng khi cho biết các thông số trật tự xa 1 2 q , , ,   . Tuy nhiên, lý thuyết trật tự hoàn thiện hơn phải tính tới tương quan trong hợp kim dựa vào việc áp dụng những thủ thuật đặc biệt liên quan tới việc xác định gần đúng. Phương pháp Kirkwood và phương pháp giả hóa sẽ thể hiện điều đó. 1.2. Phƣơng pháp Kirkwood Dựa trên cơ sở khai triển năng lượng tự do thành chuỗi theo lũy thừa của kT  , Kirkwood đã hoàn thiện phương pháp xác định năng lượng tự do của hợp kim có tính tương quan. Kết quả thu được sẽ đạt độ chính xác cao hơn khi tỉ số năng lượng trật tự và kT nhỏ, còn khi nhiệt độ thấp thì độ chính xác giảm do lý thuyết này chỉ cho phép tìm được vài số hạng đầu tiên của khai triển. [...]... (2.38) 2.3 Thông số trật tự xa và phƣơng trình xác định nhiệt độ trật tự T0 Các phương pháp thống kê nghiên cứu trật tự của hợp kim đều xuất phát từ việc xây dựng biểu thức năng lượng tự do cấu hình của nó Áp dụng gần đúng không tính tới tương quan nhận được từ biểu thức (1.11), xét tương tác lân cận gần nhất, ta thu được kết quả sau: - Đối với hợp kim cấu trúc lập phương tâm khối loại β – CuZn: E Nz ... độ của thông số trật tự  nhưng kết quả tính số cũng chưa phù hợp với các số liệu thực nghiệm Kết luận tương tự như thế với nhiệt độ T0 từ biểu thức (2.42) và hệ phương trình (2.45) Như vậy, áp dụng các phương pháp thống kê như phương pháp Kirkwood, phương pháp giả hóa… có tính tới tương quan trong hợp kim không những giải thích được nhiều hiện tượng trật tự trong hợp kim như loại chuyển pha trật tự, ... nút β (a, b) là:     P  1;  P  c ;  P  1,   (2.33) ,  trong đó:  là nồng độ các nút loại β, c là nồng độ nguyên tử α, P là xác suất để nguyên tử α chiếm nút β Bằng mô hình tương tác cặp, phương pháp quả cầu phối vị, mô hình các kim loại hiệu dụng của hợp kim và phương pháp thống kê momen, trong công trình [6] đã thu được biểu thức năng lượng tự do của hợp kim đôi trật tự có... cho độ chính xác nhỏ, đặc biệt với mạng lập phương tâm diện Trong miền nhiệt độ thấp, lý thuyết thống kê được áp dụng với các thông số nhỏ là độ lệch của độ trật tự xa 1.3 Phƣơng pháp giả hóa Đây là phương pháp thống kê có tính tới tương quan trong hợp kim Năng lượng tự do được tìm thông qua độ trật tự xa  và số NAB cặp các nguyên tử lân cận AB Tổng thống kê Z’ có dạng như sau: Z'   ,N AB Ở đây:... còn thu được các phương trình xác định  và T0 phản ánh định lượng chính xác hơn so với khi không tính tới tương quan Tuy nhiên, mặt hạn chế của phương pháp này vẫn chưa được khắc phục triệt để Trong công trình [6], áp dụng các kết quả tính năng lượng tự do bằng phương pháp thống kê momen và điều kiện cân bằng để xác định phương trình tính thông số trật tự Thông số trật tự xa cân bằng  được xác định... 3Nk B X0  ln  2shx  là entropy của N dao động tử điều hòa   2.2 Biểu thức năng lƣợng tự do và biểu thức thông số mạng của hợp kim thay thế AB 2.2.1 Biểu thức năng lượng tự do của hợp kim Biểu thức năng lượng tự do thu được phải cho biết các thông tin đầy đủ về tính chất nhiệt động và trạng thái của hợp kim 28 Xét mô hình hợp kim thay thế AB trong đó khi trật tự xuất hiện 2 nút thì nút loại a... đó v0 và a0 là giá trị của v và a ở 0oK; P0  P 0 (2.38) ; 0 là thông số trật tự xa cân bằng của hợp kim ở trạng thái hoàn toàn trật tự Thông số mạng của hợp kim được xác định bởi công thức: a  a 0  cA y A  cB y B , (2.39) 30 trong đó y    A,B là độ dời trung bình của nguyên tử α khỏi vị trí cân bằng trong kim loại α, được xác định bởi (2.23); a0 được xác định từ phương trình trạng thái... tính, ta thu được biểu thức xác định nhiệt độ trật tự T0: kT0      z 1 ln 1  2   z cA 1  c A     (1.52) 17 CHƢƠNG 2 NĂNG LƢỢNG TỰ DO VÀ CÁC THÔNG SỐ TRẬT TỰ CẢ HỢP KIM THAY THẾ AB 2.1 Momen và các biểu thức nhiệt động của tinh thế một loại nguyên tử 2.1.1 Momen Giả sử có một tập hợp các biến số ngẫu nhiên Q1,Q1, ,Qn tuân theo định luật thống kê, được mô tả bởi hàm phân bố  Q1,Q2 , ,Qn... điều kiện cân bằng   0 , ta tìm được phương trình xác định  :  3     cA   cB   4 4  4 ln   3    kT   cA   cB   4  4  (2.44) Nhiệt độ chuyển trật tự - không trật tự T0 được xác định từ hệ phương trình: 32  0  0   (2.45)   0    0 Giải bằng số hệ phương trình (2.45) đối với hợp kim Cu3Au thu được kết quả: kT0  0,82 và 0  0,46 Từ các phương trình... momen cấp m đối với hệ lượng tử của đại lượng Q được ˆ mô tả bởi toán tử thống kê  trong vật lý thống kê như sau:  ˆ Qm  Tr Qm Hay: Q  Q  m   Tr  Q  Q  m    (2.1a) ˆ Toán tử  tuân theo phương trình Liouvile lượng tử: i ˆ  ˆ ˆ   H,    t trong đó […,…] là dấu ngoặc Poisson lượng tử ˆ Như vậy, nếu biết toán tử thống kê  thì có thể tìm được momen Tuy nhiên việc tính toán các momen . trật tự của hợp kim β - CuZn. - Áp dụng tính số. 4. Đối tƣợng nghiên cứu Hợp kim β - CuZn, các tính chất nhiệt động và tính trật tự của hợp kim β - CuZn. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Phương. thông số trật tự của hợp kim β - CuZn. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Xác định năng lượng tự do và biểu thức tính thông số mạng của hợp kim β - CuZn. - Xác định thông số trật tự và phương trình. nhiệt động của tinh thể một loại nguyên tử. Dựa trên cơ sở áp dụng phương pháp momen, tôi đưa ra đề tài Nghiên cứu lý thuyết trật tự của hợp kim β - CuZn bằng phương pháp thống kê momen .