Th nh Viờn Tu i H c Trũ 123doc.org NH NG B I TO N V T Lí HAY Bài 1 : Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút x = 0 và x = l, biết độ lệch ban đầu đợc cho bởi u(x,0) = (0 x l) còn vận tốc ban đầu bằng 0. Giải : Gọi u(x,t) là độ lệch của thiết diện có hoành độ x ở thời điểm t. Ta có phơng trình dao động của dây : (1) Theo bài ra, ta có : điều kiện ban đầu : (2) và điều kiện biên : (3) Theo lý thuyết, ta có nghiệm riêng của phơng trình (1) thoả mãn điều kiện biên (3) có dạng : u(x,t) = (4) Ta xác định a k , b k sao cho u(x,t) thoả mãn điều kiện ban đầu (2) Thay (4) vào (2) : (5) (6) Giải (5) : Nhận thấy a k là hệ số trong khai triển thành chuỗi Fourier theo hàm sin trong khoảng (0, l). Nhân 2 vế của (5) với rồi lấy tích phân 2 vế từ 0 l ta có : (7) VT = = VT = (8) VP = Ta có : I 1 = I 2 = I 2 = - Nên VP = VP = (9) 2 )(4 l xlx 2 2 2 2 2 x u a t u = ( ) = = = = 0 4 0 2 0 t t x u l xlx u 0 0 = =x u 0= =lx u l xk l atk b l atk atxu k k k k k sin).sincos(),( 11 += = = 2 1 0 )(4 sin l xlx l xk au k k t == = = 0sin 1 0 == = = l xk l ak b t u k k t 2 )(4 l xlx l xk sin dx l xk l xlx dx l xk a ll k sin )(4 sin 0 2 2 0 = l k l k l k l xk k l x a dx l xk adx l xk a 0 0 2 0 sin 222 cos1 sin = = 2 l a k 2 l a k l l dx l xk xdx l xk xl l 0 0 2 2 sin.sin 4 k k l l xk k l l xk x k l dx l xk x l o l o l cossincos sin. 2 22 2 0 =+= dx l xk x k l l xk x k l dx l xk x l l o l cos. 2 cos sin. 0 2 0 2 += 33 3 33 33 2 cos 2 cos k l k k l k k l + ++ 33 33 33 33 2 2 coscos 2 cos 4 k l k k l k k l k k l l k k l k l l cos 224 33 3 33 3 2 nÕu nÕu Th nh Viên Tu i H c Tròà ổ ọ 123doc.org Thay (8) (9) vµo (7) ta cã : a k = = (n=0,1,2 ) u(x,t) = . )cos1( 2 . 8 33 3 3 π π k k l l − ( ) + =− 3 3 33 12 32 0 )cos1( 16 π π π n k k ( ) l xn l atn n n ππ π )12( sin )12( cos 12 132 0 33 ++ + ∑ ∞ = nÕu < π/2 nÕu > π/2 cx − cx − nk 2= 12 += nk Th nh Viờn Tu i H c Trũ 123doc.org Nên Giải(4) : * =-c 2 X(x)= c 1 .e -cx +c 2 .e cx * = 0 X(x) = c 1 .x + c 2 c 2 = A 0 ứng với trị riêng = 0 thì ta có hàm riêng tơng ứng X 0 (x) = A 0 (5) có nghiệm : T 0 (t) = B 0 .t + D 0 u 0 (x,t) = a 0 + b 0 t * =c 2 X(x) = c 1 cos cx + sin cx Để có nghiệm không tầm thờng thì sin cl = 0 cl = k c = khi đó c 1 =A k nên và do đó nghiệm riêng của phơng trình (1) : nghiệm của pt (1) : Từ (2) (6) (7) Nhận thấy a 0 , a k và b 0 , b k là các hằng số trong khai triển f(x),F(x) thành chuỗi Fourier theo hàm cosin trong khoảng (0,l). Từ (6) (7) Vì u 0 (x,t) là 1 nghiệm riêng của (1) nên =+ =+ )5(0 )4(0" 2'' TaT XX = = =+= =+= = = 0 0 0 0 2 1 21 21 0 c c eccecc x u cccc x u clcl lx x = = =+= =+= = = 0 0 0 0 1 2 21 21 0 c c cccc x u cccc x u lx x 0. 2 0 == = cc x u x 0sin 1 == = clcc x u lx l k l xk AxX k cos)( = l atk D l atk BtT kk sincos)( += ( ) l xk l atk b l atk atxu kkk cossincos, += = +++= 1 00 cossincos),( k kk l xk l atk b l atk atbatxu )(cos 0 0 0 xf l xk aau k k t =+= = = )(cos 0 0 0 xF l xk l ak bb t u k k t =+= = = l ak =+ ll k l dxxfdx l xk adxa 000 0 )(cos =+ ll k l dxxFdx l xk l ak bdxb 000 0 )(cos ( ) ( ) = = )(0, )(0, 0 0 xFx t u xfxu = ll dxxfdxa 00 0 )( = l dxxf l a 0 0 )( 1 = = 000 000 DAa BAb Th nh Viờn Tu i H c Trũ 123doc.org (8) (9) Tơng tự u k (x,t) là nghiệm riêng của (1) (10) (11) Vậy nghiệm của bài toán : u(x,t) = a 0 + b 0 t + . Trong đó : a 0 , b 0 , a k , b k đợc xác định bởi (8) , (19) , (10) , (11) Bài 5 : Một thanh đồng chất có độ dài 2l bị nén cho nên độ dài của nó còn lại là 2l(1-). Lúc t = 0, ngời ta buông ra. Chứng minh rằng độ lệch của thiết diện có hoành độ x ở thời điểm t đợc cho bởi: nếu gốc hoành độ đặt ở tâm của thanh. Giải: Chọn hệ trục toạ độ có gốc trùng với tâm của thanh . Trục ox dọc theo thanh Theo bài ra, thanh đồng chất có độ dài 2l bị nén thì độ dài còn lại của nó là 2l(1-) Do đó khi trục dịch chuyển 1 đoạn là x thì thanh bị nén x(1-) độ lệch u(x,0) = x(1-) x = - x Gọi u(x,t) là độ lệch của mặt cắt x ở thời điểm t Xét tiết diện có hoành độ x, do thanh đồng chất nên ở thời điểm t nó bị nén đến vị trí x(1 - ) và có độ lệch u(x,0) = - .x = f(x). Phơng trình dao động của thanh : (1) Theo bài ra, tại thời điểm t = 0 ng- ời ta buông ra tức vận tốc ban đầu = 0 chứng tỏ hai đầu mút của thanh đều tự do ta có điều kiện biên : ; (2) và điều kiện ban đầu : ; (3) Tìm nghiệm của phơng trình (1) dới dạng u(x,t) = X(x).T(t) (4) Từ (4) và (1) ta có : Bây giờ ta đi tìm nghiệm của phơng trình (5) thoả mãn điều kiện : X(-l) = 0 ; X(l) = 0 (7) == ll l dxxF l bdxxFdxb 0 0 0 0 0 )( 1 )( ( ) ( ) ( ) = = )(0, 0, xFx t u xfxu k k = ll k dx x xk xfdx x xk a 00 2 cos)(cos = l k dx l xk xf l a 0 cos)( 2 == l l l kk dx l xk xF ak bdx l xk xFdx l xk l ak b 0 0 0 2 cos)( 2 cos)(cos l xk l atk b l atk a k kk cossincos 1 = + l atn l xn n l txu n n )12( cos )12( sin )12( )1(8 ),( 0 2 1 2 ++ + = = + 2 2 2 2 2 x u a t u = 0 0 = =x x u 0= =lx x u )(. 0 xfxu t == = 0 0 = =t t u ( ) ( ) =+ =+ )6(0)(" )5(0)(" 2 tTatT xXxX Th nh Viờn Tu i H c Trũ 123doc.org Giải (5) : Đặt X = e rx ta có phơng trình đặc trng của (5) : r 2 + = 0 = -c 2 X(x) = c 1 e -cx + c 2 e cx Từ (7) c 1 = c 2 = 0 (loại) = 0 X(x) = c 1 x + c 2 Theo (7) : c 2 0 và c 2 = A 0 Nên X 0 (x) = A 0 ứng với trị riêng = 0 thì (6) có nghiệm : T 0 (t) = B 0 t + D 0 nên ta có nghiệm riêng của (1) u 0 (x,t) = a 0 + b 0 t (a 0 = A 0 D 0 ; b 0 = A 0 B 0 ) (8) = c 2 X(x) = c 1 cos cx + c 2 sin cx Theo (7) : Để (4) có nghiệm không tầm thờng thì sincl = 0 hoặc coscl = 0 + Xét sincl = 0 cl = k c = và c 1 = A k phơng trình (5) có nghiệm : ứng với phơng trình (6) có nghiệm tổng quát : Ta có nghiệm riêng của (1) thoả mãn điều kiện biên (2) : (9) + Xét coscl = 0 và Nên nghiệm riêng của (1) thoả mãn điều kiện biên (2) : (10) Từ (8),(9),(10) ta có nghiệm của phơng trình (1) thoả mãn điều kiện biên (2) chính là tổng của các nghiệm riêng của u(x,t) : Từ điều kiện ban đầu (3) : (11) == == 0)(' 0)(' 1 1 clX clX = = =+ =+ =+= =+= = = 0cos 0sin 0cossin 0cossin 0)cos()sin( 0)cos()sin( 2 1 21 21 21 21 clc clc clcclc clcclc clccclccc x u clccclccc x u lx lx l k ( ) l xk AxX kk sin= 2 == l k k ( ) l atk D l atk BtT kkk sincos += ( ) l xk l atk b l atk atxu kkk cossincos, += = = kkk kkk DAb BAa 2 )12( + = n cl l n c 2 )12( + = ( ) l xn AxX nn 2 )12( sin + = ( ) ( ) ( ) l atn D l atn BtT nnn 2 12 sin 2 12 cos + + + = ( ) l xn l atn b l atn atxu nnn 2 )12( sin 2 )12( sin 2 )12( cos, + + + + = = = nnn nnn DAb BAa ( ) ( ) ( ) l xn l atn b l atn a l xk l atk b l atk atbatxu n nn k kk 2 12 sin 2 12 sin 2 12 cos cossincos),( 0 1 00 + + + + + + +++= = = x l xn a l xk aau n n k k t . 2 )12( sincos 01 0 0 = ++= = = = Th nh Viên Tu i H c Tròà ổ ọ 123doc.org (12) Tõ (12) ⇒ b 0 = b k = b n = 0 (13) LÊy tÝch ph©n 2 vÕ cña (11) theo x cËn tõ (-l → l) v× b 0 = 0 ⇒ u 0 (x,t) = a 0 v× u 0 (x,t) lµ 1 nghiÖm riªng nªn u 0 (x,o) = -εx ⇒ a 0 = -εx → lÊy tÝch ph©n 2 vÕ ⇒ ⇒ 2a 0 l = (l 2 - l 2 ) = 0 ⇒ a 0 = 0 (14) v× b k = 0 ⇒ u k (x,t) = a k cos cos v× u k (x,t) lµ 1 nghiÖm riªng cña (1) nªn u k (x,0) = - εx Nh©n 2 vÕ víi cos vµ lÊy tÝch ph©n 2 vÕ cËn tõ (-l → l) VT = 0 2 )12( sin 2 )12( cos 01 0 0 = ++ ++= ∂ ∂ ∑∑ ∞ = ∞ = = l xn l an b l xk b l ak b t u n nk k t ππππ dxxdx l xn adx l xk adxa l l l l n l l k l l ∫∫∫∫ −−−− −= − ++ . 2 )12( sincos 0 ε ππ dxxdxa l l l l ∫∫ −− −= ε 0 l l l l x xa − − −= 2 2 0 ε 2 ε l atk π l xk π l xk π dx l xk xdx l xk a l l l l k π ε π cos.cos 2 ∫∫ −− −= la l k k l x a dx l xk a k l l k l l k = +=+ − − ∫ π π π 2 sin 22 ) 2 cos1( 2 dx l xk x l l ∫ − − π ε cos. ∫ − − +− l l l l dx l xk k l l xk x k l π π π π sinsin Th nh Viờn Tu i H c Trũ 123doc.org và mà nên (15) Thay (14), (15) vào (12) : (16) Thay (12) và (16) vào (11) ta có : (17) Từ (4), (9), (17) ta có nghiệm của (1) : Bài 9: Tìm nghiệm của phơng trình Với điều kiện ban đầu ban đầu bằng 0 và điều kiện biên ; Giải : Tơng tự bài 8) ta tìm nghiệm của pt (1) dới dạng : u(x,t) = V(x) + W(x,t) (2) Với V(x) thoả mãn phơng trình : (3) thoả mãn điều kiện biên : ; (4) Với W(x) thoả mãn phơng = l dx l xk shxI 0 2 sin 3 2 0 0 2 coscoscos. I k l kshl k l dx l xk chx k l l xk shx k l I l l +=+= dx l xk chxI l = 0 3 cos 2 0 0 3 sinsin. I k l dx l xk shx k l l xk chx k l I l l == k shll I k l I k l shl k l I k k .)1( 1)1( 1 2 22 2 2 22 22 2 + = += 222 1 2 )1( kl kshll I k + = + ( ) 2222 1 2 1 222 11 2 2)1(.2)1( )1(.)1(2 kla kshlb ka shlb kl kshll k shll la b a kkkk k + + = + = ++++ ( ) l xk l atk kla kshlb ka b txW k k k sincos 2)1(2)1( ),( 2222 1 1 2 1 + + = + = + l xk l atk kl k a shlb l xk l atk k a b shxshl l x a b txu k k k k sincos )( )1(2 sincos )1(2 ),( 1 222 1 2 1 22 = + = + + + = )( 2 2 2 2 2 lxbx x u a t u + = 0 0 = =x u 0= =lx u )( 2 2 2 2 2 lxbx x u a t u + = )( 2 2 lxbx t V = 0 0 = =x V 0= =lx V 2 2 2 2 x W t W = nếu k=2n nếu k=2n+1 Th nh Viờn Tu i H c Trũ 123doc.org trình : (5) thoả mãn điều kiện biên : ; (6) Giải (3) : Từ (4) (7) Ta có điều kiện ban đầu của pt (3) : (8) Mà phơng trình (5) có nghiệm : (9) Từ (2) và (8) (10) Từ (9) và (10) = = = = = = = = 0 0 = =x W 0= =lx W 1 232 23 )(')(" cx bl x b xVblxbxxV ++=+= 21 34 612 )( cxcx bl x b xV +++= ==++= == 3 11 4 4 2 12 0 612 )( 0)0( l b clc bl l b lV cV x bl x bl x b xV 12612 )( 3 34 += = += = = 0 12612 0 334 0 t t t V xl b x bl x b V ( ) l xk l atk b l atk atxw k kk sinsincos, 1 = += = +== = == 0 )2( 12 0 323 00 t tt t W llxxx b VW == += = = 00sin )2( 12 sin 1 323 1 k k k k k b l xk b l ak llxxx b l xk a ( ) 1 0 334 6 sin2 6 I l b dx l xk xllxx l b a l k =+= ( ) =+= dx l xk xllxxI l sin2 0 334 1 ( ) ( ) dx l xk llxx k l l xk xllxx k l l l cos64cos2 0 323 0 334 +++ ( ) dx l xk llxx k l l cos64 0 323 + ( ) ( ) ++ dx l xk xlx k l l xk llxx k l k l l l sin1212sin64 0 2 0 323 ( ) dx l xk xlx k l l sin1212 0 2 22 2 ( ) ( ) + dx l xk lx k l l xk xlx k l k l l l cos2 12 cos 12 0 0 2 22 2 ( ) dx l xk lx k l l cos2 12 0 33 3 ( ) + ll l xk k l l xk lx k l 0 22 2 0 33 3 cos 2 sin2 12 )1cos( 24 55 5 1 = k k l I ( ) + 5 5 5 12 48 0 n l Th nh Viờn Tu i H c Trũ 123doc.org (11) Thay (11) vào (9) : (12) Từ (2), (7), (12) ta có nghiệm của bài toán đã cho : Bài 10 : Tìm dao động của sợi dây gắn chặt tại 2 mút biết dạng của sợi dây ban đầu là cung parabol f(x) = và vận tốc ban đầu bằng không , đồng thời g(x,t) = g với g là hằng số dơng đủ nhỏ . Giải :Ta tìm nghiệm của phơng trình (1) thoả mãn các điều kiện biên (2) và các điều kiện ban đầu (3) dới dạng : u(x,t) = V(x,t) + w(x,t) (4) trong đó : hàm V(x,t) thoả mãn phơng trình : (5) thoả mãn các điều kiện biên (6) và các điều kiện ban đầu 55 4 )12( 8 + = n bl a k = + ++ = 0 55 4 )12( )12( sin )12( cos 8 ),( n n l xn l atn bl txW = + ++ ++= 0 55 4 323 )12( )12( sin )12( cos 8 )2( 12 ),( n n l xn l atn bl llxxx b txu ( ) M xlx g x u a t u + = 2 2 2 2 2 0;0 0 == == lxx uu ( ) 0 0 ; = = = t t t u M xlx u g x v a t v + = 2 2 2 2 2 0;0 0 == == lxx vv 0;0 0 0 = = = = t t t v v Th nh Viờn Tu i H c Trũ 123doc.org (7) còn hàm w(x,t) thoả mãn phơng trình : (8) thoả mãn các điều kiện biên : (9) và các điều kiện ban đầu (10) Trớc hết ta giải phơng trình (5) thoả mãn điều kiện (6) : Nghiệm của phơng trình (5) đợc tìm dới dạng : (11) Ta sẽ xác định T k (t) sao cho (11) thoã mãn phơng trình (5) với các điều kiện ban đầu (7) : Thế (11) vào (5) ta đợc : (12) Giả sử g có thể khai triển đợc thành chuỗi Fourier theo hàm sin trong khoảng (0,l) : trong đó (13) (14) Từ (12),(13),(14) ta có phơng trình : 2 2 2 2 2 x w a t w = 0;0 0 == == lxx ww ( ) 0; 0 0 = = = = t t t w M xlx w l xk tTtxV k k sin)(),( 1 = = ( ) ( ) g l xk tT l ak tT k kk = + = sin 0 2 222 " l xk fg k k sin 1 = = dx l xk g l f l k = 0 sin 2 ( ) 1cos 2 cos 2 0 == k k g l xk k g f l k ( ) [ ] k k k g f 11 2 = ( ) ( ) ( ) [ ] k kk k g tT l ak tT 11 2 2 222 " =+ ( ) ( ) [ ] k kkk ak gl l atk B l atk AtT 11 2 sincos 233 2 ++= [...]... ( 2n + 1)x l l (20) Từ (4) ,(17) ,(20) ta có nghiệm của bài toán : 4 gl 2 u ( x, t ) = 3 2 a 1 ( 2n + 1) n=0 3 ( 2n + 1)at sin ( 2n + 1)x + 1 cos l l + u ( x, t ) = 4l 2 3 8l 2 3M 1 ( 2n + 1) n =0 3 cos ( 2n + 1)at sin ( 2n + 1)x l l 2 g ( 2n + 1)at + g sin ( 2n + 1)x Hay 2 cos ( 2n + 1) 3 M a l l a2 n=0 Dạng 2 : 1 Bài toán có điều kiện biên khác 0 Nghiệm của phơng trình : ... k a.l a a l a l (1) k sin l (23) Thnh Viờn Tui Hc Trũ 123doc.org thay (22), (23) vào (18) ta đợc: V ( x, t ) = 2A ( 1) k +1 kat kx sin sin (24) 2 2 a.l k =1 k l l Từ (4), (16), (24) ta có nghiệm của a l bài toán đẵ cho : A sin x sin t 2Aa (1) k +1 kat kx Bài 2 : Tìm a U ( x, t ) = + sin sin 2 dao động l l k =1 2 ka l l sin dọc của một a l... của phơng trình (5) dới dạng : W(x,t) = X(x).T(t) (10) Thay (10) vào (5) ta có : Từ (6) và (10) ta có : X " ( x) + X ( x) = 0 (11) w = X (0).T (t ) = 0 ( )=0 a 2T T " (tx=+X (l ).T(tt)) = 0 sin12t) w x =l ( =A Để có nghiệm không tầm th- ờng tức T(t) 0 thì X(0) = 0; X(l) = B (13) T (t ) = (12) : = A sin t B Khi đó : (14) Thay (14) vào A Thay = X " ( x) + X ( x) = 0 vào (11) : a a B 2... Y ( y ) = 0 (3.10) Giải (3.9) ,(3.10) và kết hợp điều kiện (3.7) ta tìm đợc nghiệm V(x,y) ứng với trị riêng ta hoàn toàn tìm đợc nghiệm của phơng trình (3.5) Sau đây là một số bài toán cụ thể : u t =0 = Axy (b x)(b y ) Bài 1: Một màng hình vuông đồng chất lúc t = 0 có độ lệch đợc xác định bởi trong đó 0 x b, 0 y b, dao động với vận tốc ban đầu bằng 0, mép gắn chặt Hãy xác định dao động của... 3 ( 2q + 1) 3 6 [ 2 ( 2 p + 1) 2 + ( 2q + 1) 2 2 b b (17) ] ( 2 p + 1) 2 + ( 2q + 1) 2 Từ (12), (14), (17) ta có nghiệm của bài toán đã cho : U ( x, t ) = 64 Ab 6 4 p =0 q =0 sin (2 p + 1) x ( 2q + 1) x sin a b b cos (2 p + 1) 2 + (2q + 1) 2 t 3 3 b (2 p + 1) ( 2q + 1) Bài 2 : Một màng hình chữ nhật 0 x l , 0 y m , gắn chặt ở mép , lúc t = 0 bị một xung lợng tập trung tại tâm của màng sao... 0; + h( u u0 ) = 0 x x =0 x x =l - các mút cách nhiệt : dới dạng u(x,t) = X(x).T(t) và sử dụng phơng pháp tách biến ta sẽ tìm đợc nghiệm của phơng trình Sau đây là một số các bài toán : u x = 0; x =0 u x =0 x =l Bài 1: Tìm nghiệm của phơng trình : u 2u = a 2 2 (1) t t trong miền (0 < x < l,t > 0) thoả mãn các điều kiện biên u(0,t) = 0 ; u(l,t) = 0 và các điều kiện ban đầu : nếu 0U ( x,0 = ... sin + 2 2 sin 2 k k 2 2 2 k 2 2 2 2 do đó nếu I2 = l2 k sin 2 2 2 k k = 2n 0 4l k a k = 2 2 sin k = ( 1) n 4l = 2n+1 nếu 2 k 2 2 Vậy nghiệm của bài toán : ( 2n + 1) 2 ( 2 n +1) a n t 4l ( 1) ( 2n + 1)x U ( x, t ) = 2 e l sin 2 Bài 2 : Một thanh l n =0 ( 2n + 1) đồng chất có độ dài l , hai mút đợc giữ ở nhiệt độ không nhiệt độ ban đầu trong thanh đợc cho bởi : u t =0 = cx( l x... l 0 k l 0 l k k l 2lc a k = 3 3 [ cos k 1] 2 k l l ( ) ( ) nếu nếu = k=2n k=2n+1 Thnh Viờn Tui Hc Trũ 123doc.org 0 4c a k = 3 3 [ cos k 1] k 8c ( 2n + 1) 3 3 Nên nghiệm của bài toán : Bài 3: Một thanh đồng chất có độ dài l ,mút x U ( x, t ) = 8c 3 = 0 đợc giữ ở nhiệt độ không còn tại mút x = l 1 ( 2n + 1) n =0 3 e ( 2 n +1) a t l 2 sin ( 2n + 1)x l có sự trao đổi nhiệt... sin kn x, y,) = = 2 sinsin 2 n 2 2k l 2 m 2 à kn = + l m l m kn , 4A kx ny 2 2 U ( x, t ) = à kn ( x, y ) sin l sin m alm k =1 n =1 kn Thnh Viờn Tui Hc Trũ 123doc.org Dạng 1 : Bài toán có điều kiện biên bằng 0 Ta tìm nghiệm của phơng trình : u 2u = = ( x )2 a2 trong miền {0 . i H c Trũ 123doc.org nên w(x,t) = (20) Từ (4) ,(17) ,(20) ta có nghiệm của bài toán : Hay Dạng 2 : Bài toán có điều kiện biên khác 0 Nghiệm của phơng trình : (2.1) trong miền ( 0<x<l. ) + 5 5 5 12 48 0 n l Th nh Viờn Tu i H c Trũ 123doc.org (11) Thay (11) vào (9) : (12) Từ (2), (7), (12) ta có nghiệm của bài toán đã cho : Bài 10 : Tìm dao động của sợi dây gắn chặt tại 2 mút biết. = = = = = a l a x A t W W t t . sin . sin 0 0 0 l axk l atk b l atk atxV k kk sinsincos),( 1 = += = = = = a l a x A t V V t t . sin . sin 0 0 0 0sin 1 = = l xk a k k a l a x A l xk l ak b k k . sin . sin. sin 1 = = dx l xk a x a l A dx l xk l ak b ll k sin . sin . sin . sin 0 2 0 = I a l Al l ak b k = . sin . 2 dxx l k a x l k a dx l xk a x I ll + == 00 coscos 2 1 sin . sin dxx l k a x l k a ll + 00 coscos 2 1 = + + ll x l k a l k a x l k a l k a 00 sin 1 sin 1 2 1 + + l k a k a l l k a k a l sinsin 2 1 22 .sin)1( 2 sin)1( 2 sin)1( = + l k a l k a l l k a a l l k a a l kkk = = + + 22 1 22 1 . .2.)1( sin.)1( sin . 2 l k a la A l k a l a l k a l A ak b k k k Th nh Viờn Tu i H c Trũ 123doc.org thay (22), (23) vào (18) ta đợc: (24) Từ (4), (16), (24) ta có nghiệm của bài toán đẵ cho : Bài 2 : Tìm dao động dọc của một thanh đồng chất