T hS L E H O A N H P H O e i B H O O I D C L S f I d N N H G , G I O I - Ddnh cho HS lop 12 on tap & nang cao klnang lam bdi Chudn bi cho cdc ki thi qudc gia Bd GD&DT to chac T O A N i Boi duBng hoc sinh gioi Toan Dai so 10-1 - Boi duQng hoc sinh gioi Toan Dai so 10-2 - Boi dii9ng hoc sinh gioi Toan Hinh hoc 10 Boi duQng hoc sinh gioi Toan Dai so 11 Boi duQng hoc sinh gioi Toan Hinh hoc 11 Bp de thi ta luan Toan hoc Phan dang va phirong phap giai Toan So' phtfc Phan dang va phuong phap giai Toan To hdp va Xac suat 1234 Bai tap tu luan dien hinh Dai so giai tfch 1234 Bai tap tii luan dien hinh Hinh hoc iu'g'ng giac ThS L E H O A N H Nha gido Uu tu B O I D H O C U S Q I N N G H PHO , G I O I T O A - Danh cho HS lap 12 on tap & nGng cao kinang lam bai - Chudn bi cho cdc ki thi quoc gia Bo GD&DT td choc erjd ©G NI NHA XUAT BAN DA! HQC QUOC GtA HA NQI N Ldi N6l D A U De giup cho hoc sinh lap 12 cd them tai lieu tu boi dudng, nang cao va ren luyen ki nang gidi todn theo chuong trinh phdn ban moi Trung tdm sdch gido due ANPHA xin trdn gioi thieu quy ban dong nghiep vd cdc em hoc sinh cuon: "Bdi dudng hoc sinh gidi todn Hinh hoc 12" Cuon sdch nam bd sdch cuon gom: - Boi duong hoc sinh gidi todn Hinh hoc 10 - Bdi duong hoc sinh gidi todn Dqi so 10 - Boi dudng hoc sinh gidi todn Hinh hoc 11 - Bdi duong hoc sinh gidi todn Dqi so - Gidi tich 11 - Boi duong hoc sinh gidi todn Hinh hoc 12 - Boi duong hoc sinh gidi todn Gidi tich 12 nhd gido uu tu, Thac si Le Hoanh Phd to chuc bien soqn Ndi dung sdch duoc bien soqn theo chuong trinh phdn ban: co bdn vd ndng cao mdi cua Bd GD & DT, dd mdt so van de duoc mo rong vdi cdc dang bai tap hay va khd dephuc vu cho cdc em yeu thich muon ndng cao todn hoc, cd dieu kien phdt trien tot nhd't khd nang ciia minh Cuon sdch la sukethua nhung hieu bii't chuyen mdn vd kinh nghiem gidng day cua chinh tdc gid qua trinh true tiep dung lop boi duong cho hoc sinh gidi cdc lop chuyen todn Vdi mot noi dung sue tich, tdc gid dd cogang sap xep, chon loc cdc bdi todn tieu bieu cho tirng the loai khdc ung vdi ndi dung ciia SGK Mot so bai tap cd the klw nhung cdch giai duoc dim tren nen tdng kien thuc vd ki ndng co ban Hoc sinh can tu minh hoan thien cdc ki ndng cung nhu phdt trien tu qua viec gidi cdu bdi tap cd sdch trudc ddi chie'u vdi loi giai cd sdch nay, cd the mot so ldi gidi cd sdch cdn cd dong, hoc sinh cd the'tu minh lam rd hon, chi tiei hon, cung nhu tu minh dua nhirng cdch lap luqn moi hon Chung tdi hy vong bd sdch se la mdt tdi lieu thiet thuc, bo ich cho ngudi day vd hoc, dqc biet cdc em hoc sinh yeu thich mdn todn vd hoc sinh chuan bi cho cdc ky thi qudc gia Bd GD & DT to chuc sap tdi Trong qua trinh bien soqn, cudn sdch khdng the tranh khdi nhung thieu sdt, chung tdi ra't mong nhdn duoc gdp y ciia ban doc gan xa debo sdch hoan thien hon lan tdi ban Moi y kien dong gop xin lien he: Trung tam sach giao due Anpha 225C Nguyen Tri Phucmg, P.9, Q.5, Tp HCM - Cong ti sach - thiet bi giao due Anpha 50 Nguyen Van Sang,'Q Tan Phii, Tp HCM DT: 08 62676463, 38547464 Email: alphabookcenter@yahoo.com Xin chan cam on! Tdc gid C h u o n g §1 K H O I I :K H O I B A D I E N V A T H E D A D I E N V A P H E P B I E N T I C H H I N H A KIEN THUC CO BAN - Hinh da dien gom mot so huu han da giac phang thoa man hai dieu kien: (1) Hai da giac bat ki hoac khong co diem chung, hoac co mot dinh chung, hoac co mot canh chung (2) M o i canh cua mot da giac la canh chung cua dung hai da giac Hinh da dien chia khong gian lam hai phan: phan ben va phan ben ngoai Hinh da dien ciing voi phan ben cua no goi la khoi da dien M o i khoi da dien co the phan chia duoc nhirng khoi tii dien Phep doi hinh khong gian la phep bien hinh bao toan khoang each giua hai diem bat ki Phep tinh tien, phep doi xung true, doi xung tam, phep doi xung qua mat phang la nhirng phep ddi hinh Hai hinh da dien gpi la bang neu co mot phep doi hinh bien hinh hinh - Phep v i tu tam O ti so k * la phep bien hinh moi diem M diem M ' cho O M ' = k O M Hinh H duoc goi la dong dang vdi hinh H ' neu co mot phep v i tu bien hinh H H i ma hinh H i bang hinh H' - Mot khoi da dien duoc goi la khoi da dien loi neu bat k i hai diem A va B nao cua no thi moi diem cua doan thang A B cung thuoc khoi Khoi da dien deu goi la khoi da dien loi co hai tinh chat sau day: (1) Cac mat la nhirng da giac deu va co cung so canh; (2) M o i dinh la dinh chung cua cung mot so canh - Co nam loai khoi da dien deu: khoi tu dien deu, khoi lap phuong, khoi tam mat deu, khoi mudi hai mat deu, khoi hai muoi mat deu B P H A N D A N G T O A N D A N G 1: K H l O A D l £ N Hinh H ciing vdi cac diem nam H duoc goi la khoi da dien gidi han bdi hinh H M o i da giac cua hinh H duoc goi la mot mat ciia khoi da dien Cac dinh, cac canh cua moi mat goi la dinh, canh cua khoi da dien Cac diem nam hinh H goi la diem cua khoi da dien Khoi da dien duoc goi la khoi chop, khoi chop cut neu no duoc gidi han bdi mot hinh chop, hinh chop cut Tuong tu cho kh6i chop n-giac, khoi chop cut n-giac, khoi chop deu, khoi tii dien, Khoi da dien dugc goi la khoi lang tru neu no duoc gioi han boi mpt hinh lang tru, tuong tu cho khoi hop, khoi hop chu nhat, khoi lap phuong Phan chia va lap ghep cac khoi da dien: M o i khoi chop va khoi lang tru luon co the phan chia duoc nhung khoi tu dien bang nhieu each khac Chu y: Dac so O-le cua khoi da dien loi: Doi voi moi khdi da dien loi H ta ki hieu D la so dinh, C la so canh, M la so mat ciia H thi so / ( H ) = B - C + M = V i du 1: Chung minh rang neu khoi da dien co cac mat la tam giac thi so mat phai la so chan Hay chi nhirng khoi da dien nhu the voi so mat bang 10 Giai Gpi s6 canh cua khoi da dien la C so mat la M V i moi mat co ba canh va moi canh lai chung cho hai mat nen 3M = 2C Suy M la so chan Sau day la mpt so khoi da dien co so cac mat tam giac la 4, 10 V i du 2: Chiing minh rang moi dinh ciia mpt hinh da dien la dinh chung ciia it nhat ba canh va la dinh chung ciia it nhat ba mat Giai Ta dirng phan chiing Neu xuat phat tir mpt dinh nao chi co hai canh thi moi canh nhu thi la canh ciia chi mpt da giac trai voi dieu kien djnh nghia ciia hinh da dien Vay moi dinh phai la dinh chung ciia it nhat la ba canh va vi vay no ciing phai la dinh chung ciia ba mat V i du 3: Chiing minh rang n i u khoi da dien co moi dinh la dinh chung cua ba canh thi so dinh phai la so chan Vi Giai Gia sir khoi da dien co C canh va co D dinh V i moi dinh la dinh chung cua ba canh va moi canh co hai dinh nen 3D = 2C Vay D phai la so chan du 4: Chung minh rang n i u khdi da dien co cac mat la tam giac va moi dinh la dinh chung cua ba canh thi la khoi tti dien Giai Goi A la mot dinh ciia khoi da dien Theo gia thiet, dinh A la dinh chung cho ba canh, ta goi ba canh la A B , AC, A D Canh A B phai la canh chung ciia hai mat tam giac, B la hai mat ABC va A D B (vi qua dinh A chi co canh) Tuong tu, ta co cac mat tam giac ACD va BCD Vay khoi da dien chinh la khoi t i i dien ABCD du 5: Chiing minh rang, so goc ciia tat ca cac mat gap doi so canh ciia khoi da dien Suy so goc chan Giai Goi so goc la G va so canh ciia khoi da dien la C Trong moi mat la da giac thi so goc bang so canh, ma so canh duoc tinh lan nen G = 2C, do G chan du 6: Chiing minh khong ton tai khoi da dien co mot so le mat va moi mat lai co mot so le canh Giai Gia su ton tai khoi da dien co so mat la M le va moi mat chiia so le canh C „ i = 1,2, ',M Ta co so goc ciia khoi da dien: G = Ci + C + + C => G le: vo ly Vay khong ton tai khoi da dien thoa de bai du 7: Chiing minh dac so O-le ciia khoi da dien loi: Doi voi moi khoi da dien loi H , ta ki hieu D la so dinh, C la so canh, M la so mat ciia H thi so X(H) = D - C + M = Giai Ta chiing minh quy nap theo so dinh D > Khi D = thi khdi da dien la tii dien co D = C = 6, M = nen A Vi Vi Vi M D - C + M = - + = 2: diing Gia sir khang dinh diing voi so dinh D : D - C + M = Xet khoi da dien co D' = D + dinh Goi A la mot dinh va mat A1A2 A,, la mot mat ciia khoi da dien cho mat phang chiia mat chia khong gian lam phan, mot phan chiia dinh A va phan chiia khoi da dien loi co D dinh lai, ta co D - C + M = So dinh D' = D + so canh C = C + n, s6 mat M ' = M + n - Do do: B' - C + M' = (B + 1) - (C + n) + (M + n -1) = B - C + M = Vay x(H) = D - C + M = Cach khac: Diing phep chieu tir mot diem S khong thuoc bat ky mat nao, mat di qua dinh nao ciia khoi da dien V i du 8: Chung minh khong ton tai khoi da dien loi co canh Giai Gia sir ton tai khoi da dien loi co C = Ta co dac s6 O-le: D - C + M = nen D + M = V i D > 4, M > nen hoac D = 4, M = hoac D = 5, M = V o i D = thi khoi da dien loi la ru dien: loai V o i M = thi khoi da dien loi la tu dien: loai Vay khong ton tai khoi da dien loi co canh V i du 9: Cho khoi da dien Chung minh tong so cac goc ciia cac mat la T = 2(C-M)7t Giai Goi Cj la so canh ciia mat thu i , i = 1, 2, ,M M f M \ T a c T = £ ( C , - ) T T = £ C , - M n = (2C - J v l > = 2(C - M ) T T V i du 10: Hay phan chia mot khoi hop nam khoi tir dien Giai Co the phan chia khoi hop ABCD.A'B'C'D' nam kh6i tii dien sau day: A B D A ' , C B D C , B'A'C'B, D'A'C'D, B D A ' C V i du 11: Hay phan chia mot khoi tii dien bon khoi tir dien bdi hai mat phang Giai Cho khoi t i i dien ABCD Lay diem M nam giua A va B, diem N nam giua C va D Bang hai mat phang (MCD) va (NAB), ta chia khoi t i i dien da cho bon khoi t i i dien: A M C N , AMND, BMCN, BMND D A N G 2: PHEP D O I HINH - Mot phep bien hinh F khong gian duoc goi la phep ddi hinh neu no bao toan khoang each giua hai diem bat k i : neu F bien hai diem bat ki M , N lan luot hai diem M ' , N ' thi M'N' = M N Phep ddi hinh bien dudng thang dudng thang, mat phang mat phang Hop cua nhirng phep ddi hinh la phep ddi hinh '- Phep tinh t i i n : Phep tinh t i i n theo vecto v la phep bien hinh bien moi diem M d i i m M ' cho M M ' = v Phep doi xiing qua dudng thang (phep doi xung true): Cho dudng thang d, phep doi xung qua dudng thang d la phep bien hinh bien moi diem thuoc d chinh no va bien moi d i i m M khong thuoc d diem M ' cho mat phang ( M , d), d la dudng trung true cua doan thang M M ' Phep doi xung qua mot diem (phep doi xung tam): Cho diem O, phep ddi xung qua diem O la phep bien hinh bien moi diem M diem M ' cho OM + O M ' = , hay O la trung d i i m cua M M ' Phep ddi ximg qua mat phang (P) la phep b i l n hinh bien moi diem thudc (P) chinh nd va bien mdi diem M khdng thudc (P) diem M ' cho (P) la mat phang trung true cua doan thang M M ' Hai hinh H va H' goi la bang neu cd mdt phep ddi hinh bien hinh hinh Ddi vdi cac khdi da dien ldi: Neu phep ddi hinh F bien tap cac dinh ciia khdi da dien ldi H tap cac dinh ciia khdi da dien ldi H' thi F bien H H' Dinh ly: Hai hinh t i i dien A B C D va A'B'C'D' bang neu chiing cd cac canh tuong ung bang nhau, nghia la A B = A'B', BC = B'C, CD = CD', D A = D'A', AC = A ' C , BD = B'D' V i du 1: Cho t i i dien ABCD Chiing td rang phep ddi hinh bien mdi diem A, B, C, D chinh nd phai la phep ddng nhat Giai Gia sir phep ddi hinh f bien cac diem A, B, C, D chinh cac diem do, tiic la f(A) = A, f(B) = B, f(C) = C, f(D) = D Ta chiing minh r i n g f bien diem M bat ki M That vay gia sir M ' = f ( M ) va M ' khac vdi M Khi vi phep ddi hinh khdng lam thay ddi khoang each giua hai d i i m nen A M = A M ' , B M = B M ' , C M = CM', D M = D M ' , suy bon diem A, B, C, D nam tren mat phang trung true ciia doan M M ' , dieu trai vdi gia thiet A B C D la hinh tii dien Vay M ' triing vdi M va do f la phep ddng nhat V i du 2: Cho hai tii dien ABCD va A'B'C'D' cd cac canh tuong img bang nhau: AB = A'B', BC = B'C, CD = CD', D A = D'A', DB = D'B', AC = A ' C Chung minh rang cd khdng qua mdt phep ddi hinh bien cac diem A, B, C, D lan luot cac d i i m A', B', C, D' Giai Gia sir cd hai phep ddi hinh f j va f deu bien cac diem A, B, C, D lan luot cac diem A', B', C , D' NeU f i va f khac thi cd it nhat mdt diem M cho neu M i = f\(M) va M = f ( M ) thi M | va M la hai d i i m phan biet Khi dd vi f, va f deu la phep ddi hinh nen A ' M i = A M 2 2 2 Bai 53: Lap phirong trinh chinh tac qua E (3, 4, 1) va song song voi dudng x = + 2t thang d: