D. 5.4: Xác định điểm cố định của đồ thị hàm số Phơng pháp:
2 (P) a) Vẽ đồ thị hàm số.
D.2.3: Tìm giá trị của tham số khi biết điểm thuộc Parabol Tổng quát:
Tổng quát:
A(x0; y0)∈(P): y = ax2.
Thay x = x0; y = y0 vào hàm số y = ax2 đợc y0 = ax02. Giải phơng trình chứa ẩn là tham số. Ví dụ 1: Cho (P): y = (3m2 – 2m – 6)x2. Tìm m để A(2; 8)∈(P). Ví dụ 2: Cho (P) y = −1 2x 2. Tìm m để B(m; m2 – 5m – 5)∈(P). Ví dụ 3: Cho (P) y = f(x) = (m2 – 4m + 9)x2. a) So sánh f(-5) và f(-2) b) Tìm m để B(2; 20)∈(P). Bài làm: a) Ta có m2 – 4m + 9 = = (m – 2)… 2 + 5 Do (m – 2)2≥0 ⇔ m2 – 4m + 9> 0 ∀m. ⇒Hàm số y = (m2 – 4m + 9)x2 nghịch biến với x < 0 Do – 5 < –2 ⇒f(–5) > f(–2).
Dạng 3: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol với đờng thẳng.
Tổng quát:
61
Cho (P) y = ax2 (a ≠0) (d) y = mx + n.
Xét phơng trình hoành độ giao điểm ax2 = mx + n. Giải trình tìm x.
Thay giá trị vừa tìm đợc vào hàm số y = ax2 hoặc y = mx + n tìm đợc y. + Giá trị của x tìm đợc là hoành độ giao điểm.
+ Giá trị của y tìm đợc là tung độ giao điểm.
Ví dụ 1:
Tìm toạ độ giao điểm của (P) y = - 2x2 và (d) y = 2x – 4.
Ví dụ 2:
Tìm toạ độ giao điểm của (P) y = 1 3x
2 và (d) y = 4x – 12.
Ví dụ 3:
Tìm toạ độ giao điểm của (P) y = 11x2 và (d) y = 4x – 5.
Dạng 4: Tìm số giao điểm của đờng thẳng và Parabol.
Tổng quát:
Cho (P) y = ax2 (a ≠0) (d) y = mx + n.
Xét phơng trình hoành độ giao điểm ax2 = mx + n. (*)
+ Phơng trình (*) vô nghiệm (∆ < 0) ⇔(d) và (P) không có điểm chung. + Phơng trình (*) có nghiệm kép (∆= 0) ⇔(d) tiếp xúc với (P).
+ Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt (∆ > 0 hoặc ac < 0) ⇔(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 1:
Cho (P): y = 1 2x
2.
(d): y = (m + 5)x – m + 2
Chứng minh rằng d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 2:
Cho (P): y = x2. Chứng minh rằng đờng thẳng đi qua A(1; 7) luôn cắt P tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 3: Cho (P): y = 1 2x 2. (d): y = (m + 2n)x – 2mn (với m, n≠0). 62 Phạm Văn Hiệu
Chứng minh rằng d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt.
Dạng 5: Tìm giá trị của tham số khi biết số giao điểm hoặc toạ độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng.
Tổng quát:
Cho (P) y = ax2 (a ≠0) (d) y = mx + n.
Xét phơng trình hoành độ giao điểm ax2 = mx + n. (*)
+ (d) và (P) không có điểm chung ⇔Phơng trình (*) vô nghiệm (∆ < 0) + (d) tiếp xúc với (P) ⇔ Phơng trình (*) có nghiệm kép (∆= 0)
+ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ⇔Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt (∆ > 0 hoặc ac < 0)
Ví dụ 1:
Cho (P): y = x2.
(d): y = 2(m + 3)x – m2 – m – 2 a) Tìm m để (d) và (P) tiếp xúc với nhau. b) Tìm m để (d) và (P) không có điểm chung. c) Tìm m để (d) và (P) cắt tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 2:
Cho (P) y = 1 4x
2.
(d): y = (2m + n)x + m – 2n – 1
Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ giao điểm là – 2, – 1
Ví dụ 3:
Cho (P): y = 1 3x
2.
(d): y = 2(m – 1)x 12m .
Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 4:
Cho (P): y = (m2 – 5m + 3)x2.
Tìm m để (d1): y = 5x - 2 cắt (d2): y = – 2x + 5 tại một điểm trên (P).
Ví dụ 5:
Cho (P): y = −1
6x 2
Lập phơng trình đờng thẳng cắt (P) tại một điểm có hoành độ là 6 và song song với đờng thẳng (d): y = 3x – 10.
63
Ví dụ 6:
Cho (P): y = (m – 2n + 3)x2
Tìm m và n để (P) cắt (d1): y = 3x + 2 tại một điểm có hoành độ là 2 và cắt (d2): y = 3x – 1 tại điểm có hoành độ là 1.
Ví dụ 7:
Cho (P): y = x2
(d): y = (5m2 – 21m + 16)x + m2 – 6m + 11
Tìm m để (P) cắt (d) tại hai điểm đối xứng với nhau qua trục tung.
Ví dụ 8:
Cho (P): y = 4x2
(d): y = (4m + 3)x – m2 + 7m + 4 a) Tìm m để (d) và (P) có điểm chung.
b) Gọi x1, x2 là hoành độ giao điểm. Tìm m để x1, x2 là hai số nghịch đảo.
Ví dụ 9:
Cho (P): y = ax2
(d): y = (4m + 3)x – m2 + 7m + 4
a) Tìm a biết (P) đi qua điểm A(-1; 1). Vẽ (P) với giá trị của a vừa tìm đợc. b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc bằng 1. Tìm toạ độ giao điểm B (khác A) của (P) và (d).
c) Chứng tỏ ∆AOB vuông tại A. Tính độ dài đoạn AB và diện tích ∆AOB.
Chú ý: 1) A(x1; y1), B(x2; y2) thì AB = − 2 + − 2
1 2 1 2
(x x ) (y y )
2) Có hai cách để chứng minh ∆AOB vuông tại A.
Cách 1: Dùng định lí đảo của định lí Pi-ta-go: AB2 + OA2 = OB2.
Cách 2: Dùng quan hệ về hệ số góc.
(d1): y = ax + b; (d2): y = a’x + b’
(d1)⊥(d2) ⇔a.a’ = - 1
Bài tập về nhà:
Bài 1: Cho hàm số: y = (m + n)x + 2m – 3n + 5 (d1)
a) Tìm m, n để (d1) đi qua 2 điểm A(2; 6) và B(-1; - 6).
b) Tìm m, n để (d1) đi qua điểm C(- 2; 5) và song song với (d2): y = x – 5. c) Tìm m, n để (d1) trùng với (d3): y = - 5x + 5.
d) Tìm m, n để (d1) cắt (d4): y = mx + 3m + n tại điểm D(1; 9).
e) Tìm m, n để (d1) cắt (P): y = x2 tại hai điểm có hoành độ là 1 và 3.
f) Tìm m, n để (d1) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 4 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là - 2.
64
Bài 2: Cho hàm số (d1): y = 1
2x + 3 và (d): y = - 3x + 3.
a) Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ. b) Tính góc tạo bởi (d1) và (d2) với trục Ox.
c) Gọi giao điểm của (d1) và (d2) là A, giao điểm của (d1), (d2) với trục hoành lần lợt là B và C. Tính chu vi và diện tích của ∆ABC.
Chú ý: Gọi α là góc tạo bởi đờng thẳng (d): y = ax + b với trục Ox
+ a > 0 thì tgα = a. + a < 0 thì tg(1800 - α) = - a. Bài 3: Cho hàm số : y = (m – 2)x + m2 + 3m + 3 (d1) a) Tìm m để hàm số đồng biến. b) Tìm m để (d1) và hai đờng thẳng (d2) : y = 3x – 13 và (d3) : y = - 2x – 3 đồng quy.
c) Tìm m để (d1) cắt (d4): y = x + 21 tại một điểm trên trục tung. d) Tìm m để (d1) đi qua A (3 ; 4) và song song với (d5): y = - m2x – 1
e) Chứng minh rằng (d1) cắt (P): y = x2 tại hai điểm phân biệt. Gọi x1; x2 là hoành độ giao điểm của (d1) và (P). Tìm m để x12 + x22 = 15.
f) Tìm m để (d1) tạo với hai trục toạ độ 1 tam giác vuông cân. g) Tìm m để (d1) cắt (d6): y = - 3x + 1 tại một điểm trên trục tung.
Chú ý : 1) Hai đờng thẳng cắt nhau trên trục tung thì a≠a’và b = b’.
2) Đờng thẳng y = ax + b tạo với hai trục 1 tam giác vuông cân khi: Cách giải: Đờng thẳng y = ax + b tạo với trục Oy tại điểm M(0, b) Cách giải: Đờng thẳng y = ax + b tạo với trục Oy tại điểm M(0, b)
Đờng thẳng y = ax + b tạo với trục Ox tại điểm N(−b
a , 0)
Để ∆MON vuông cân thì OM = ON ⇔ b = −b
a
Kết luận: Đờng thẳng y = ax + b tạo với hai trục 1 tam giác vuông cân khi:
a = 1 và b ≠0 (hoặc a = - 1 và b ≠0)
Bài 4: Cho hàm số: y = 1 2x
2 (P)a) Vẽ đồ thị hàm số. a) Vẽ đồ thị hàm số.
b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là: - 2 và 4. Lập ph- ơng trình đờng thẳng AB.
c) Chứng minh đờng thẳng (d1) đi qua điểm M(- 1; 3) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt C và D.
d) Gọi xC, xD lần lợt là hoành độ của C và D. Tìm phơng trinh của (d1) để
+2 2 2 2 C D x x nhận giá trị nhỏ nhất. 65 Phạm Văn Hiệu
e) Lập phơng trình đờng thẳng cắt (P) tại một điểm có hoành độ là 2 và song song với đờng thẳng y = 3x + 5.
Bài 5: Cho hàm số y = (m – 2)x + 2 (d)
a) Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.
b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng d bằng 1.
c) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng d nhận giá trị lớn nhất.
e) Tìm m để đờng thẳng d tạo với 2 trục một tam giác có điện tích là 2.
Chú ý: Biểu thị độ dài các đoạn thẳng bao giờ cũng lấy giá trị tuyệt đối.
Hệ thức vi - ét
Phần I. Lý thuyết: