Môđun con bé và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ HIỀN MÔĐUN CON BÉ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ HIỀN MÔĐUN CON BÉ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. NGÔ SỸ TÙNG NGHỆ AN - 2014 MỤC LỤC Trang 4 4 CÁC KÝ HIỆU M R : R môđun phải M m A M ⊆ : A là môđun con của môđun M * A M ⊆ : A là môđun con cốt yếu của môđun M ⊕ : Tổng trực tiếp các môđun A M ⊕ ⊆ : A là hạng tử trực tiếp của môđun M ( ) E M : Bao nội xạ của môđun M Im f : Ảnh của đồng cấu f Kerf : Hạt nhân của đồng cấu f 5 5 MỞ ĐẦU Cho môđun M , môđun con A của M được gọi là môđun con bé trong M , kí hiệu A M << nếu với mọi X là môđun con thực sự của M thì A X M + ≠ . Môđun con bé là một trong những lớp môđun đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết vành và môđun.Trong lý thuyết môđun, môđun con bé được ứng dụng để nghiên cứu lớp môđun xạ ảnh và mở rộng. Luận văn của chúng tôi chủ yếu dựa vào tài liệu [6] để tìm hiểu về các tính chất của môđun con bé. Mục đích chính của luận văn này là trình bày một cách chi tiết một số tính chất của môđun con bé và ứng dụng của chúng trong việc đặc trưng một số lớp vành. Chúng ta nhớ lại rằng : “Mỗi môđun con đóng U của một môđun xạ ảnh P trên một QF-vành là một hạng tử trực tiếp nội xạ của P ”. Do đó, U là môđun không bé. Từ đó một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là vành R như thế nào nếu mọi môđun con đóng của mỗi R - môđun phải xạ ảnh P là không bé ? Trong luận văn này, chúng tôi trình bày về một phần của câu hỏi đó. Vì vậy đề tài luận văn được chọn là: “Môđun con bé và ứng dụng”. Luận văn gồm 2 chương: Chương 1: Chúng tôi đưa ra những định nghĩa và một số kết quả cơ bản liên quan đến luận văn: Môđun con cốt yếu và các lớp i C môđun. 6 6 Chương 2: Bao gồm hai phần chính: Trong phần 1 của chương này chúng tôi trình bày về các tính chất của môđun con bé. Trong phần 2 chúng tôi trình bày một số đặc trưng của vành nửa hoàn chỉnh. Kết quả của luận văn là quá trình tìm hiểu và nghiên cứu, sắp xếp có hệ thống các kết quả trong các tài liệu tham khảo. Luận văn hoàn thành tại trường Đ.H.Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng, người đã dẫn dắt và dạy dỗ tận tình, thường xuyên dành cho tôi sự động viên nhiệt tình trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Nhân dịp này tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Sư phạmToán học - Trường Đại học Vinh đã dành thời gian giảng dạy nhiệt tình, truyền đạt những kiến thức bổ ích cho tôi. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã động viên tôi. Trong suốt qua trình học tập, nghiên cứu, mặc dù đã cố gắng, nỗ lực nhưng do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn còn có nhiều thiếu sót. Kính mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện. Tôi xin chân thành cảm ơn! 7 7 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong toàn bộ luận văn, tất cả các vành R đều giả thiết là vành có đơn vị, kí hiệu là 1 và các môđun là R- môđun phải unita (nếu không nói gì thêm). Chương này chúng tôi hệ thống một số kiến thức cơ sở để phục vụ việc chứng minh cho chương sau. Giả sử Λ là một tập hợp tùy ý, ( ) M Λ ký hiệu cho tổng trực tiếp và M Λ cho tích trực tiếp các bản sao của M . Ta viết , R R R R để chỉ R -môđun phải R và R -môđun trái R . 1.1. Môđun con cốt yếu 1.1.1. Định nghĩa Cho môđun M và m A M ⊆ . Môđun A được gọi là môđun con cốt yếu trong M nếu với mọi môđun 0X ≠ và m X M ⊆ thì 0A X ∩ ≠ . Kí hiệu * A M ⊆ (hay e A M ⊆ ). Nếu A là môđun con cốt yếu của M thì ta nói rằng M là mở rộng cốt yếu của A . 1.1.2. Ví dụ Cho M là R − môđun. Ta luôn có * M M⊆ . 8 8 Với ¢ là − ¢ môđun. Mỗi iđêan khác không của ¢ đều cốt yếu vì với ,a b¢ ¢ khác không ta đều có 0 ab a b≠ ∈ ∩¢ ¢ . 1.1.3. Tính chất i) Cho m A M ⊆ thì * A M ⊆ ⇔ với mọi 0,x x M ≠ ∈ thì 0 x A R ∩ ≠ . ii) Cho m m A K M ⊆ ⊆ , khi đó * * A M A K ⊆ ⇔ ⊆ và * K M ⊆ . iii) Cho :f M N → là đồng cấu R − môđun và B M ⊆ . Nếu * B M ⊆ thì 1 * ( )f B M − ⊆ . Điều ngược lại không đúng. iv) Giả sử , i i A B là các môđun con của M và * , 1, i i A B i n ⊆ = . Khi đó * 1 1 n n i i i i A B = = ⊆ I I , nếu tập chỉ số vô hạn không đúng. v) Cho m m A K M ⊆ ⊆ và * / /K A M A ⊆ . Khi đó * K M⊆ . vi) Cho m m i i A M M ⊆ ⊆ và * , i i A M i I ⊆ ∈ . Nếu tồn tại i I M ⊕ và * i i I I A M ⊕ ⊆ ⊕ . Chứng minh. i) Điều kiện cần: hiển nhiên. Điều kiện đủ: ta có 0,x x M ≠ ∈ , thì với mọi môđun m B M ⊆ ta chứng minh A B φ ∩ ≠ . Lấy , 0x B x ∈ ≠ , xét { } /x R x rx r R B < >= = ∈ ⊆ . Theo giả thiết ta có: 0A R x ∩ ≠ nên với mọi m B M ⊆ ta luôn có A B φ ∩ ≠ 9 9 ii) Giả sử * A M ⊆ lấy môđun con X bất kì của K mà 0A X ∩ = . Do m X K ⊆ nên m X M ⊆ và * A M ⊆ nên 0X = . Vậy * A K ⊆ . Tương tự ta lấy môđun con Y bất kì của M mà 0K Y ∩ = do * A K ⊆ nên 0A Y ∩ = và * A M ⊆ nên 0Y = . Vậy * K M⊆ . Ngược lại, nếu * A K ⊆ và * K M⊆ thì với môđun con X bất kì của M mà 0A X ∩ = . Đặt B K X = ∩ , ta có A B A K X A X φ ∩ = ∩ ∩ = ∩ = . Do * A K ⊆ nên 0B = và * K M⊆ nên 0X = , suy ra 0K X ∩ = . Vậy * A M ⊆ . iii) Với mọi C M ⊆ , 0C ≠ , ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: ( )f C M ⊆ suy ra ( ) 0f C B ∩ ≠ (vì * B M ⊆ ), do đó tồn tại ( ) , 0y f C B y ∈ ∩ ≠ . Khi đó tồn tại x C ∈ sao cho ( ), 0y f x x = ≠ (vì 0y ≠ ) và 1 ( )x f B − ∈ , suy ra 1 ( ) 0C f B − ∩ ≠ . Trường hợp 2: ( ) 0f C = suy ra 1 ( ).C f B − ∈ . Vì với mọi x C ∈ nên ta có ( ) 0f x B = ⊆ suy ra 1 ( )x f B − ∈ . iv) Sử dụng quy nạp ta chỉ cần chứng minh với 2n = . 10 10 [...]... nào đó, thế là một môđun bé (ii) Giả sử M là một môđun con bé khác không của một môđun M là một môđun địa phương sao cho các môđun con đóng của là không bé Khi đó M là một môđun đều 26 (iii) Giả sử A nếu và chỉ nếu B và B là các môđun đẳng cấu với nhau Khi đó A là môđun bé là môđun bé Chứng minh Ta nhắc lại rằng một môđun M chỉ có duy nhất một môđun con tối đại chứa tất cả các môđun con thực sự của M,... Một vành R được gọi là nửa hoàn chỉnh nếu mọi R -môđun phải hữu hạn sinh đều có bao xạ ảnh (4) Một vành R được gọi là hoàn chỉnh phải nếu mọi bao xạ ảnh 18 18 R -môđun phải đều có CHƯƠNG 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN CON BÉ 2.1 Môđun con bé 2.1.1 Định nghĩa M Cho môđun i) Một môđun con M và ký hiệu B+L ≠M R B của môđun B . DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ HIỀN MÔĐUN CON BÉ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ HIỀN MÔĐUN CON BÉ VÀ ỨNG. là môđun con thực sự của M thì A X M + ≠ . Môđun con bé là một trong những lớp môđun đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết vành và môđun. Trong lý thuyết môđun, môđun con bé. số tính chất của môđun con bé và ứng dụng của chúng trong việc đặc trưng một số lớp vành. Chúng ta nhớ lại rằng : “Mỗi môđun con đóng U của một môđun xạ ảnh P trên một QF-vành là một hạng