Những bài toán hay trong quan hệ vuông góc

GV: NGUYN C KIấN 01649802923 CHNG 3. HèNH HC 11 1 BI 1: VECTO TRONG KHễNG GIAN A. Lí THUYT 1. nh ngha v cỏc phộp toỏn nh ngha, tớnh cht, cỏc phộp tn v vect trong khụng gian c xõy dng hn tn tng t nh trong mt phng. Lu ý: + Qui tc ba im: Cho ba im A, B, C bt k, ta cú: AB BC AC + Qui tc hỡnh bỡnh hnh: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD, ta cú: AB AD AC + Qui tc hỡnh hp: Cho hỡnh hp ABCD.ABCD, ta cú: ' ' AB AD AA AC + Hờù thc trung im on thng: Cho I l trung im ca on thng AB, O tu ý. Ta cú: 0 IA IB ; 2 OA OB OI + H thc trng tõm tam giỏc: Cho G l trng tõm ca tam giỏc ABC, O tu ý. Ta cú: 0; 3 GA GB GC OA OB OC OG + H thc trng tõm t din: Cho G l trng tõm ca t din ABCD, O tu ý. Ta cú: 0; 4 GA GB GC GD OA OB OC OD OG + iu kin hai vect cựng phng: ( 0) ! : a vaứ b cuứng phửụng a k R b ka + im M chia on thng AB theo t s k (k 1), O tu ý. Ta cú: ; 1 OA kOB MA kMB OM k 2. S ng phng ca ba vect Ba vect c gi l ng phng nu cỏc giỏ ca chỳng cựng song song vi mt mt phng. iu kin ba vect ng phng: Cho ba vect , , a b c , trong ú a vaứ b khụng cựng phng. Khi ú: , , a b c ng phng ! m, n R: c ma nb Cho ba vect , , a b c khụng ng phng, x tu ý. Khi ú: ! m, n, p R: x ma nb pc 3. Tớch vụ hng ca hai vect Gúc gia hai vect trong khụng gian: 0 0 , ( , ) (0 180 ) AB u AC v u v BAC BAC Khi xỏc nh gúc ca 2 vecto ko cựng gc ta phi c gng a v cựng gc xỏc nh gúc bng cỏch dng vecto bng vecto ban u Tớch vụ hng ca hai vect trong khụng gian: + Cho , 0 u v . Khi ú: . . .cos( , ) u v u v u v + Vi 0 0 u hoaởc v . Qui c: . 0 u v www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 2 +        . 0 u v u v B. BÀI TẬP DẠNG 1: Chứng minh đẳng thức vecto Pp: Dùng các quy tắc, công thức đã học để cm: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là một hình chữ nhật. Chứng minh rằng: a. SA SC SB SD        b. 2 2 2 2 SA SC SB SD        Giải a. Gọi O là tâm của hình chữ nhật. Vì OA – OC nên: 2 SA SC SO      (1) Vì OB = OD nên 2 SB SD SO      (2) So sánh (1) và (2) ta suy ra SA SC SB SD        b. Ta có: 2 2 2 ( ) 2 . SA SO OA SO OA SOOA             Mà 0 OA OC      nên 2 2 2 2 2 2 SA SC SO OA OC          Tương tự ta có: 2 2 2 2 2 2 SB SD SO OB OD          Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có OA OB OC OD        Từ đó suy ra 2 2 2 2 SA SC SB SD        Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng: a. 2 AD BC AC BD MN          b. 0 GA GB GC GD          c. 4 PA PB PC PD PG          với P là một điểm bất kì. Giải: a. Ta có: MN MA AD DN        và MN MB BC CN        Suy ra: 2 ( ) ( ) MN MA MB AD BC DN CN              Vì 0 MA MB DN CN          nên 2 MN AD BC      Ta suy ra: 2 AD BC AC BD MN          b. Vì 2 , 2 , 0 GA GB GM GC GD GN GM GN                nên 0 GA GB GC        c. Với điểm P bất kì, từ kết quả trên ta có: Hình 6.2 O D C B A S Hình 6 .3 D C B G N M A www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 PA PG PB PG PC PG PD PG                  Do đó: 4 PA PB PC PD PG          DẠNG 2. chứng minh 3 vecto đồng phẳng và phân tích một vecto theo 3 vecto ko đồng phẳng Pp:  Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách: + Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng. + Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n  R:      c ma nb thì    , , a b c đồng phẳng  Để phân tích một vectơ  x theo ba vectơ    , , a b c không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho:        x ma nb pc BÀI TẬP Bài 1: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các điểm M,N sao cho ( 0) AM BN k k AC BD    . Chứng minh rằng ba vectơ , , PQ PM PN    đồng phẳng. Giải: Vì Q là trung điểm của cạnh DC nên ta có: 1 1 ( ) [( ) ( ) 2 2 1 [( ) ( )] 2 PQ PC PD AC AP BD BP AC BD AP BP                      Vì 0 AP BP      nên 1 ( ) 0 2 PQ AC BD        Theo giả thiết ta có 1 AC AM k    và 1 BD BN k    Do đó 1 ( ) 2 PQ AM BN k      Vì: AM AP PM      và BN BP PN      nên 1 ( ) 2 PQ AP PM BP PN k          Vậy: 1 1 2 2 PQ PM PN k k      Từ hệ thức trên ta suy ra ba vectơ , , PQ PM PN    đồng phẳng BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 1. Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngồi mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho     2 MS MA và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho     1 2 NB NC . Chứng minh rằng ba vectơ    , , AB MN SC đồng phẳng. HD: Chứng minh      2 1 3 3 MN AB SC . 2. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi M, N, I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các cạnh AE, CG, AD, DH, GH, FG; P và Q lần lượt là trung điểm của NG và JH. a) Chứng minh ba vectơ    , , MN FH PQ đồng phẳng. Q P Hình 6.4 D C B G N M A www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 4 b) Chứng minh ba vectơ    , , IL JK AH đồng phẳng. HD: a)    , , MN FH PQ có giá cùng song song với (ABCD). b)    , , IL JK AH có giá cùng song song với (BDG). 3. Cho hình lăng trụ ABC.DEF. Gọi G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của AE, EC, CD, BC, BE. a) Chứng minh ba vectơ    , , AJ GI HK đồng phẳng. b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên AF và CE sao cho   1 3 FM CN FA CE . Các đường thẳng vẽ từ M và N song song với CF lần lượt cắt DF và EF tại P và Q. Chứng minh ba vectơ    , , MN PQ CF đồng phẳng. 4. Cho hình hộp ABCD.ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD; G và G lần lượt là trọng tâm của các tứ diện ADMN và BCCD. Chứng minh rằng đường thẳng GG và mặt phẳng (ABBA) song song với nhau. HD: Chứng minh        1 ' 5 ' 8 GG AB AA     , ', ' AB AA GG đồng phẳng. 5. Cho ba vectơ    , , a b c không đồng phẳng và vectơ  d . a) Cho      d ma nb với m và n  0. Chứng minh các bộ ba vectơ sau không đồng phẳng: i)    , , b c d ii)    , , a c d b) Cho        d ma nb pc với m, n và p  0. Chứng minh các bộ ba vectơ sau không đồng phẳng: i)    , , a b d ii)    , , b c d iii)    , , a c d HD: Sử dụng phương pháp phản chứng. 6. Cho ba vectơ    , , a b c khác  0 và ba số thực m, n, p  0. Chứng minh rằng ba vectơ                , , x ma nb y pb mc z nc pa đồng phẳng. HD: Chứng minh        0 px ny mz . 7. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có          ' , , AA a AB b AC c . Hãy phân tích các vectơ   ' , ' B C BC theo các vectơ    , , a b c . HD: a)        ' B C c a b b)        ' BC a c b . 8. Cho tứ diện OABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. a) Phân tích vectơ  OG theo các ba    , , OA OB OC . b) Gọi D là trọng tâm của tứ diện OABC. Phân tích vectơ  OD theo ba vectơ    , , OA OB OC . HD: a)          1 3 OG OA OB OC b)          1 4 OD OA OB OC . 9. Cho hình hộp OABC.DEFG. Gọi I là tâm của hình hộp. a) Phân tích hai vectơ   OI vaø AG theo ba vectơ    , , OA OC OD . b) Phân tích vectơ  BI theo ba vectơ    , , FE FG FI . HD: a)          1 2 OI OA OC OD ,         AG OA OC OD . b)        BI FE FG FI . 10. Cho hình lập phương ABCD.EFGH. a) Phân tích vectơ  AE theo ba vectơ    , , AC AF AH . b) Phân tích vectơ  AG theo ba vectơ    , , AC AF AH . HD: a)          1 2 AE AF AH AC b)          1 2 AG AF AH AC . www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 5 DẠNG 3. Hai đường thẳng vuông góc PP: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng đó bằng 90 0 . Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó vuông góc với nhau. Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …). BÀI TẬP Bài 1: Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối diện là AB và CD, AC và DB vuông góc với nhau. Chứng minh rằng a) . . . 0 AB CD AC DB AD BC          b) cặp cạnh đối diện còn lại là AD và BC cũng vuông góc với nhau. Giải: a): . . . 0 ABCD AC DB AD BC          Ta có: . .( ) . . (1) . .( ) . . (2) . .( ) . . (3 AB CD AB AD AC AB AD AB AC AC DB AC AB AD AC AB AC AD AD BC AD AC AB AD AC AD AB                                        ) Từ (1), (2), (3) ta suy ra . . . 0 ABCD AC DB AD BC          b) theo câu a, nếu ABCD nghĩa là . 0 AB CD    và AC  DB nghĩa là . 0 AC DB    thì từ hệ thức (4) ta suy ra . 0 AD BC    nghĩa là AD  BC. Bài 2:( VD2 trang 170 TT vân anh) Bài 3 ( VD1: trang 385 L H Đ) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và      ASB BSC CSA . Chứng minh rằng SA  BC, SB  AC, SC  AB. HD: Chứng minh   . SA BC = 0 2. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD. a) Chứng minh AO vuông góc với CD. b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa AC và BM. HD: b)   3 cos( , ) 6 AC BM . 3. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. a) CMR đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối diện thì vuông góc với 2 cạnh đó. b) Tính góc hợp bởi các cạnh đối của tứ diện. HD: b)    2 2 2 2 2 2 2 2 2 arccos ; arccos ; arccos a c b c a b b a c . 4. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB là tam giác vuông cân tại A, M là điểm trên cạnh AD (M  A và D). Mặt phẳng (P) qua M song song với mp(SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q. a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông. b) Đặt AM = x. Tính diện tích của MNPQ theo a và x. www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 6 5. Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng AC  BD, AB  CD, AD  CB. BÀI 2: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa d  (P)  d  a, a  (P) 2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng           , ( ), ( ) , a b P a b O d P d a d b 3. Tính chất  Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.         ( ) ( ) a b P b P a          ( ), ( ) a b a b a P b P         ( ) ( ) ( ) ( ) P Q a Q a P          ( ) ( ) ( ) ) ( ) ,( ) P Q P Q P a Q a         ( ) ( ) a P b a b P          ( ) ) ,( ) a P a P a b P b 4. Định lí ba đường vuông góc Cho   ( ), ( ) a P b P , a là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b  a  b  a 5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng  Nếu d  (P) thì    ,( ) d P = 90 0 .  Nếu  ( ) d P thì    ,( ) d P =    , ' d d với d là hình chiếu của d trên (P). Chú ý: 0 0     ,( ) d P  90 0 . B. BÀI TẬP DẠNG 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mp. Hai đường thẳng vuộng góc Pp: chứng minh đường thẳng vuông góc với mp 1. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với 2 đường thẳng b và c cắt nhau nằm trong mặt phẳng () . ( ), ( ), c ( ) , b c b x a a b a c             2. Chứng minh đường thẳng a song song với b và b vuông góc với mặt phẳng (). // ( ) ( ) a b a b         3. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mp() và () song song () ( )//( ) ( ) ( ) a a           4. Chứng minh a là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  () www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 7 5. Chứng minh đường thẳng a nằm trong () và vuông góc với giao tuyến b của hai mặt phẳng () và () vuông góc nhau. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b a a b                  6. Chứng minh đường thẳng a là giao tuyến của hai mặt phẳng () và() cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba (). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a                   Pp: chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng 1. Dùng định nghĩa :  ( , ) 90 o a b a b    2. Dùng tích vô hướng Với u,v   là vectơ chỉ phương của a và b thì a  b  u v .   = 0 3. Chứng minh đường thẳng a vuông góc đường thẳng c song song với b //b c a b a c       4. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng () chứa đường thẳng b. ( ) ( ) a a b b          5. Chứng minh a và b đồng phẳng rồi áp dụng tính chất trong hình học phẳng như : Pytago đảo, trung tuyến tam giác cân, tính chất đường cao, … 6. Chứng minh a nằm trong mp () và a vuông góc với hình chiếu b’ của b trên mặt phẳng () (định lí 3 đvg) ( ) ( ) ' a a b a b b ch           7. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với một mp (P) và (P) song song với đường thẳng b ( ) //( ) a P a b b P       Bài tập Bài 1. Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có ABC là tam giác vuông tại B. a. Chứng minh BC vuông góc với mặt phẳng (SAB) và BC SB. b. Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh AH SC. Bài 2. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB và SD. a. Chứng minh BC (SAB), CD (SAD), BD (SAC) b. Chứng minh SC (AHK) và HK (SAC). Bài 3. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có SA = SC, SB = SD. www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 8 a. Chứng minh đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD. Chứng minh MN (SAC). Bài 4: (ĐH Khối B năm 2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CD, A’D’. Chứng minh: ' MP C N  . Giải: Gọi E là trung điểm CC’. Ta có: ME// A’D’, ( ' ') MP MED A  (1) Hai tam giác vuông C’CN và D’C’E bằng nhau     0 ' ' ' ' ' 90 ' ' CNC C ED CC N C NC C N ED        (2) Do ME // BC ( ' ') ' ME CDD C ME C N     (3) Từ (2) và (3) ' ( ' ') ' C N MED A C N MP     Bài 5: (ĐH Khối A năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAD là tam giác đều và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD. Chứng minh AM  BP. Giải : Gọi H là trung điểm AD, do tam giác SAD đều nên SH  AD Vì (SAD)  (ABCD), suy ra SH  (ABCD) suy ra SH  BP (1) Dễ thấy hai tam giác vuông BPC và CHD bằng nhau, nên ta có     0 90 CBP DCH CBP HCB BP CH       (2) Từ (1) và (2) suy ra:   BP SHC  (3) Do HC // AN, MN // SC     / / SHC MAN  (4) Từ (3) và (4) suy ra:   BP MAN AM BP    (đpcm) Bài 6: (ĐH khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của điểm D qua trung điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, BC. Chứng minh MN BD  Giải Ta có SEAD là hình bình hành / / SE DA  và SE = DA  SEBC cũng là hình bình hành / / SC EB  Gọi P là trung điểm của AB. Khi đó trong các tam giác EAB và ABC ta có MP // EB, PN // AC. Từ đó suy ra (MNP) // (SAC) (1) Ta có DB AC  và   SH (ABCD) BD SH do    BD SAC   (2) Từ (1) và (2) suy ra:   DB MNP BD MN    (đpcm) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 1. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông tâm O. SA  (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD. a) CMR: BC  (SAB), CD  (SAD), BD  (SAC). H M N P A C B D S N P N M E H D C B A S www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 9 b) CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra 3 đường thẳng AH, AI, AK cùng nằm trong một mặt phẳng. c) CMR: HK  (SAC). Từ đó suy ra HK  AI. 2. Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA  (ABC). a) Chứng minh: BC  (SAB). b) Gọi AH là đường cao của SAB. Chứng minh: AH  SC. 3. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết: SA = SC, SB = SD. a) Chứng minh: SO  (ABCD). b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. CMR: IJ  (SBD). 4. Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều. Gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh: BC  (AID). b) Vẽ đường cao AH của AID. Chứng minh: AH  (BCD). 5. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mp(ABC). Chứng minh rằng: a) BC  (OAH). b) H là trực tâm của tam giác ABC. c)    2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC . d) Các góc của tam giác ABC đều nhọn. 6. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SAD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Tính các cạnh của SIJ và chứng minh rằng SI  (SCD), SJ  (SAB). b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. CMR: SH  AC. c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho: BM  SA. Tính AM theo a. HD: a) a, 3 , 2 2 a a c) 5 2 a 7. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a 2 . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. a) CMR: SH  (ABCD). b) Chứng minh: AC  SK và CK  SD. 8. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3 , mặt bên SBC vuông tại B, mặt bên SCD vuông tại D có SD = a 5 . a) Chứng minh: SA  (ABCD) và tính SA. b) Đường thẳng qua A và vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là hình chiếu của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, SD với mp(HIJ). CMR: AK  (SBC), AL  (SCD). c) Tính diện tích tứ giác AKHL. HD: a) a 2 . c) 2 8 15 a . 9. Gọi I là 1 điểm bất kì ở trong đường tròn (O;R). CD là dây cung của (O) qua I. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) tại I ta lấy điểm S với OS = R. Gọi E là điểm đối tâm của D trên đường tròn (O). Chứng minh rằng: a) Tam giác SDE vuông tại S. b) SD  CE. c) Tam giác SCD vuông. 10. Cho MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P). Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A ta lấy 2 điểm C, D ở hai bên điểm A. Gọi C là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC. a) Chứng minh: CC  (MBD). b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB. CMR: K là trực tâm của BCD. 11. Cho hình tứ diện ABCD. a) Chứng minh rằng: AB  CD  AC 2 – AD 2 = BC 2 – BD 2 . www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 10 b) Từ đó suy ra nếu một tứ diện có 2 cặp cạnh đối vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối còn lại cũng vuông góc với nhau DẠNG 2: góc giữa đường và mặt Pp: Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).  Tìm giao điểm O của a với (P).  Chon điểm A  a và dựng AH  (P). Khi đó    ( ,( )) AOH a P BÀI TẬP 1. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SO  (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC. Biết   0 ( ,( )) 60 MN ABCD . a) Tính MN và SO. b) Tính góc giữa MN và (SBD). HD: a) MN = 10 2 a ; SO = 30 2 a b) sin   5 ( ,( )) 5 MN SBD . 2. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA  (ABCD) và SA = a 6 . Tính góc giữa: a) SC và (ABCD) b) SC và (SAB) c) SB và (SAC) d) AC và (SBC) HD: a) 60 0 b) arctan 1 7 c) arcsin 1 14 d) arcsin 21 7 . 3. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA  (ABCD). Cạnh SC = a hợp với đáy góc  và hợp với mặt bên SAB góc . a) Tính SA. b) CMR: AB = a       cos( ).cos( ) . HD: a) a.sin  4. Cho hình chóp SABC, có ABC là tam giác cân, AB = AC = a,    BAC . Biết SA, SB, SC đều hợp với mặt phẳng (ABC) góc . a) CMR: hình chiếu của S trên mp(ABC) là tâm của đường tròn ngoại tiếp ABC. b) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABC). HD: b)   .sin 2 cos a . 5. Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy là tam giác đều cạnh a, AA  (ABC). Đường chéo BC của mặt bên BCCB hợp với (ABBA) góc 30 0 . a) Tính AA. b) Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến (BAC). c) Gọi N là trung điểm của cạnh BB. Tính góc giữa MN và (BAC). HD: a) a 2 . b) 66 11 a . c) arcsin 54 55 . 6. Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; AA  (ABC). Đoạn nối trung điểm M của AB và trung điểm N của BC có độ dài bằng a, MN hợp với đáy góc  và mặt bên BCCB góc . a) Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a và . b) Chứng minh rằng: cos = 2 sin. HD: a) AB = AC = 2a.cos  ; BC = 2a 2 cos  ; AA  = a.sin  . www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com [...]... định lý ba đường vuông góc, suy ra MO  BC Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông AOM 1 1 1   2 2 OH OA OM 2 ta có M B (1) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OBC ta có Từ (1) và (2) suy ra 1 1 1 (2)  2 2 OM OB OC 2 1 1 1 1     đpcm 2 2 2 OH OA OB OC 2 Nhận xét : Đây là một trong các kết quả cơ bản nhất, nhưng có một ứng dụng rất to lớn trong các bài toán về quan hệ vuông góc của hình học... là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b b' Tuy nhiên nếu a và b có cấu trúc dặc biệt (thí dụ a và b B' M vuông góc với nhau …) thì ta lại có cách xử lý tương ứng a P và đơn giản hơn BÀI TẬP BÀI 1 Trình bày cách dựng đường vuông góc chung với hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau Giải : a Giả sử 2 đường thẳng a, b chéo nhau và vuông góc nhau Dựng (P) qua b vuông góc với...  ( P ) : a  (Q) * Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia Tóm tắt : (P)  (Q), (P)  (Q) = c, a  ( P ), a  c  a  (Q ) * Nếu 2 mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là điểm nằm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P) Tóm tắt : (P)  (Q), A  (... rằng góc giữa 2 mặt phẳng đó bằng 0 o b)Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng cắt nhau: Cho (P)  (Q) = c, lấy I bất kì thuộc c Trong (P) qua I kẻ a  c .Trong (Q) qua I kẻ b  c Khi đó góc (P), (Q) = góc (a, b) c)Diện tích hình chiếu của đa giác: S’ = S cos  Với S là diện tích đa giác nằm trong (P), S’ là diện tích hình chiếu vuông góc của đa giác đó trên (Q),  = góc ((P), (Q)) 2.Hai mặt phẳng vuông góc: ... có đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA = a 2 Vẽ đường cao AH của tam giác SAB a) CMR: SH 2  SB 3 b) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB (P) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện HD: b) S = 5a2 6 18 HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC A.LÝ THUYẾT: 1 .Góc giữa hai mặt phẳng: a) Định nghĩa: Góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt... ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a Tính góc giữa các cặp mặt phẳng: a) (SBC) và (ABC) b) (SAB) và (SBC) c) (SBC) và (SCD) HD: a) 45 0 b) 60 0 c) arccos 6 3 DẠNG 2: chứng minh 2mp vuông góc Pp: +) Chứng minh mặt phẳng này chứa 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia +) Dựa vào cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng BÀI TẬP Bài 1: Cho hình chóp S ABC có SA  (ABC) Trong tam giác... minh 2 mặt phẳng (SAM) và (SMN) 2 4 vuông góc với nhau Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ BB và CC cùng vuông góc với mp(ABC) a) Chứng minh (ABB)  (ACC) b) Gọi AH, AK là các đường cao của ABC và ABC Chứng minh 2 mặt phẳng (BCCB) và (ABC) cùng vuông góc với mặt phẳng (AHK) Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy Gọi I là trung điểm của... diện tích thiết diện trong các trường hợp sau: a) (P) qua S và vuông góc với BC b) (P) qua A và vuông góc với trung tuyến SI của tam giác SBC c) (P) qua trung điểm M của SC và vuông góc với AB HD: 5 a2 15 20 Cho tứ diện SABC với ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a SA  (ABC) và SA = a 3 M là 1 điểm tuỳ ý trên cạnh AB, đặt AM = x (0 < x < a) Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB a) Tìm... a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc của chúng bằng 90 o CHƯƠNG 3 HÌNH HỌC 11 www.DeThiThuDaiHoc.com 11 www.MATHVN.com GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 + Hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau, kí hiệu : (P)  (Q) hay (Q)  (P) b)Tính chất : * Điều kiện cần và đủ để 2 mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia Tóm tắt : (P)... 3 BÀI 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O và SA  (ABCD) SA = a 6 a) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của các đường thẳng SC và BD b) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của SC và AD Giải a) Ta có BD  AC ( đường chéo của hình vuông) SA  BD ( SA  (ABCD))  BD  (SAC) mà SC  (SAC) và O  BD  (SAC ) Trong (SAC) kẻ OI  SC Vì BD  (SAC) nên BD  OI Suy ra, OH là đoạn vuông góc . một trong các kết quả cơ bản nhất, nhưng có một ứng dụng rất to lớn trong các bài toán về quan hệ vuông góc của hình học không gian. Các ví dụ 2 , 3 dưới đây sẽ minh hoạ cho điều đó. BÀI. Theo định lý ba đường vuông góc, suy ra MO BC  Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông AOM ta có 2 2 2 1 1 1 OH OA OM   (1) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OBC ta có 2.  90 0 . B. BÀI TẬP DẠNG 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mp. Hai đường thẳng vuộng góc Pp: chứng minh đường thẳng vuông góc với mp 1. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với 2 đường