Dạng tuyến tính rưỡi và dạng hermite

 KHOA TOÁN       Th.S   - 2014 Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy Nguyễn Thúy Ngân K36 – CN Toán  Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Th.S  Thúy- ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ hình và các thầy cô trong khoa Toán trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành tốt đề tài khóa luận tốt nghiệp này. Dù đã hết sức cố gắng, nhƣng do đây là lần đầu tiên làm quen với việc nghiên cứu khoa học và do năng lực còn hạn chế nên khó tránh khỏi những sai sót. Em mong nhận đƣợc sự chỉ bảo, đóng góp của quý thầy cô để cho bài khóa luận tốt nghiệp đƣợc tốt hơn.  Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên thực hiện  Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy Nguyễn Thúy Ngân K36 – CN Toán  Sau một thời gian nghiên cứu với sự cố gắng, nỗ lực của bản thân cùng sự hƣớng dẫn tận tình chỉ bảo của cô giáo  Thúy em đã hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình. Em xin cam đoan đề tài khóa luận tốt nghiệp là do bản thân nghiên cứu với sự hƣớng dẫn của cô giáo  không hề trùng với bất cứ đề tài nào. Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên thực hiện  Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy Nguyễn Thúy Ngân K36 – CN Toán   6 1. Lí do chọn đề tài 6 2. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu 6 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 6 4. Mục đích nghiên cứu 6 5. Phƣơng pháp nghiên cứu 6 6. Cấu trúc luận 6  7 CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 7 1.1. Số phức 7 1.1.1. Định nghĩa số phức 7 1.1.2. Biểu diễn hình học các số phức 7 1.1.3. Các phép toán trên số phức 8 1.1.4. Dạng lượng giác của các số phức 9 1.2. Không gian vectơ 12 1.2.1. Định nghĩa không gian vectơ 12 1.2.2. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 13 1.2.3. Không gian vectơ con 14 1.3. Ma trận 14 1.4. Ánh xạ tuyến tính 17 1.4.1. Định nghĩa 17 1.4.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính 17 1.5. Bài tập 19 CHƢƠNG 2: DẠNG TUYẾN TÍNH RƢỠI VÀ DẠNG HERMITE 24 2.1. Các định nghĩa và ví dụ 24 Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy Nguyễn Thúy Ngân K36 – CN Toán 2.2. Tính trực giao theo một dạng tuyến tính Hermite 27 2.3. Ma trận hermite 31 2.3.1. Chuyển vị liên hợp 31 2.3.2. Chuyển vị liên hợp theo khối 32 2.3.3. Ma trận hermite 33 2.3.4. Ma trận của một dạng tuyến tính rưỡi Hermite trong một cơ sở 35 2.3.5. Cơ sở  - trực giao 38 2.4. Phân loại các dạng Hermite trên không gian vectơ có số chiều hữu hạn 40 2.5. Phân tích Gauss của một dạng Hermite 41 1.5.1. Trường hợp n=2 41 1.5.2. Trường hợp n  3 42 2.6 Bài tập chƣơng 2 46  53  54 Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy Nguyễn Thúy Ngân 6 K36 – CN Toán U 1.  Có thể nói rằng Đại số tuyến tính là một môn học khá quan trọng đối với mỗi sinh viên ngành toán, là môn học nghiên cứu về các không gian vectơ, ma trận, định thức, hệ phƣơng trình tuyến tính… Và nó là môn cơ sở giúp chúng ta học tốt hơn những môn học nhƣ là: hình học afin, hình học euclide, hình học xạ ảnh, giải tích hàm… Ngoài ra, nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học khác. Chúng ta có thể tìm hiểu, mở rộng, nghiên cứu sâu hơn về Đại số tuyến tính. Và với sự say mê yêu thích môn học này cùng với sự hƣớng dẫn của  , em đã mạnh dạn chọn đề tài   - DH làm đề tài khóa luận tốt nghiệp đại học cho mình. 2.   Đối tƣợng: Dạng tuyến tính rƣỡi- Dạng Hermite. Phạm vi: những kiến thức liên quan tới Dạng tuyến tính rƣỡi- Dạng Hermite. 3.  Nghiên cứu Dạng tuyến tính rƣỡi- Dạng Hermite. 4.   Nghiên cứu Dạng tuyến tính rƣỡi- Dạng Hermite để cung cấp kiến thức cơ bản cho việc tiếp thu và học các môn hình học tiếp theo và một số môn thuộc bộ môn giải tích trong chƣơng trình đại học. 5.  Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, internet và tài liệu liên quan.  Chƣơng 1: Cơ sở lí thuyết Chƣơng 2: Dạng tuyến tính rƣỡi – Dạng Hermite Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy Nguyễn Thúy Ngân 7 K36 – CN Toán  :  1.1.  1.1.1. Định nghĩa số phức Mỗi biểu thức a bi   với ,ab , đƣợc gọi là số phức, trong đó a đƣợc gọi là phần tử thực của số phức  đƣợc kí hiệu là Re  , b đƣợc gọi là phần tử ảo của số phức  đƣợc kí hiệu là Im  , i đƣợc gọi là đơn vị ảo và 2 1i  . Tập hợp tất cả các số phức đƣợc kí hiệu là . Vì vậy,   ,a bi a b      và  . 1.1.2. Biểu diễn hình học các số phức Cho mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy. Ta cho mỗi số phức a bi   tƣơng ứng với một điểm M(a,b) có hoành độ a, tung độ b. Điểm M(a,b) đƣợc gọi là ảnh hay điểm biểu diễn số phức a bi   . Phép tƣơng ứng trên là một song ánh từ tập hợp các số phức trên mặt phẳng tọa độ. Vì thế, mặt phẳng tọa độ cùng với song ánh trên đƣợc gọi là mặt phẳng phức . M(a,b) O b a y x Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy Nguyễn Thúy Ngân 8 K36 – CN Toán Ta có nhận xét, trong mặt phẳng phức Số thực 0ai   đƣợc biểu diễn bằng các điểm trên trục Ox, do đó trục Ox đƣợc gọi là trục thực. Số thuần ảo 0bi bi đƣợc biểu diễn bằng các điểm trên trục Oy, do đó trục Oy đƣợc gọi là trục ảo. Ta đi đến hai khái niệm quan trọng: Cho số phức a bi   Số phức ''  đƣợc gọi là số đối của số phức  và viết ''   nếu ảnh của ''  đối xứng với ảnh của  qua gốc O. Vì thế, ta có '' a bi       . Số phức '''  đƣợc gọi là số phức liên hợp của số phức  và viết '''   nếu ảnh của ''  đối xứng với ảnh của  qua gốc Ox. Vì thế, ta có ''' .a bi     1.1.3. Các phép toán trên số phức Cho hai số phức ' ' ' ,a bi a bi      . Phép tổng, hiệu, tích, thƣơng các số phức     ' ' ' a a b b i       .       ' ' ' ' a a b b i             .     ' ' ' ' ' aa bb ab ab i      . 1 2 2 2 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' aa bb ab ab i a b a b          . Nghịch đảo của số phức ' ,  , ' 0   , kí hiệu 1 ' ' 1 hay    là số phức. 1 2 2 2 2 2 2 '' '' ' ' ' ' ' ' ' 11ab i a b a b a b           . Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy Nguyễn Thúy Ngân 9 K36 – CN Toán : Thực hiện các phép toán sau a)     a bi a bi   . c)    a bi a bi . b)     a bi a bi   . d) ( 0) a bi ab a bi     a)         2a bi a bi a a b b i a        . b)         2a bi a bi a a b b i bi        . c)        2 2 2 2 a bi a bi a b ab ba i a b         . d)   22 2 2 2 2 2 2 2 12a bi a b ab a bi i a bi a b a b a b          . 1.1.4. Dạng lượng giác của các số phức Trong mặt phẳng phức mỗi số phức a bi   đƣợc biểu diễn bởi một điểm duy nhất M(a,b). Khi 0   ta nhận đƣợc vectơ OM . Độ dài r= OM đƣợc gọi là môđun của số phức  và kí hiệu  . Góc định hƣớng   Ox,OM   tạo bởi tia Ox và vectơ OM đƣợc xác định sai kém một bội nguyên tùy ý của 2  . Góc  đƣợc gọi là acgumen của số phức  và kí hiệu là   Arg  . Ta có các hệ thức   rcos rsin r>0 a b          22 r= cos , sin = rr ab ab      r cos sini     (r>0) (1) Hệ thức (1) đƣợc gọi là dạng lƣợng giác của số phức  . Khi đó biểu thức a bi   đƣợc gọi là dạng đại số của số phức  . Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy Nguyễn Thúy Ngân 10 K36 – CN Toán Cho hai số phức ' ,  khác 0 viết dƣới dạng     '' r cos sin r cos sinii           Ta nhận đƣợc các hệ thức sau:             '' '' rr cos sin r cos sin r r cos sin r cos sin n nn i i ii                                   (với n là số nguyên dƣơng)   22 r cos sin 0,1,2 , 1 n n kk i n n n n kn                          Ứng với mỗi giá trị của k ta kí hiệu n  là k  . Căn bậc n của mỗi số phức 0   có đúng n giá trị khác nhau; đặc biệt, mỗi số phức 0   đều có hai căn bậc 2, đó là hai phức đối nhau. Mọi đa thức bậc n với hệ số phức     1 0 1 1 0 0 nn nn P a a a a a             đều có đúng n nghiệm phức ( phân biệt hay trùng nhau). 1.1.4.1. Phép nâng lũy thừa của số phức Lũy thừa với số mũ n nguyên của số phức  , kí hiệu là n  , là số phức xác định nhƣ sau - Nếu n là số nguyên dƣơng thì . n     (n thừa số). - Nếu 0n thì 0 1   . - Nếu n là số nguyên âm và 0   thì 1 n n     . Để nâng lũy thừa bậc   * nn một số phức khác 0, a bi   có thể thực hiện nhƣ sau: [...]... rằng  là một Hermite khi và chỉ khi tồn tại một dạng tuyến tính Hermite  : E  E  sao cho  là dạng Hermite liên kết với  N ận xét Nếu  là một dạng Hermite trên E , thì : x  E, ( x)  Vì x  E, ( x)   ( x, x)  ( x, x)   ( x) nên  ( x)  2.2 Tín trự o t eo một ạn tu ến tín Herm te Cho E là một - không gian vectơ,  là một dạng tuyến tính rƣỡi Hermite trên E  E ,  là dạng Hermite liên... ) đƣợc gọi là phản Hermite khi và chỉ khi : A*   A Mện đề 3 Giả sử A Mn ( ) Ma trận A là một phản Hermite khi và chỉ khi iA là Hermite C ứn m n (iA)*  iA  iA*  iA  iA*  iA  A*   A 2.3.4 Ma trận của một dạng tuyến tính rưỡi Hermite trong một cơ sở Cho E là một -không gian vectơ có số chiều hữu hạn, n  dim(E)  1,  một dạng tuyến tính rƣỡi Hermite trên E  E,  dạng hermite liên kết với... Thị Kim Thúy ĩ 2 Một dạng tuyến tính rƣỡi  trên E  E đƣợc gọi là đố Địn n xứn Hermite khi và chỉ khi ( x, y)  E 2 ,( y, x)  ( x, y) đề 2 Để ánh xạ  : E  E  Mện là một dạng tuyến tính rƣỡi Hermite, điều kiện cần và đủ là (i) ( x, y)  E  E,( x, y)  ( y, x) (  là đối xứng hermite) (ii)   , ( x, y, y' )  E3, (x,  y  y' )  (x, y)  ( x, y' ) (  là tuyến tính đối với vị trí...  là tuyến tính đối với vị trí thứ hai) ĩ 3 Cho  một dạng tuyến tính rƣỡi Hermite trên E  E Ta Địn n gọi ánh xạ  từ E vào đƣợc xác định bởi  ( x)  ( x, x), x  E là ạn Hermite l n ết với  Ví ụ: Tí vô ƣ n Herm te ín tắ trên n  n đƣợc xác định bởi n  n x y (( x1, , xn ),( y1, , yn )) k 1 k k là một dạng tuyến tính rƣỡi Hermite và dạng Hermite liên kết là n  n  n x ( x1, , xn ) 2 k k 1... E,( x, y)  0 Ví ụ:  : 2  2  (( x1, x2 ),( y1, y2 )) và Ker    là một dạng tuyến tính rƣỡi Hermite x1 y1 0,1 Thât vậy, dễ thấy đây là phép biến đổi tuyến tính trong 2  x, y   Ker     x1 y1   0  Ker    0,1 Địn n ĩ 3 Một dạng tuyến tính rƣỡi Hermite  trên E  E đƣợc gọi là suy biến (tƣơng ứng không suy biến) khi và chỉ khi Ker()  0 (tƣơng ứng Ker()  0 ) Nguyễn Thúy... là biểu thức tọa độ của dạng tuyến tính rƣỡi Hermite  n  Tƣơng tự, ta cũng có  xk  akj x j   X * AX là biểu thức tọa độ k 1  j1  n của dạng Hermite Ví ụ: 1) Dạng hermite  2  x1x2  x2 x1 ( x1, x2 ) có ma trận ( trong cơ sở chính tắc của 2 ) là  0 1  0 1   x1   1 0  bởi vì x1x2  x2 x1  x1 x2  1 0   x      2    2) Gọi  là dạng tuyến tính rƣỡi Hermite trên (trong cơ... là một ánh xạ tuyến tính nếu       f  k   kf   f    f   f  Ánh xạ tuyến tính cũng còn đƣợc gọi là đồng cấu tuyến tính hay gọi là đồng cấu Tính chất  2) f      f   ,  V 3) f              f     f      f   1) f 0  0 1 1 2 2 m m 1 1 2 2 m m Ví ụ: Ánh xạ không  :V W là một ánh xạ tuyến tính   1.4.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Địn n ĩ... (2) Từ (1) và (2) suy ra f là phép biến đổi tuyến tính trong Ca,b Nguyễn Thúy Ngân 23 K36 – CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy CHƢƠNG 2: DẠNG TUYẾN TÍNH RƢỠI VÀ DẠNG HERMITE 2.1 Cá địn n ĩ v ví ụ Cho E là một Địn n -không gian vectơ ĩ 1 Ta gọi mọi ánh xạ  : E  E  thỏa mãn (i)   , ( x, x' , y)  E3 ,( x  x' , y)  ( x, y)  ( x' , y) (  là nửa tuyến tính so với... (3) và (4) suy ra  là tuyến tính so với vị trí thứ hai Do đó  là một dạng tuyến tính rƣỡi Hermite Dạng liên kết của  là n  n  n ( x1, , xn ) Thật vậy,  x1, , xn   n x k 1 2 k , ta có   x     x1, , xn  ,  x1, , xn    xk xk  xk n k 1 Nguyễn Thúy Ngân 26 n k 1 2 K36 – CN Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy Mện đề 3 Từ mệnh đề 1 ta suy ra Cho  là một dạng tuyến. ..  a  ij mn   amn  gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f :V W đối với cặp cơ sở  e và   B ểu t ứ tọ độ ủ án xạ tu ến tín   Cho f :V W là ánh xạ tuyến tính, có ma trận A  aij mn đối với cặp cơ sở e và   Nếu  V có tọa độ là  x1, , xn  trong cơ sở  e thì tọa độ của   vectơ f  W trong cơ sở   sẽ là  y1, , ym  tính bởi công thức n   yi   aij x j j 1   i  . tƣợng: Dạng tuyến tính rƣỡi- Dạng Hermite. Phạm vi: những kiến thức liên quan tới Dạng tuyến tính rƣỡi- Dạng Hermite. 3.  Nghiên cứu Dạng tuyến tính rƣỡi- Dạng Hermite. . 1.4. Ánh xạ tuyến tính 17 1.4.1. Định nghĩa 17 1.4.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính 17 1.5. Bài tập 19 CHƢƠNG 2: DẠNG TUYẾN TÍNH RƢỠI VÀ DẠNG HERMITE 24 2.1. Các định nghĩa và ví dụ 24 Trường. dạng tuyến tính rưỡi Hermite trong một cơ sở 35 2.3.5. Cơ sở  - trực giao 38 2.4. Phân loại các dạng Hermite trên không gian vectơ có số chiều hữu hạn 40 2.5. Phân tích Gauss của một dạng