Tài liệu ôn toán lớp 9, luyện thi vào lớp 10 trung học phổ thông tham khảo (27)

Trang 1

ÔN luyện thi vào TH - PT

 Rút gọn biểu thức chứa căn

Các hằng đẳng thức:1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

8) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc9)

Phạm Văn Hiệu

Trang 2

Bµi 2 Rót gän Bµi 3 Rót gän

Bµi 7 Rót gän

Ph¹m V¨n HiÖu

Trang 4

a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định.b) Rút gọn biểu thức với điều kiện trên.

Bài 8 Cho biểu thức:

a) Tìm điều kiện để Q xác định.b) Rút gọn Q.

a) Tìm điều kiện để B xác định.b) Rút gọn B.

a) Tìm điều kiện để C xác định.b) Rút gọn C.

3: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến.Bài 1 Cho biểu thức:

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của A khi x = - 5

Tính giá trị của biểu thức B tại x = 4

Trang 5

Tính giá trị của biểu thức C tại a = 1 và a =

Tính giá trị của biểu thức tại x =

3: Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức.Bài 1 Cho biểu thức:

Tính giá trị của x biết A = - 15

 Hàm số bậc nhất.

D.1.1: Chứng minh ba điểm thuộc đờng thẳng.

D.1.2: Tìm toạ độ của điểm khi biết điểm thuộc đờng

D.1.3: Tìm giá trị tham số khi biết điểm thuộc đờng

Dạng

D.2.1: Tìm giao điểm của hai đờng thẳng.

D.2.2: Tìm giá trị một tham số khi biết giao điểm của hai

Trang 6

3:

D.3.1: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua A(x1; y1); B(x2; y2) với x1 x2 ; y1 y2.

D.3.2: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm có

hoành độ bằng nhau và tung độ khác nhau.

D.3.3: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm có tung

độ bằng nhau và hoành độ khác nhau.

D.3.4: Tìm giá trị tham số để đờng thẳng đi qua 2 điểm.Dạng

D.5.1: Chứng minh ba đờng thẳng đồng qui.

D.5.2: Tìm giá trị tham số để ba đờng thẳng đồng qui.Dạng

D.6.1: Hai đờng thẳng song song.

D.6.2: Tìm giá trị tham số để hai đờng thẳng cắt nhau tại

một điểm trên trục tung.

D.6.3: Tìm giá trị tham số để hai đờng thẳng cắt nhau tại

một điểm trên trục hoành.

D.6.4: Hai đờng thẳng trùng nhau.Dạng

7: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua một điểm và song song với đờng thẳng cho trớc.

D.7.1: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua một điểm và

song song với đờng thẳng cho trớc.

D.7.2: Tìm giá trị của tham số để phơng trình đờng

thẳng đi qua một điểm và song song với đờng thẳng cho trớc.

Dạng

Trang 7

Trang 8

NhËn xÐt:

Bµi 7 Rót gän

Bµi lµm:

Rót gän Bµi lµm:

Trang 9

Bµi tËp vÒ nhµ:

Rót gän c¸c biÓu thøc sau:

2: Rót gän biÓu thøc cã ®iÒu kiÖn:Bµi 1 Rót gän biÓu thøc:

Trang 10

a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định.b) Rút gọn biểu thức với điều kiện trên.

a) Tìm điều kiện để Q xác định.b) Rút gọn Q.

a) Tìm điều kiện để B xác định.b) Rút gọn B.

Trang 11

a) Tìm điều kiện để C xác định.b) Rút gọn C.

3: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến.Bài 1 Cho biểu thức:

Tính giá trị của A khi x = - 5

Tính giá trị của biểu thức B tại x = 4

Tính giá trị của biểu thức C tại a = 1 và a =

Trang 12

4: Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức.Bài 1 Cho biểu thức:

Tính giá trị của x biết A = - 15

5: Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên.* Chú ý:

Ư(a)

Tìm giá trị nguyên của m để biểu thức A đạt giá trị nguyên.

Trang 13

a) Rút gọn B với a 0, b 0 và a b.

b) Tìm giá trị nguyên của a để biểu thức B đạt giá trị nguyên.

Tìm giá trị nguyên của a để biểu thức C đạt giá trị nguyên.

b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì A > 0c) Tính giá trị lớn nhất của A.

Bài tập tổng hợp:

Cho biểu thức:

Trang 14

PP1 Phơng pháp đặt nhân tử chung.

AB + AC + AD = A(B + C + D)

Bài 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:a)

b) x(y + z) + 3(y + z)c) m(n – p) – n + p

d) a(b – a)(a + b) – (a + b)(a2 – ab + b2)e) xm + 2 - xm

Bài 2 Phân tích A và B thành nhân tử:

Trang 15

5) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

6) a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3

N = P =

PP3 Ph¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö.

Bµi 1 Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:

Trang 16

a) 5a2 – 5ax – 9a + 9x

b) ma – mb + na – nb – pa + pbc) ax2 + 5y – bx2 + ay + 5x2 – byBài 2 Phân tích D, E thành nhân tử:

D = E =

PP4 Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.

Bài 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:a) 9x2 + 6x – 8

b) 4x2 – 3x – 1

Bài 2 Phân tích Q, K thành nhân tử:Q =

2 Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm.

Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm.

(a, b, c, a’, b’, c’ khác 0)+ Hệ có vô số nghiệm nếu

Trang 18

Th× ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm duy nhÊt x =

- 1 =

Trang 19

VËy víi m - 2 th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt

ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm.- Khi b 0 ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm.

+ NÕu a 0 th× ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt

Trang 20

Cho hÖ pt: cã nghiÖmThay x = x0; y = y0 lÇn lît vµo (1) vµ gi¶i.Thay x = x0; y = y0 lÇn lît vµo (2) vµ gi¶i.

Trang 21

D.5.2: Tìm hai giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ ơng trình.

ph-Phơng pháp:

Thay x = x0; y = y0 vào cả hệ pt ta đợc Giải hệ pt chứa ẩn là tham số.

Ví dụ:

x = 3; y = - 1

Giải: Thay x = 3; y = - 1 vào hệ pt ta có:

Vậy với m = 2 và n = 5 thì hệ có nghiệm x = 3; y = - 1.

Trang 23

VËy víi m = 1 hoÆc m = th× hÖ (I) cã nghiÖm duy nhÊttho¶ m·n pt (3).

Trang 25

m2 + 2 > 0 với mọi m

Vậy hệ pt luôn có nghiệm duy nhất với mọi mb) Rút y từ (1) ta có: y = mx – m2 (3)Thế vào (2) ta đợc

Trang 26

a) CMR hÖ lu«n cã nghiÖm duy nhÊt

b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x, y kh«ng phô thuéc vµo mGi¶i:

Trang 27

a) §Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt ta xÐt hiÖu:2m.3m – 3.(-1) = 6m2 + 3 > 0 víi mäi m

Trang 30

Rút m từ (1) ta đợc: Thay vào (2) ta có:

Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m.

 Phơng trình bậc hai một ẩn.

I Định nghĩa.II Phân loại.

1 Phơng trình khuyết b và c.

2 Phơng trình khuyết c: ax2 + bx = 0 (a 0)Phơng pháp giải:

ax2 + bx = 0 (a, b 0) x(ax + b) = 0

Phơng trình có hai nghiệm x1 = 0; x2 =

3 Phơng trình khuyết b: ax2 + c = 0 (a, c 0)Phơng pháp giải:

ax2 + c = 0 (a 0)

Trang 31

;

4 Phơng trình bậc hai đầy đủ: ax2 + bx + c = 0 (a , b, c 0)

Phơng pháp giải: = b2 – 4ac

1: Giải phơng trình khi biết giá trị của tham số.

m =

Trang 32

Bài 4: Giải phơng trình mx2 -2(m + 1)x + m + 2 = 0 với m

- Để phơng trình vô nghiệm thì < 0 ( ’ < 0); Để phơng trình có nghiệm kép thì = 0 ( ’ = 0)

Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt thì > 0 ( ’ > 0)

Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt

Trang 33

Vậy pt có nghiệm kép khi m = -1 hoặc m = -3

Bài 4:

Tìm m để pt có nghiệm kép.Bài làm:

Ta có: a.c = 5.( – m2 - 1) = -5(m2 + 1) < 0 với mọi m Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Bài 3:

Trang 34

CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi mBµi lµm:

Ta cã:

= (m + 3)2 + 5(m2 – m + 3)

= m2 +6m + 9 + 5m2 – 5m + 15 = 6m2 + m + 24

= 6(m + )2 + > 0 víi mäi m

VËy ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi mTæng qu¸t: §Ó chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖmph©n biÖt:

- C¸ch 1: Chøng minh: a.c < 0 - C¸ch 2: Chøng minh:

+ NÕu b 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x =

+ NÕu b = 0 vµ c 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm + NÕu b = 0 vµ c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã v« sènghiÖm.

 Víi a 0 ph¬ng tr×nh trë thµnh ph¬ng tr×nh bËc haicã biÖt sè:

= b2 – 4ac ( hay ’ = b’2 – ac)

Trang 35

+ NÕu > 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©nbiÖt:

x1 = x2 =

Trang 36

Bài 3: Xác định m để phơng trình sau vô nghiệm.

(m2 - 1)x2 + mx + 5 = 0

Bài 4: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, chứng minh

phơng trình sau vô nghiệm:b2x2 – (b2 + c2 – a2)x + c2 = 0

Bài 5: Xác định m để phơng trình sau có đúng một nghiệm.

Bài 6: Cho phơng trình (5mChứng minh rằng phơng trình có hai nghiệm phân biệt.2 + 1)x2 + (31m – 13)x – 6 = 0Bài 7: Cho phơng trình x2 - 2(m - 4)x – 6m + 1 = 0

Chứng minh rằng phơng trình có hai nghiệm phân biệt.

Bài 8: Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung:

 GiảI bài toán bằng cách lập phơng trình

và lập hệ phơng trình.Các dạng toán:

1: Toán chuyển động.

- Ba đại lợng: S, v, t

- Quan hệ: S = vt; t = ; v = - Chú ý: Vxuôi = Vthực + Vnớc

Vngợc = Vthực – Vnớc

Bài 1: Hai ngời đi trên hai con đờng vuông góc với nhau và xuất

phát cùng một lúc từ cùng một điểm, sau 3 giờ họ cách nhau15km Tìm vận tốc và quãng đờng biết rằng nếu hai ngờiđó cùng xuất phát từ một điểm và đi ngợc chiều nhau thìmỗi giờ họ cách nhau 7km.

Trang 37

Bài 2: Một ngời dự định đi từ A đến B trong một khoảng thời gian

nhất định Nếu ngời đó tăng vận tốc thêm 10km/h thì thờigian đi hết quãng đờng AB giảm đi 1giờ Nếu ngời đógiảm vận tốc đi 10km/h thì thời gian đi hết quãng đờngAB tăng 2giờ so với dự định Hỏi ngời đó đi với vận tốc vàthời gian dự định là bao nhiêu?

thời gian tăng 2 giờ nên thời gian đi hết quãng đờng là: y + 2 (h).Do quãng đờng AB luôn không đổi nên ta có hệ pt:

Vậy vận tốc mà ngời đó dự định đi là: 30 (km/h)Và thời gian mà ngời đó dự định đi là: 4giờ

Bài 3: Hai bến sông A và B cách nhau 240km Một ca nô xuôi dòng

từ bến A đến địa điểm C nằm chính giữa hai bến A và B,cùng lúc đó một ca nô ngợc dòng từ B đến C Ca nô từ Ađến C trớc ca nô đi từ B đến C 1 giờ Tìm vận tốc củadòng nớc biết vận tốc thực của hai ca nô bằng nhau và bằng27km/h.

2: Lập số.

Điều kiện: 0 < a 9; 0 b, c 9 (a, b, c Z )

Bài 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng nếu viết chữ

số 1 vào giữa hai chữ số ta đợc số mới có ba chữ số lớn hơnsố đã cho là 280 Nếu đổi chỗ hai chữ số đã cho ta đợcmột số mới lớn hơn số đó 18 đơn vị.

Trang 38

Vậy số cần tìm là: 35

Bài 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng đơn

vị lớn hơn chữ số hàng chục 4 đơn vị Nếu đem số đóchia cho tổng các chữ số của nó ta đợc thơng là 3 và d 7.

Gọi số cần tìm là: (;; a,b Z )

- Do chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 4 đơn vị nên tacó: b – a = 4 (1)

- Khi đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó ta đợc thơng là 3 vàd 7 nên ta có:

= 3 (a + b) + 7 10a + b = 3a + 3b + 7 7a – 2b = 7 (2)Từ (1), (2) ta có hệ pt:

Trang 39

Nếu ngời thứ nhất làm trong 6 giờ sau đó dừng lại và ngờith hai làm tiếp trong 9 giờ nữa thì sẽ hoàn thành công việc.Hỏi mỗi ngời làm một mình trong bao lâu thì xong côngviệc?

- Trong 9 giờ ngời thứ hai làm đợc: (công việc)

Theo bài ra ngời thứ nhất làm trong 6 giờ và ngời thứ hai làm tiếp trong 9 giờthì xong công việc nên ta có: (2)

Trang 40

thì xong công việc nên ta có pt: 6x + 9y = 1 (2)Từ (1) và (2) ta có hệ pt:

Vậy thời gian ngời thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là: 24giờ Và thời gian ngời thứ hai làm một mình hoàn thành công việc là: 12giờ

Bài 2: Trong một bể nớc có một vòi chảy ra và một vòi chảy vào.

Nếu mở cùng hai vòi thì sau 6 giờ sẽ đầy bể Hỏi vòi chảyvào chảy trong bao nhiêu lâu thì đầy bể Biết rằng thờigian vòi chảy vào chảy đầy bể ít hơn thời gian chảy ra hếtbể nớc đầy là 8 giờ và vận tốc chảy của các vòi không đổi.

4: Toán diện tích.

Bài 1: Một hình chữ nhật nếu ta tăng chiều dài và chiều rộng lên

đi 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích sẽ tăng

Bài 2: Hai tổ sản xuất trong tháng 1 làm đợc 900 sản phẩm Sang

tháng 2 do sự thay đổi nhân sự nên số sản phẩm của tổ Ibằng 90% số sản phẩm ở tháng 1 của tổ I; số sản phẩm củatổ II bằng 120% số sản phẩm ở tháng 1 của tổ II Vì vậytổng số sản phẩm trong tháng 2 của cả hai tổ là 960 sản

Trang 41

phẩm Hỏi trong tháng 1 mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu sảnphẩm?

Do tổng số sản phẩm trong tháng 2 của cả hai tổ là 960 sản phẩm nên ta có:

9x + 12y =9600 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ pt: Vậy trong tháng 1 tổ I sản xuất đợc 400 sản phẩmvà tổ II sản xuất đợc 500 sản phẩm

5: Toán mang yếu tố vật lí.

Bài 1: Hai điện trở mắc song song với nhau biết rằng điện trở thứ

nhất lớn hơn điện trở thứ hai 6 và điện trở tơng đơngcủa đoạn mạch là 4 Tính độ lớn của hai điện trở.

Bài làm:

Gọi độ lớn nhất của điện trở 1 là: R1 = x ( , x > 6).

độ lớn nhất của điện trở 2 là: R2 = x – 6 ( ).

Ta có điện trở tơng đơng của mạch điện: Rtd = 4

x2 – 14x + 24 = 0

Trang 42

= 72 – 24 = 25 x1 = 7 + 5 = 12 (tm)x2 = 7 – 5 = 2 (loại)

Vậy độ lớn nhất của điện trở 1 là 12 , độ lớn nhất của điện trở 1 là 6

7: Toán có quan hệ hình học.

Bài 1: Cho tam giác vuông ABC, đờng cao AH chia cạnh huyện

thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với nhau theo tỉ lệ 4:3 Tínhđộ dài các cạnh của tam giác biết một cạnh góc vuông củatam giác có độ dài là 14cm.

Bài 2: Cho một tam giác vuông biết đờng cao ứng với cạnh huyền

là 24cm và cạnh huyền là 50cm Tìm độ dài hai cạnh góc vuông.

8: Toán phần trăm.Bài

tập: Trong một kho giấy có 1500 tấn giấy loại I và II Sau đó ngờita bổ sung vào trong kho thêm 255 tấn giấy cả hai loại.Trong đó giấy loại I bằng 15% lợng giấy loại I trong kho, giấyloại II bằng 20% lợng giấy loại II trong kho Hỏi ban đầu lợnggiấy loại I và loại II trong kho là bao nhiêu?

Dạng Toán quan hệ giữa hai số.

Trang 43

Bài 1: Tìm hai số tự nhiên biết rằng hai số đó chia cho 3 đợc cùng

một thơng và số d lần lợt là 1 và 2 và tổng bình phơng củachúng là 221.

Bài 2: Trong chiến dịch Điện Biên Phủ một tiểu đội công binh

nhận nhiệm vụ đào 60m giao thông hào Nhng đến khinhận nhiệm vụ 2 chiến sĩ trong tiểu đội đã bị hi sinh Vìvậy bình quân mỗi chiến sĩ phải đào thêm 1m giao thônghào nữa mới hoàn thành công việc Hỏi tiểu đội công binhcó bao nhiêu ngời.

Trang 44

Giải bài toán

bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình.

Hai anh Quang và Hùng góp vốn cùng kinh doanh Anh Quang góp 15 triệuđồng, Anh Hùng góp 13 triệu đồng Sau một thời gian đợc lãi 7 triệu đồng.Lãi đợc chia tỉ lệ với vốn đã góp Hãy tính tiền lãi mà mỗi anh đợc hởng.

HD: Gọi số lãi của anh Quang là: x (triệu đồng, x > 0) Gọi số lãi của anh Hùng là:y (tr đồng, y > 0)

Lập đợc hệ: ĐS: x = 3,75 và y = 3,25

Trong phòng học có một số ghế dài Nếu xếp mỗi ghế ba HS thì sáu HSkhông có chỗ Nếu xếp mỗi ghế bốn HS thì thừa một ghế Hỏi mỗi lớp cóbao nhiêu ghế và bao nhiêu HS.

HD: Gọi số ghế là: x ( ) Gọi số HS là: y () Lập đợc hệ: ĐS: x = 10 và y = 36

Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian quyđịnh Nếu giảm ba ngời thì thời gian kéo dài sáu ngày Nếu tăng thêm haingời thì xong sớm hai ngày Hỏi theo quy định cần bao nhiêu thợ và làmtrong bao nhiêu ngày, biết rằng khả năng lao động của mọi thợ đều nhnhau?

HD: Gọi số thợ cần thiết là: x (ngời, ) Gọi thời gian cần thiết là: y (ngày,)

Lập đợc hệ:ĐS: x = 8 và y = 10

Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ Thuhoạch đợc tất cả 460 tấn thóc Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên một 1ha làbao nhiêu biết rằng 3 ha trồng lúa mới thu hoạch đợc ít hơn 4 ha trồng lúacũ là 1 tấn.

Trang 45

HD: Gọi năng suất trên 1ha của giống lúa mới là: x (tấn, x > 0) Gọi năng suất trên 1ha của giống lúa cũ là: x (tấn, y > 0) Lập đợc hệ: ĐS: x = 5 và y = 4

Hai sân bay Hà Nội và Đã Nẵng cách nhau 600km Một máy bay cánh quạttừ Đà Nẵng đi Hà Nội Sau đó 10phút một máy bay phản lực từ Hà Nội bayđi Đà Nẵng với vận tốc lớn hơn vận tốc của máy bay cánh quạt là 300km/h.Nó đến Đà Nẵng trớc khi máy bay kia đến Hà Nội 10 phút Tính vận tốccủa mỗi máy bay.

HD: Gọi vận tốc của máy bay cánh quạt là: x (km/h, x > 0) Khi đó vận tốc của máy bay phản lực là: x + 300 (km/h) Lập đợc pt: ĐS: x = 600

Một xuồng máy xuôi dòng sông 30km và ngợc dòng 28km hết một thời gianbằng thời gian mà xuồng đi 59,5km trên mặt hồ yên lặng Tính vận tốccủa xuồng khi đi trên hồ biết rằng vận tốc của nớc chảy trong sông là3km/h.

HD: Gọi vận tốc của xuồng máy khi đi trong hồ yên lặng là: x (km/h, x > 3)

Khi đó vận tốc của xuồng máy khi xuôi dòng là: x + 3 (km/h) Vận tốc củaxuồng máy khi ngợc dòng là: x + 3 (km/h).

Lập đợc pt: ĐS: x = 17 Hàm số

Phần

1: Lí thuyết.

I) Các kiến thức về hàm số.

1) Khái niệm về hàm số (khái niệm chung).

Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho vớimỗi giá trị của x ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơngứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x đợc gọi là biếnsố.

Định dạng
Số trang	91
Dung lượng	2,58 MB