Lý thuyết ổn định và ứng dụng

 3 MỞ ĐẦU  1. Lý do chọn đề tài Lýthuyếtổnđịnhlàmộtlýthuyếttoánhọccórấtnhiềuứngdụngtrong khoahọc,đặcbiệtvềkỹthuậtcơhọc.ĐãcónhiềunhàToánhọcnghiêncứu lýthuyếtổnđịnh,tuynhiênvẫnchỉbóhẹptrongviệcgiảiquyếtbàitoánxác địnhsựổnđịnhcũngnhưkhôngổnđịnh.A.M.Liapunovđãthiếtlậphàngloạt điềukiệnđủtổngquátchosựổnđịnhvàkhôngổnđịnhcủachuyểnđộng khôngcónhiễu,môtảbởihệphươngtrìnhviphânthôngthường.Đểđưavấn đềổnđịnhcủachuyểnđộngkhôngcónhiễuvềvấnđềổnđịnhcủavịtrícân bằng.VậndụnghàmLiapunovđốivớinhữnghệthốngđiềuchỉnhchophép đánhgiá:Sựthayđổicủacácđạilượngđiềuchỉnh,thờigianđiềuchỉnh,chất lượngđiềuchỉnhảnhhưởngcủanhữngnhiễuloạntácdụngthườngxuyên. Ngoài ra hàm Liapunov cho phép giải quyết vấn đề: ổn định “trong toàncục”tứclàđánhgiámiềnnhiễubanđầu,theothờigiankhôngvượtra ngoàigiớihạncủamộtmiềnchotrước. Chínhvìnhữnglýdo trên,tôichọnđềtài“lýthuyếtổnđịnhvàứng dụng”vớimongmuốnđượctìmhiểumộtcáchrõràngvàsâurộnghơnvềlý thuyếtổnđịnh,đặcbiệtlàvậndụnghàmliapunovtrongcáchệphươngtrình tuyếntínhvàhệphituyếncódạngđặcbiệt. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiêncứulýthuyếtổnđịnhtheonghĩaliapunovvàứngdụngvàohệ phươngtrìnhtuyếntính,hệphituyếncódạngđặcbiệt. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu -Trìnhbàyđịnhnghĩaổnđịnhtheonghĩaliapunov,cácđịnhlývềổn địnhvàkhôngổnđịnhcủaliapunov. -Đánhgiásựổnđịnhnghiệmcủacáchệphươngtrìnhtuyếntính.  4 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đềtàitậptrungnghiêncứulýthuyếtổnđịnhtheonghĩaliapunov(tức ổn định với những nhiễu ban đầu). Đánh giá nghiệm các hệ phương trình tuyếntính. 5. Phương pháp nghiên cứu Phươngphápđịnhtínhđánhgiáhệphươngtrìnhviphân. 6. Những đóng góp của luận văn Vậndụnghàmliapunovxétsựổnđịnhcủacáchệphươngtrìnhtuyến tính.                    5  CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1. Không gian véctơ  1.1.1. Định nghĩa không gian véctơ Chotậphợp V màcácphầntửđượckíhiệulà ; ; ;       vàtrường K  màcácphầntửđượckíhiệulà: , , , x y z giảsửtrên V có2phéptoán: Phéptoántrong,kíhiệu:  : ( , ) V V V               Phéptoánngoài,kíhiệu:  .: ( , ) . K V V x x         Thỏamãncáctínhchấtsau(cũngnóithỏamãncáctiênđềsau): vớimọi , , V        vàvớimọi , ,x y z K : 1)   ) ( )                   2)Có 0 V  saocho 0 0              3) ' V    saocho ' ' 0              kíhiệu ,        4)             5) ( ). . .x y x y           6) .( ) . .x x x             7) .( . ) ( . ).x y x y       8) 1.      trongđó1làphầntửđơnvịcủatrường K .  6 Khiđó V (cùngvới2phéptoánxácđịnhnhưtrên)gọilàmộtkhông gianvéctơtrên trường K ,hay K -khônggian véctơ,hayvắntắt làkhông gianvéctơ. Khi K   , V đượcgọilàkhônggianvéctơthực. Khi K   , V đượcgọilàkhônggianvéctơphức. Các phần tử của V  gọi là các véctơ, các phần tử của K  gọi là vô hướng. Phéptoán“+”gọilàphépcộngvéctơ,phéptoán“.”gọilàphépnhân véctơvớivôhướng. Đểchogọndấu “.”nhiềukhilượcbỏ,thay .x   taviết x   . Bốntiênđềđầutiênchứngtỏ V làmộtnhómgiaohoánđốivớiphép cộngvéctơ.Cáctiênđề5,6và7theothứtựnóilênrằngphépnhânvéctơvới vôhướngcótínhchấtphânphốiđốivớiphépcộngvôhướng,phânphốiđối vớiphépcộngvéctơvàcótínhchấtkếthợp. 1.1.2. Ví dụ về không gian véctơ a)Tậphợpcácvéctơ(“tựdo”)trongkhônggian 2 3 , ,   vớicácphép toáncộngvànhânvéctơvớimộtsốthựclàmộtkhônggianvéctơthực. b)Tập   K x cácđathức(mộtbiến)vớihệsốthuộctrường K vớiphép cộngđathứcvànhânđathứcvớimộtphầntửthuộctrường K làmột K - khônggianvéctơ. c)Tậpsốphức  vớiphépcộngsốphứcvànhânsốphứclàmột  - khônggianvéctơ.Trongkhiđó  cùngvớiphépcộngsốphứcvànhânsố phứcvớimộtsốthựclà  -khônggianvéctơ. d)Tập  cácsốthựcvớiphépcộngsốthựcvànhânsốthựcvớisốhữu tỷlàmột  -khônggianvéctơ. e)Trongnhómcộngcácmatrậncỡ ( )m n trêntrường K tađưavào phépnhânvớivôhướngsau,với:  7     ( ) 1, ; 1, ij A a i m j n    thì ij ( )kA ka  Dễthửthấyđólàmột K -khônggianvéctơ. 1.2. Dạng toàn phương 1.2.1. Định nghĩa Giảsử :V V       ( , ) ( , )            làdạngsongtuyếntínhđốixứngtrên  -khônggianvéctơ V . Ánhxạ(tứchàmsố)   : ( ) ( , ) H V H               gọilàdạngtoànphươngtrên V ứngvớidạngsongtuyếntínhđốixứng  . Chú ý:Nếuchotrướcdạngtoànphương H trên  -khônggianvéctơ V  thì dạng song tuyến tính đối xứng   trên V  nhận H  làm dạng toàn phươngtươngứnglàhoàntoànxácđịnh:     1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 H H H                           đượcgọilàdạngcựccủadạngtoànphương H . 1.2.2. Biểu thức tọa độ Biểuthứctọađộcủadạngtoànphương H ứngvới  códạng:  ij , 1 ( ) . . n i j i j H a x x       vớimọi 1 2 ( , , , ) . n x x x V      MatrậnA= ij ( )a cũngđượcgọilàmatrậncủadạngtoànphương H .  8 1.2.3. Biểu thức tọa độ dạng chính tắc của một dạng toàn phương Nếutrong  -khônggianvéctơ V cócơsở 1 2 ( , , , ), n       trongđó ( , ) 0 i j        với mọi i j  thì trong cơ sở đó ma trận ij ij ( ), ( , ) i j A a a        ,códạngchéo. Dạngtoànphương H ứngvớidạngsongtuyếntínhđốixứng  trên V  trongcơsởđócóbiểuthứctọađộdạng: 2 ij 1 ; . n i i i i a x a a     Cơsởđógọilà  -trựcgiaocủa V haygọitắtlàcơsởtrựcgiaocủa V  khi  đãrõ.Biểuthứcđógọilàbiểuthứctọađộdạngchínhtắccủa H . 1.3. Phương trình vi phân 1.3.1. Định nghĩa phương trình vi phân cấp một Phươngtrìnhviphâncấpmộtcódạngtổngquát:   ( , , ) 0 F x y y   (1.1) trongđóhàm F xácđịnhtrongmiền 3 D   . Nếutrongmiền D ,từphươngtrình(1.1)tacóthểgiảithíchđược y  :    ( , )y f x y   (1.2) thìtađượcphươngtrìnhviphâncấpmộtđãgiảirađạohàm. Hàm ( )y x   xácđịnhvà khảvitrênkhoảng ( , )I a b đượcgọilà nghiệmcủaphươngtrình(1.1)nếu: a) ( , ( ), ( )) x x x D     vớimọi x I . b) ( , ( ), ( )) 0 F x x x     trên I .  Ví dụ 1:Phươngtrình:   2 dy y dx   cónghiệmlàhàm 2x y ce xácđịnhtrênkhoảng ( ; )  (với c làhằngsố tùyý).  9  Ví dụ 2:Phươngtrình:   2 1 y y    (1.3) cónghiệmlàhàm tanxy  xácđịnhtrênkhoảng ( ; ) 2 2    .Cóthểkiểmtra trựctiếphàm   tan x c y   vớimỗihằngsố c cốđịnhcũnglànghiệmcủa phươngtrình(1.3)trênkhoảngxácđịnhtươngứng. 1.3.2. Định nghĩa phương trình vi phân cấp cao Phươngtrìnhviphâncấp n códạngtổngquát:   ( ) ( , , , , ) 0 n F x y y y     (1.4) Hàm F  xác định trong một miền G  nào đấy của không gian 2 n   . Trong phương trình (1.4) có thể vắng mặt một số trong các biến: ( 1) , , , , n x y y y   nhưng ( )n y nhấtthiếtphảicómặt. Nếutừ(1.4)tagiảirađượcđạohàmcấpcaonhất,tứclàphươngtrình (1.4)códạng:    ( ) ( 1) ( , , , , ) n n y F x y y y     (1.5) thìtađượcgọiphươngtrìnhviphâncấp n đãgiảirađốivớiđạohàmcấpcao nhất. Nghiệm của phương trình (1.4) là hàm ( )y x    khả vi n  lần trên khoảng ( , )a b saocho:  a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , , , ) n x x x x G      vớimọi ( , )x a b .  b)Nólànghiệmđúngcủaphươngtrình(1.4)trên ( , ).a b  Ví dụ 1:Phươngtrình:     4 0 y y     cónghiệmtổngquátlà 2 2 ( ) 1 2 . . x x x c e c e     trongđó 1 2 ,c c làcáchằngsốbất kỳ.  10 Ví dụ 2:Phươngtrình:   2 0 xyy xy yy        cónghiệmtổngquátlà:   2 1 2 . y c x c  ,trongđó 1 2 ,c c làhaihằngsốbấtkỳ. 1.3.3. Định nghĩa phương trình vi phân tuyến tính cấp n Phươngtrìnhviphântuyếntínhcấp n códạngtổngquátlà:  ( ) ( 1) 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n a x y a x y a x y g x      . (1.6) Nhưvậyởđây hàm F trongđịnhnghĩadạngtổngquátcủaphương trìnhviphâncấpcaophụthuộcmộtcáchtuyếntínhtheo ( ) , , , n y y y  .Tagiả thiết các hàm 0 1 ( ); ( ); ; ( ), ( ) n a x a x a x g x  liên tục trên khoảng ( , )a b  và 0 ( ) 0 a x  trên ( , )a b . Khiđóchiahaivếcủaphươngtrình(1.1)cho 0 ( )a x tađượcphươngtrình:  ( ) ( 1) 1 ( ). ( ). ( ) n n n y p x y p x y f x       (1.7) trongđó:   0 0 ( ) ( ) ( ) ; ( ) ; ( 1,2, , ) ( ) ( ) i i a x g x p x f x i n a x a x     lànhữnghàmsốliêntụctrênkhoảng ( , )a b . Nếutrongphươngtrình(1.7)hàm ( ) 0f x  tứclàtacóphươngtrình:  ( ) ( 1) 1 ( ) ( ) 0 n n n y p x y p x y        (1.8) thìnóđượcgọilàphươngtrìnhtuyếntínhthuầnnhấtcấp n bấygiờphương trình(1.7)đượcgọilàphươngtrìnhtuyếntínhkhôngthuầnnhấtcấp n . 1.4. Hệ phương trình vi phân 1.4.1. Định nghĩa Hệ n phươngtrìnhviphâncấpmộtdạngchuẩntắclàhệphươngtrình sau:  11    1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ( , , , , ) ( , , , , ) ( , , , , ) n n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx                 (1.9) Ởđây x làbiếnsốđộclập 1 1 2 2 ( ); ( ); ; ( ) n n y y x y y x y y x   làcác hàm phảitìm. Cáchàm ( 1,2, , ) i f i n  xác định trong miền G  của không gian 1n  chiều 1n  . Hệ n  hàm khả vi 1 1 2 2 ( ); ( ); ; ( ) n n y x y x y x        xác định trên khoảng ( , )a b đượcgọilànghiệmcủahệ(1.9)nếuvới mọi ( , )x a b điểm 1 2 ( , ( ), ( ), , ( )) n x x x x G      và khi thay chúng vào hệ (1.9) thì ta được n  đồngnhấtthứctheo x trên ( , )a b . Tậphợpđiểm:     1 2 ( , ( ), ( ), , ( )), ( , ) n x x x x x a b        đượcgọilàđườngcongtíchphânứngvớinghiệm 1 2 ( ), ( ); , ( ) n x x x    hiển nhiên 1n    . Bâygiờtacoi 1 2 ( , , , ) n y y y nhưtọađộcủamỗiđiểmtrongkhônggian n chiều n  màtagọilàkhônggianpha.Khiđótậphợpđiểm:   1 2 ( ( ), ( ), , ( )), ( , ) n x x x x a b        đượcgọilàđườngcongphahayquỹđạopha.Hiểnnhiênđườngcongpha chứatrongkhônggianpha.Khônggian 1n  thườngđượcgọilàkhônggian phasuyrộng.Đườngcongtíchphânchứatrongkhônggianphasuyrộng. 1.4.2. Ý nghĩa cơ học Tacoi t làbiếnđộclập, 1 2 , , , n x x x làtọađộcủamộtđiểmtrongkhông gianpha n  .Khiđóhệphươngtrìnhviphâncấpmột:  12 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ( , , , , ) ( , , , , ) ( , , , , ) n n n n n dx F t x x x dt dx F t x x x dt dx F t x x x dt                   (1.10) làhệphươngtrìnhchuyểnđộngcủamộtđiểmtrongkhônggianpha n  mà:   1 2 ; ; ; n dx dx dx dt dt dt        làvéctơvậntốccủađiểmđó.Tạimỗiđiểm M củakhônggianphavéctơvận tốcthayđổitheothờigiannêntanóihệ(1.10)xácđịnhmộttrườngvậntốc khôngdừng.Nếukíhiệu X làvéctơ 1 2 ( , , , ) n x x x , F làvéctơ( 1 2 , , , n F F F ) thìhệ(1.10)đượcviếtdướidạng ( , ) dX F t X dt  . Taxéttrườnghợpđặcbiệtcủahệ(1.10)khicác vế phảikhôngphụ thuộcvào t : 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) n n n n n dx F x x x dt dx F x x x dt dx F x x x dt                  (1.11) Đốivớihệ(1.11)véctơvậntốctạimỗiđiểm M khôngthayđổitheo thờigian.Tanóirằnghệ(1.11)xácđịnhmộttrườngvậntốcdừngvàgọinólà hệô-tô-nômhayhệdừng. 1.5. Tiêu chuẩn Hurwitz 1.5.1. Một số khái niệm cần thiết  Xétđathức: [...]...  c và do đó  mặt  v  c  sẽ nằm bên trong hình cầu này.  Định lí 2.4.1 (Về sự ổn định tiệm cận trong toàn cục):  Nếu  có tồn  tại  một  hàm  v   vô  cùng lớn,  xác  định dương,  có đạo hàm  xác định âm trong toàn bộ không gian thì nghiệm không của hệ ổn định tiệm  cận với bất kỳ nhiễu loạn ban đầu.     Định lý này có định lý đảo và một trường hợp riêng của định lý tổng  quát hơn dưới đây.    Định. .. và theo bổ đề 1 cũng sẽ là xác định âm. Từ định lý Liapunov về sự ổn định tiệm cận ta suy ra có sự ổn định tiệm cận.  Định lý 3.2.2: (Định lý về sự không ổn định theo xấp xỉ thứ nhất): Nếu  trong số các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ xấp xỉ thứ nhất có dù  chỉ một nghiệm với phần thực dương thì nghiệm không của hệ (3.9) không ổn định.   Ta có tồn tại một dạng toàn phương  v , thừa nhận những giá trị dương và thỏa ... có  các  tính  chất  đã  nói  ở  trên  gọi  là  hàm  Liapunov 2.3 Định lý về sự ổn định và không ổn định của Liapunov  2.3.1 Định lý của Liapunov về sự ổn định Xét hệ phương trình vi phân:      dxi  X i ( x1 , , xn ); i  1,2, , n  .                                             (2.4)  dt Vế  phải  X i  x1 ,., x n  của nó  liên tục và thỏa  mãn điều  kiện  lipschitz  trong một  miền  D  nào đó của không gian pha, bao gồm điểm ... tuyến tính): Nếu như nghiệm không của hệ tuyến tính ổn định tiệm cận theo  nghĩa Liapunov thì nó ổn định trong toàn cục.    25 Thật vậy, nghiệm không sẽ ổn định tiệm cận theo nghĩa Liapunov chỉ khi  tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âm. Đối với bất kỳ  dạng toàn phương xác định âm    đều có thể chỉ ra một dạng xác định dương  v    sao cho ta có  v    Vì dạng  v  là một vô cùng lớn nên ta có thể áp dụng định lý 2.4.1. ...   Định lý 3.2.1 : (Định lý về sự ổn định theo xấp xỉ thứ nhất):  Nếu các  nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ xấp xỉ thứ nhất có phần thực âm  thì nghiệm không của hệ (3.9) ổn định tiệm cận.  Thực vậy,  tồn tại  một  dạng toàn phương xác định dương  v ,  đạo hàm  của nó lấy theo hệ (3.10) bằng   r 2  Đạo hàm của hàm  v  dựa vào hệ (3.9) có  dạng:      n dv v  r 2   Xi   dt i 1 xi và theo bổ đề 1 cũng sẽ là xác định âm. Từ định lý Liapunov về sự ổn định ... điều kiện của định lý M  không chứa những quỹ đạo nguyên vẹn do đó giả  thiết  v  0  dẫn đến mâu thuẫn. Định lý được chứng minh.  Bây giờ chú ý rằng nếu tập  M  chứa những quỹ đạo nguyên vẹn thì từ  chứng minh của định lý ta suy rằng tất cả các quỹ đạo của hệ (2.8) đều co về  một tập hợp nào đó nằm trong  M  Tập hợp này là bất biến tức là lập nên từ  những quỹ đạo nguyên vẹn.  Định lí 2.4.3: (Về sự ổn định trong toàn cục của nghiệm không của hệ ... Trong đó  Pj (t )  là ma trận đa thức. Từ đó do  Re  j  0 ta có:      lim Y (t )  0   t    37 và do đó hệ (3.18) ổn định tiệm cận.  b) Bây giờ ta chứng minh điều kiện cần:   Giả  sử  hệ  (3.18)  ổn định tiệm  cận.  Khi  đó  hệ  này  sẽ  ổn định theo  Liapunov khi  t   và do đó theo định lý 3.3.1 ta có:  Re  j  0 ( j  1,2, , m)                              (3.20)  Giả sử tồn tại ít nhất một nghiệm đặc trưng ... gian là một hàm xác định dấu và sao cho trong một lân cận bất kỳ của điểm 0,   v  không phải là một hàm không đổi dấu và trái dấu với  v  thì nghiệm không  của hệ (2.4) không ổn định.   Chứng minh:       Giả sử trong hình cầu  J   các điều kiện của định lí được thỏa mãn. Để   xác định ta giả sử rằng  v  là hàm xác định dương, xét trong lân cận khá bé  J    của điểm 0. Ta hãy chứng tỏ rằng có tồn tại một điểm ... (0,,0)  0 và   1 n     n  X ( x1 ,, xn )  M   xi2    i 1  i 1  2 1 2 ,                                       (3.11)    31 trong đó    0  còn  M  là một hằng số dương.  Hệ (3.10) được gọi là hệ xấp xỉ thứ nhất Ta đặt bài toán tìm điều kiện để khi chúng được thỏa mãn thì từ sự ổn định hoặc không ổn định của hệ xấp xỉ thứ nhất ta suy ra một cách tương ứng sự ổn định hoặc không ổn định của nghiệm không của hệ (3.9). ... này có nghĩa là điểm  f ( p, t )  vượt ra khỏi miền  J    2.4 Sự ổn định trong toàn cục  Xét hệ:      dx  X ( x)      dt                                                       (2.8)  với điều kiện  X (0)  0     Định nghĩa : Nghiệm không của hệ (2.8) gọi là ổn định trong toàn cục  (hay là ổn định với bất kỳ nhiễu loạn ban đầu)  nếu  nó  ổn định theo  nghĩa    23 Liapunov và nếu mọi nghiệm  x (t )  khác của hệ đều có tính chất    . “trong toàncục”tứclàđánhgiámiềnnhiễubanđầu,theothờigiankhôngvượtra ngoàigiớihạncủamộtmiềnchotrước. Chínhvìnhững lý do trên,tôichọnđềtài lý thuyết ổn định và ứng dụng vớimongmuốnđượctìmhiểumộtcáchrõràng và sâurộnghơnvề lý thuyết ổn định, đặcbiệtlàvận dụng hàmliapunovtrongcáchệphươngtrình tuyếntính và hệphituyếncódạngđặcbiệt. 2  1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết ổn định làmột lý thuyết toánhọccórấtnhiều ứng dụng trong khoahọc,đặcbiệtvềkỹthuậtcơhọc.ĐãcónhiềunhàToánhọcnghiêncứu lý thuyết ổn định, tuynhiênvẫnchỉbóhẹptrongviệcgiảiquyếtbàitoánxác định sự ổn định cũngnhưkhông ổn định. A.M.Liapunovđãthiếtlậphàngloạt điềukiệnđủtổngquátchosự ổn định và không ổn định củachuyểnđộng khôngcónhiễu,môtảbởihệphươngtrìnhviphânthôngthường.Đểđưavấn đề ổn định củachuyểnđộngkhôngcónhiễuvềvấnđề ổn định củavịtrícân bằng.Vận dụng hàmLiapunovđốivớinhữnghệthốngđiềuchỉnhchophép đánhgiá:Sựthayđổicủacácđạilượngđiềuchỉnh,thờigianđiềuchỉnh,chất lượngđiềuchỉnhảnhhưởngcủanhữngnhiễuloạntác dụng thườngxuyên. Ngoài. -Trìnhbày định nghĩa ổn định theonghĩaliapunov,các định lý về ổn định và không ổn định củaliapunov. -Đánhgiásự ổn định nghiệmcủacáchệphươngtrìnhtuyếntính.  4 4. Đối tượng và phạm