Kinh tế lượng ứng dụng phần nâng cao chương 5 mô hình ARIMA và VAR

Nói một cách tổng quát chúng ta có 4 phương pháp dự báo kinh tế dựa vào chuỗi thời gian:1 Dự báo dựa trên mô hình hồi quy một phương trình; 2 Dự báo dựa trên mô hình nhiều phương trình;

Chương 5 MÔ HÌNH TRUNG BÌNH TRƯỢT ĐỒNG LIÊN KẾT TỰ HỒI QUY (ARIMA) & MÔ HÌNH TỰ HỒI QUY THEO VEC TƠ (VAR)

Ở chương IV chúng ta đã bàn đến tính chất quan trọng của chuỗi dừng Chương này sẽ đềcập đến hai vấn đề:

(1) Làm thế nào để đưa một chuỗi không dừng thành chuỗi dừng?

(2) Sử dụng mô hình để dự báo như thế nào?

Nói một cách tổng quát chúng ta có 4 phương pháp dự báo kinh tế dựa vào chuỗi thời gian:(1) Dự báo dựa trên mô hình hồi quy một phương trình;

(2) Dự báo dựa trên mô hình nhiều phương trình;

(3) Dự báo dựa trên mô hình trung bình trượt, đồng liên kết, tự hồi quy ARIMA(Autoregressive intergrated moving average);

(4) Dự báo dựa vào mô hình tự hồi quy theo véc tơ VAR (Vector autoregressive models).Khi dự báo dựa trên mô hình một phương trình, trước hết cần dự báo các biến độc lập vàsau đó dự báo biến phụ thuộc Dự báo như vậy sai số sẽ tăng nhanh khi ta dự báo quá xatrong tương lai

Trong thập niên 60, 70 , việc xây dựng mô hình bao gồm một hệ phương trình chiếm ưuthế trong dự báo kinh tế ở Mỹ Nhưng sau này sự quyến rũ của phương pháp dự báo này đãsuy giảm đi khá nhiều do các cú sốc dầu lửa năm 1973, 1979 và do những chỉ trích của

Lucas Robert E Lucas đã cho rằng, các tham số được ước lượng từ mô hình kinh tế lượng phụ thuộc vào chính sách ở thời điểm mô hình được ước lượng, và các tham số này sẽ thay đổi khi chính sách thay đổi Nói ngắn gọn, các tham số ước lượng được không đổi nhưng chính

sách thì thay đổi

Phương pháp phân tích chuỗi thời gian do G.P.E Box và G M Jenkins đề xuất đã mở ramột trang mới về các công cụ dự báo Phương pháp BJ (Box – Jenkins) về kỹ thuật gọi làphương pháp ARIMA Phương pháp này không dựa vào một hoặc nhiều phương trình màdựa vào việc phân tích tính ngẫu nhiên của một chuỗi thời gian Chuỗi thời gian có thể giải thích bằng hành vi ở hiện tại, trong quá khứ, các trễ và yếu tố ngẫu nhiên Môhình ARIMA đôi khi được gọi là mô hình lý thuyết vì nó không xuất phát từ bất kỳ lý thuyếtkinh tế nào

Mô hình VAR bề ngoài giống như mô hình nhiều phương trình trong đó chúng ta xem xét

I- MÔ HÌNH AR, MA, VÀ ARIMA MÔ HÌNH HÓA CHUỖI THỜI GIAN

TRONG KINH TẾ

Nếu một chuỗi thời gian có tính dừng, ta có thể lập mô hình theo nhiều cách khác nhau

1- Quá trình tự hồi quy (AR)

Giả sử Ytlà một chuỗi thời gian Nếu ta lập mô hình:

với  là giá trị trung bình của Y và Ut là sai số ngẫu nhiên, Ut không tương quan, có trungbình bằng 0 và phương sai bằng2không đổi (Ut– nhiễu trắng) thì ta nói rằng Yt tuân theo

quá trình ngẫu nhiên tự hồi quy bậc nhất hay AR(1).

Ở đây giá trị Y trong thời đoạn t phụ thuộc vào giá trị của nó trong thời đoạn trước và phụthuộc vào yếu tố ngẫu nhiên Nói một cách khác, mô hình này cho biết giá trị dự báo của Ytrong thời đoạn t chỉ đơn giản là tỷ lệ (1) giá trị của Y trong thời đoạn (t -1) cộng với yếu tốngẫu nhiên trong thời đoạn t

Nếu xem xét mô hình:

Yt= 0+1Yt -1+ 2Yt -2+ Ut (5.2)Thì ta nói rằng Yttuân theo quá trình tự hồi quy bậc hai hay AR(2) Tức là giá trị của Y

trong thời đoạn t phụ thuộc vào giá trị của nó trong hai thời đoạn trước đó

Tổng quát, ta có:

Yt= 0+1Yt -1+ 2Yt -2+ .+ pYt – p+ Ut (5.3)

Trong trường hợp này, Ytlà quá trình tự hồi quy bậc p hay AR(p).

Điều kiện để quá trình AR(p) dừng là |i|<1 , i=1,p

Lưu ý rằng trong tất cả các mô hình trên, chỉ có giá trị hiện tại và quá khứ của Y đượcđưa vào mô hình, chứ không hề có biến nào khác Do vậy, ta nói rằng “dữ liệu tự nói” Đâylà một loại mô hình dạng rút gọn về các mô hình phương trình đồng thời

2- Quá trình trung bình trượt (MA)

với  là hằng số và Ut- nhiễu trắng

Ta nói Y tuân theo quá trình trung bình trượt bậc nhất hay MA(1).

Nhưng nếu Y tuân theo biểu thức:

Thì đó là một quá trình MA(2)

Tổng quát hơn

Yt= Ut+ 1Ut -1+ 2Ut –2 + +qUt–q (5.5)

là một quá trình MA(q) Nói ngắn gọn, một quá trình trung bình trượt đơn giản là một kếthợp tuyến tính của các số hạng nhiễu trắng.

3- Quá trình trung bình trượt và tự hồi quy (ARMA)

Tất nhiên, có nhiều khả năng là Y có các đặc điểm AR và MA và do vậy có đặc điểmARMA

Vậy, Yttuân theo quá trình ARMA(1, 1) nếu nó có thể viết dưới dạng:

Trong (5.6) có một số hạng tự hồi quy và một số hạng trung bình trượt, còn  là hằng số.Một quá trình ARMA(p, q) sẽ có p số hạng tự hồi quy và q số hạng trung bình trượt như sau:

Yt= ( + 1Yt -1+2Yt -2+ …+pYt -p) + (0Ut + 1Ut–1+….+qUt–q)

4- Quá trình trung bình trượt, đồng liên kết, tự hồi quy (ARIMA – Autoregressive Intergrated Moving Average).

Một chuỗi thời gian có thể là dừng hoặc không dừng

Chuỗi được gọi là đồng liên kết bậc 1, được ký hiệu là I(1), nếu sai phân bậc nhất là chuỗidừng

Chuỗi được gọi là đồng liên kết bậc d nếu sai phân bậc d là một chuỗi dừng, ký hiệu là I(d).Nếu d= 0, ta có I(0) thì chuỗi xuất phát Ytlà chuỗi dừng

Nếu chuỗi Yt đồng liên kết bậc d, áp dụng mô hình ARMA(p, q) cho chuỗi sai phân bậc

d thì chúng ta có quá trình ARIMA(p, d, q)

Với p là bậc tự hồi quy, d là số lần lấy sai phân chuỗi Ytđể được một chuỗi dừng, q là bậctrung bình trượt

p và q là bậc tương ứng của chuỗi dừng

AR(p) là trường hợp đặc biệt của ARIMA(p, d , q) khi d = 0; q = 0

MA(q) là trường hợp đặc biệt của ARIMA(p, d, q) khi d = 0; p = 0

ARIMA(2, 0, 3) nghĩa là chuỗi Yt là chuỗi dừng, chuỗi dừng này có thể biểu diễn dướidạng ARMA(2, 3):

Yt=  + 1Yt -1+ 2Yt -2+ 0Ut+ 1Ut -1+ 2Ut -2+3Ut -3Trong đó Utlà nhiễu trắng

II- PHƯƠNG PHÁP LUẬN BOX-JENKINS (BJ)

Câu hỏi rất quan trọng mà ta cần giải đáp khi nghiên cứu chuỗi thời gian là:

Chuỗi có tuân theo quá trình AR hay không? nếu có thì giá trị của p bằng bao nhiêu;

hoặc chuỗi có tuân theo quá trình MA hay không? nếu có thì giá trị của q bằng bao nhiêu;hoặc chuỗi có tuân theo quá trình ARMA hay không? nếu có thì giá trị của p và q bằng baonhiêu;

hoặc chuỗi có tuân theo quá trình ARIMA hay không? nếu có thì giá trị của p, d, q bằng baonhiêu;

Phương pháp luận BJ đã xuất hiện đúng lúc để trả lời cho các câu hỏi trên Phương pháp nàygồm 4 bước:

Bước 1: Định dạng mô hình Tức là, tìm các giá trị thích hợp của p, d và q Để thực hiện được công việc này ta dùng biểu đồ tương quan (correlogram) và biểu đồ tương quan riêng phần(partial correlogram)

Bước 2:Ước lượng mô hình Sau khi đã nhận dạng các giá trị thích hợp của p, q, bước

tiếp theo là ước lượng các tham số của mô hình

Để ước lượng các tham số của mô hình ta có thể dùng phương pháp bình phương tối thiểu,nhưng cũng có trường hợp phải sử dụng các phương pháp ước lượng phi tuyến Việc ướclượng các tham số của mô hình có thể thực hiện một cách nhanh chóng với sự trợ giúp củacác phần mềm kinh tế lượng

Bước 3:Kiểm tra chẩn đoán Sau khi ước lượng mô hình ARIMA, cụ thể là ước lượng

các tham số của nó, ta tìm hiểu xem mô hình lựa chọn có phù hợp với dữ liệu hay không bởi

vì có thể một mô hình ARIMA khác cũng phù hợp với dữ liệu Đó là lý do tại sao phươngpháp lập mô hình ARIMA của Box-Jenkins là một nghệ thuật nhiều hơn là một khoa học.Cần phải có kỹ năng tốt để lựa chọn đúng mô hình ARIMA

Một kiểm định đơn giản về việc lựa chọn mô hình là xem xét phần dư ước lượng từ mô hìnhnày có tính dừng hay không Nếu phần dư có tính dừng thì ta chấp nhận sự phù hợp của môhình, còn nếu không, ta phải lặp lại từ đầu Như vậy, phương pháp BJ là một quá trình lặpcho đến khi tìm được mô hình “tốt”

Bước 4: Dự báo Một trong các lý do về tính phổ biến của phương pháp lập mô hình

ARIMA là thành công của nó trong dự báo Trong nhiều trường hợp, các dự báo thu được từphương pháp này tin cậy hơn so với các dự báo tính từ mô hình kinh tế lượng truyền thống,đặc biệt là đối với dự báo ngắn hạn Tất nhiên đối với từng trường hợp cần phải được kiểmtra cụ thể

Chi tiết các bước như sau:

1- Định dạng

1.1) Lược đồ tự tương quan và tự tương quan riêng

Các công cụ chủ yếu để định/nhận dạng là hàm tự tương quan (ACF), hàm tự tương quanriêng phần (PACF), và các biểu đồ tương quan vẽ dựa vào các hàm này, các biểu đồ chỉ đơngiản là các điểm của ACF và PACF vẽ theo các độ trễ

Trong chương trước, ta đã định nghĩa hàm ACF tổng thể (k) và ACF mẫu (ˆk) Kháiniệm tự tương quan riêng phần giống như khái niệm hệ số hồi quy riêng phần Trong môhình hồi quy bội k biến, hệ số hồi quy thứ k, k, cho biết tốc độ thay đổi giá trị trung bìnhcủa biến phụ thuộc khi biến độc lập thứ k, Xk, thay đổi một đơn vị, với điều kiện là tất cảcác biến độc lập khác không đổi.

Tương tự, hệ số tương quan riêng phầnkktính tương quan giữa các quan sát (chuỗi thờigian) cách nhau k thời đoạn sau khi đã kiểm soát các tương quan tại các độ trễ trung gian(nghĩa là độ trễ nhỏ hơn k) Nói một cách khác, tự tương quan riêng phần là tự tương quangiữa Yt và Yt -k sau khi đã loại bỏ tác động của các giá trị Y trung gian Các hệ số tươngquan riêng phần đều được tính tự động trong các phần mềm thống kê

Khoảng tin cậy 95% của ACF và PACF là (-1.96/sqrt(n) , 1.96/sqrt(n))

Dựa vào các lược đồ này, ta sẽ đoán biết các ACF và PACF bậc mấy là khác 0 Từ đó đưa

ra các đoán nhận về p của AR(p) và q của MA(q)

Một cách để thực hiện điều này là xem xét ACF, PACF và các biểu đồ tương quan gắn vớichúng của một số quá trình ARMA lựa chọn, như AR(1), AR(2), MA(1), ARMA(1,1),ARMA(2,2) ,

Do từng quá trìng ngẫu nhiên này biểu thị các mẫu hình tiêu biểu của ACF và PACF, nếuchuỗi thời gian đang nghiên cứu phù hợp với một trong các mẫu hình nào thì ta có thể xácđịnh chuỗi thời gian với quá trình đó

Tất nhiên ta sẽ phải áp dụng các kiểm định chẩn đoán để tìm xem mô hình ARMA lựa chọncó phù hợp với dữ liệu hay không

Một số dạng ARIMA được đề nghị như sau (dựa theo kinh nghiệm):

(p,d,0) Giảm dạng mũ hoặc giảm hình sin kk=0 với k>p

(0,d,q) k=0 với k>q Giảm dạng mũ hoặc giảm hình sin(1,d,1) 1≠0

Sau đó giảm dạng mũ/ giảm hình sin 11≠0

Sau đó giảm dạng mũ/ giảm hình sin(1,d,2) 1, 2≠0

Sau đó giảm dạng mũ/ giảm hình sin

11≠0Sau đó giảm dạng mũ/ giảm hình sin(2,d,1) 1≠0

Sau đó giảm dạng mũ/ giảm hình sin

11, 22≠0Sau đó giảm dạng mũ/ giảm hình sin

1.2) Tiêu chuẩn Akaike và Schwarz

Sau đây ta xét 2 tiêu chuẩn để lựa chọn mô hình thích hợp, các tiêu chuẩn này cơ bản dựavào lược đồ tương quan Giả thiết d đã biết, chọn lựa p và q sao cho thích hợp

Akaike (1974) đề nghị:

n

q p q

p

2)ˆln(

)

,

),(min)

Khi đó p1 và q1 sẽ là giá trị thích hợp cho p và q.

Schwarz (1978) đề nghị:

n

n q p q

p

SIC( , )ln(ˆ2)(  ).ln( )

),(min)

2- Ước lượng mô hình ARIMA

Sau khi định dạng mô hình, ta xác định được d, là bậc của sai phân chuỗi xuất phát để thuđược chuỗi dừng Đối với chuỗi dừng này ta cũng xác định được p và q Ta có thể dùngphương pháp OLS để ước lượng mô hình ARIMA này

3- Kiểm tra, chẩn đoán

Bằng cách nào ta biết được mô hình đã chọn thích hợp với số liệu thực tế Nếu mô hình làthích hợp thì yếu tố ngẫu nhiên phải là nhiễu trắng

Do đó để xem mô hình có thích hợp không ta phải kiểm định tính dừng của các phần dư (từước lượng mô hình ARIMA) Dùng ADF để kiểm định xem phần dư etcó phải nhiễu trắngkhông

Nếu như etkhông phải nhiễu trắng thì phải định dạng lại mô hình, và quá trình này tiếp tụccho đến khi tìm được mô hình thích hợp

4- Dự báo

Sau khi đã ước lượng được mô hình tốt, ta dùng mô hình này để dự báo

Phần mềm Eviews có sẳn.

Thí dụ mum mum:

Xét chuỗi TD.

Chuỗi TD không dừng

Khoảng tin cậy 95% là : (-0.295481 ; 0.295481)

AC(1-8), AC(12) không thuộc KTC Bác bỏ H0: k=0

PAC(1), PAC(4-5) không thuộc KTC Bác bỏ H0: kk=0

p-value(Q-Stat) < 0.05: bác bỏ H0: 1=… = k=0

10Chấp nhận H0: chuỗi không dừng

Bác bỏ H0: chuỗi không dừng

Vậy chuỗi TD dừng (có chặn, có xu thế).

12Chấp nhận H0: chuỗi không dừng

Xét chuỗi D(TD).

Chuỗi D(TD) dừng

Khoảng tin cậy 95% là : (-0.29890 ; 0.29890)

AC(4), AC(12) không thuộc KTC Bác bỏ H0: k=0

PAC(2-4) không thuộc KTC Bác bỏ H0: kk=0

p-value(Q-Stat) < 0.05: bác bỏ H0: 1=… = k=0

Bác bỏ H0: chuỗi không dừng

Vậy chuỗi D(TD) dừng (không có chặn, không có xu thế).

Ta tìm mô hình ARIMA cho TD (có chặn, có xu thế).

Bây giờ, ta xét chuỗi TD theo AR(1), AR(4), AR(5) và theo chặn, biến xu thế

@TREND(1970:1)

Khoảng tin cậy 95% là : (-0.31385 ; 0.31385)

Tấc cả AC thuộc KTC Chấp nhận H0: k=0

Tấc cả PAC thuộc KTC Chấp nhận H0: kk=0

p-value(Q-Stat,9 và 11) < 0.05: Bác bỏ H0: 1=… = k=0

p-value(Q-Stat,các trễ còn lại) > 0.05: Chấp nhận H0: 1=… = k=0

Bác bỏ H0: chuỗi không dừng

Vậy chuỗi E dừng.

Vậy chuỗi TD là quá trình ARIMA(p,0,0), với p=1, 4, 5

Bây giờ, ta xét chuỗi TD theo AR(1), AR(4), AR(5), MA(4) và theo chặn, biến xu thế

18Genr E1=RESID

Khoảng tin cậy 95% là : (-0.31385 ; 0.31385)

Tấc cả AC thuộc KTC Chấp nhận H0: k=0 Trừ AC(9)

Tấc cả PAC thuộc KTC Chấp nhận H0: kk=0

Tất cả p-value(Q-Stat) > 0.05: Chấp nhận H0: 1=… = k=0

Bác bỏ H0: chuỗi không dừng

Vậy chuỗi E1 dừng.

Vậy chuỗi TD là quá trình ARIMA(p,0,q), với p=1, 4, 5 và q=4

Vậy ta sẽ chọn mô hình EQ01 hay EQ02?

Mô hình EQ01 Mô hình EQ02 Chọn

Vậy ta chọn EQ02

Thật là tuyệt!

Bây giờ ta dùng mô hình EQ02 để dự báo Ta dự báo các giá trị của td từ 1981:1 đến 1981:4.Mở rộng dữ liệu.

Khai báo dữ liệu

Kết quả nằm trong tdf

Hồi nãy, ta có D(TD) là chuỗi dừng (không chặn, không xu thế)

Ta tìm mô hình ARIMA cho D(TD)

Ta xét chuỗi D(TD) theo AR(2-4), MA(4)

Kiểm tra xem mô hình EQ03 thích hợp không.

Genr E2= RESID

24E2 là chuỗi dừng Vậy mô hình EQ03 là phù hợp.

Ta dự báo

Bài tập:Tìm mô hình ARIMA cho chuỗi GDP của Mỹø, từ 1970:1 đến 1991:4.

Sau đó dự báo 1992:1 đến 1992:4

File c4-hinh gioi thieu

HD LÀM BẰNG TAY: Để dự báo GDP chứ không phải sai phân của nó, ta có thể “thựchiện ngược” phép tính sai phân bậc 1 mà ta đã sử dụng để tính những thay đổi

Vậy để tính giá trị dự báo của GDP trong thời đoạn 1992-I, ta viết mô hình như sau:

III- Tự hồi quy vec tơ (VAR)

Ở chương 1 chúng ta đã xem xét mô hình nhiều phương trình Trong các mô hình này,một số biến được coi là nội sinh và một số được coi là ngoại sinh hay đã xác định trước(ngoại sinh cộng với nội sinh trễ) Trước khi ước lượng các mô hình này, ta phải bảo đảmchắc chắn rằng các phương trình trong hệ được định dạng Việc định dạng này thường được

thực hiện bằng cách giả thiết rằng một số biến được xác định trước chỉ có mặt trong một số phương trình Quyết định này thường mang tính chủ quan và đã bị Christopher Sims (1980)

chỉ trích

Theo Sims, nếu tồn tại mối quan hệ đồng thời giữa một số biến thì các biến này phảiđược xét có vai trò như nhau, không có sự phân biệt biến nội sinh và ngoại sinh Tất cả cácbiến đều là nội sinh

Dựa trên tinh thần đó, Sims đã xây dựng mô hình véc tơ tự hồi quy VAR của mình VAR làmô hình động của một số biến thời gian Mô hình này về cấu trúc gồm nhiều phương trình(vector) và có các trễ của các biến số (autoregressive)

Chúng ta xem hai chuỗi thời gian Y1, Y2 Mô hình VAR của hai biến này như sau:

Y1t=  + 1Y1,t -1+ 1Y2,t -1+ U1tY2t=  + 1Y1,t -1+ 1Y2,t -1+ U1tMô hình này gồm một véc tơ hai biến Y1, Y2và yếu tố tự hồi quy, trong mỗi phương trìnhcác biến độc lập là các biến phụ thuộc trễ

Mô hình tổng quát đối với Y1, Y2có dạng sau đây:

p

1 i

t 1 i t 2 i i

t 1 i t

p

1 i

t 2 i t 2 i i

t 1 i t

Phương pháp VAR ước lượng mô hình như sau:

 Mô hình VAR là một hệ phương trình đồng thời, trong đó tất cả các biến đều là cácbiến nội sinh

 Biến độc lập là các biến nội sinh ở các thời kỳ trễ