Các bài toán khó về quan hệ vuông góc

CÁC BÀI TỐN KHĨ TƯ DUY MỞ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC LATEX TƯ DUY MỞ Phương pháp vector Đây phương pháp mạnh để xử lý tốn có yếu tố vng góc ví dụ hình hộp chữ nhật, hình lập phương, khối tứ diện Trước tiên ta cần phải tìm hiểu kiến thức tảng phương pháp 1.1 1.1.1 Cơ sở phương pháp vector Quy tắc hình hộp −→ − − − → −→ −→ − → Nếu ABCD.A B C D hình hộp AC = AB + AD + AA = → a + b +→ c 1.1.2 Quy tắc trọng tâm tứ diện G trọng tâm tứ diện ABCD hai điều kiện sau xảy −→ −→ −→ −→ → − GA + GB + GC + GD = −→ −→ −→ −−→ −−→ MA + MB + MC + MD = 4MG, ∀M 1.1.3 Quy tắc đồng phẳng → − − − Điều kiện cần đủ để ba vector → a , b ,→ c đồng phẳng có số m, n, p khơng đồng thời cho → − → − − − m→ a + n b + p→ c = → − − − Cho hai vector không phương điều kiện cần đủ để ba vec tơ → a , b ,→ c đồng phẳng → − → − → − có số m, n cho c = m a + n b → − − → − − Nếu ba vector → a , b ,→ c không đồng phẳng vec tơ d phân tích cách → − → − − − dạng d = m→ a + n b + p→ c 1.2 Các dạng toán phương pháp giải DẠNG Chứng minh đẳng thức vector Phương pháp giải Sử dụng quy tắc cộng, quy tắc trừ ba điểm, quy tắc trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ giác, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp, để biến đổi vế thành vế Bài tập 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Chứng minh − →2 − →2 − →2 − →2 SA + SC = SB + SD LATEX Tư Duy Mở Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com Cho tứ diện ABCD, M N điểm thuộc cạnh AB CD thỏa mãn điều kiện −→ −→ −→ −→ MA = −2MB, ND = −2NC; điểm I, J, K thuộc AD, MN, BC cho → − −→ − → −→ − → −→ IA = kID, JM = kJN, KB = kKC − → 1− → −→ Chứng minh với điểm O ta có OJ = OI + OK 3 DẠNG Ba vector đồng phẳng bốn điểm đồng phẳng → − − − Phương pháp giải Để chứng minh ba vector → a , b ,→ c đồng phẳng ta thực theo cách sau → − − − Chứng minh giá ba vector→ a , b ,→ c song song với mặt phẳng → − → − − − − Phân tích → c = m→ a + n b → a , b hai vector khơng phương − →− → −→ Để chứng minh bốn điểm A, B,C, D đồng phẳng ta chứng minh ba vector AB, AC, AD đồng phẳng Ngồi sử dụng kết quen thuộc sau Điều kiện cần đủ để điểm D ∈ (ABC) −→ −→ −→ −→ với điểm O ta có OD = xOA + yOB + zOC x + y + z = Tính chất gọi tâm tỉ cự không gian Bài tập Cho tứ diện ABCD, điểm M, N trung điểm AB,CD Gọi P, Q − → −→ −→ −→ điểm thỏa mãn PA = kPD, QB = kQC (k = 1) Chứng minh M, N, P, Q đồng phẳng −→ −→ −→ −→ Cho tứ diện ABCD, điểm M, N xác định MA = xMC, NB = yND (x, y = 1) Tìm điều kiện − → −→ −−→ x y để ba vector AB, CD, MN đồng phẳng −→ −−→ −−→ −→ Cho hình hộp ABCD.A B C D , M, N điểm thỏa MA = − MD, NA = − NC Chứng minh MN (BC D) Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C Gọi M, N trung điểm AA ,CC G trọng tâm tam giác A B C Chứng minh (MGC ) (AB N) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi B , D trung điểm SC cạnh SB, SD Mặt phẳng (AB D ) cắt SC C Tính SC Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K trung điểm cạnh SC Mặt SB SD phẳng qua AK cắt cạnh SB, SD M, N Chứng minh + = SM SN Cho tứ diện ABCD, cạnh AB, AC, AD lấy điểm K, E, F Các mặt phẳng (BCF) , (CDK) , (BDE) cắt M Đường thẳng AM cắt (KEF) N cắt mặt NP MP phẳng (BCD) P Chứng minh =3 NA MA Cho đa giác lồi A1 A2 An (n 2) nằm (P) S điểm nằm (P) Một mặt phẳng SA1 (α)cắt cạnhSA1 , SA2 , , SAn hình chóp S.A1 A2 An điểm B1 , B2 , , Bn cho + SB1 SB2 SAn + + = a Chứng minh mặt phẳng (α) qua điểm cố định SB2 SBn LATEX Tư Duy Mở Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com DẠNG Tính độ dài đoạn thẳng Phương pháp giải Để tính độ dài đoạn thẳng theo phương pháp vector ta sử dụng sở 2 → − − − a = |→ a | ⇒ |→ a|= → − a Vì để tính độ dài đoạn MN ta thực theo bước sau → − − − Chọn ba vector không đồng phẳng → a , b ,→ c so cho độ dài chúng tính góc chúng tính → − −−→ − − Phân tích MN = m→ a + n b + p→ c Khi −−→ MN = MN = = −−→2 MN = → − − − m→ a + n b + p→ c → − → − → − 2 − − − − m2 |→ a | + n2 b + p2 |→ c | + ∑ mn |→ a | b cos → a, b Bài tập Cho hình hộp ABCD.A B C D có tất mặt hình thoi cạnh a góc BAA = BAD = DAA = 600 Tính độ dài đường chéo AC Cho hình hộp ABCD.A B C D có tất mặt hình vng canh a Lấy M thuộc đoạn A D, N √ thuộc đoạn BD với AM = DN = x < x < a Tính MN theo a x Bài tập Cho tứ diện √ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh BC AD, biết a AB = CD = a, MN = Tính góc hai đường thẳng AB CD 2 Cho tứ diện ABCD có tất cạnh m Các điểm M, N trung điểm AB CD Tính góc gữa đường thẳng MN với đường thẳng AB, BC CD Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O tâm đường tròn noại tiếp tam giácBCD Chứng minh AO⊥CD 4 Cho tứ diện ABCD có CD = AB Gọi I, J, K trung điểm BC, AC, BD Cho biết JK = AB Tính góc đường thẳng CD với đường thẳng IJ AB Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD Gọi O điểm thỏa mãn OA = OB = OC = OD G trọng tâm tam giác ACD, gọi E trung điểm BG F trung điểm AE Chứng minh OF vng góc với BG OD vng góc với AC Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD tam giác • Chứng minh AB⊥CD • Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AC, BC, BD, DA Chứng minh MNPQ hình chữ nhật Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a Trên cạnh DC BB lấy điểm M N cho MD = NB = x (0 x a) Chứng minh • AC ⊥B D • AC ⊥MN LATEX Tư Duy Mở Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com −→ −→ −→ −→ Cho tứ diện ABCD Gọi E, F điểm thỏa nãm EA = kEB, FD = kFC P, Q, R điểm xác − → −→ − − → −→ −→ → định PA = l PD, QE = l QF, RB = l RC Chứng minh ba điểm P, Q, R thẳng hàng Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AB CD, G trung điểm IJ → −→ → − − • Chứng minh IJ = AC + BD −→ −→ −→ −→ → − • Chứng minh GA + GB + GC + GD = −→ −→ −→ −−→ • Xác định vị trí M để MA + MB + MC + MD nhỏ 10 Cho hình hộp ABCD.A B C D Xác định vị trí điểm M, N AC DC cho MN MN BD Tính tỉ số BD 11 Cho hình hộp ABCD.A B C D có cạnh a góc B A D = 600 , B A A = D A A = 1200 ? • Tính góc cặp đường thẳng AB với A D; AC với B D • Tính diện tích tứ giác A B CD ACC A • Tính góc đường thẳng AC với đường thẳng AB, AD, AA 12 Chứng minh diện tích tam giác ABC tính theo cơng thức S= − →− → AB2 AC2 − AB.AC −→ − → −→ 13 Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M, N, P, Q thuộc AB, BC,CD, DA cho AM = AB, BN = 2− → −→ −→ −→ −→ BC, AQ = AD, DP = kDC Hãy xác định k để M, N, P, Q đồng phẳng 14 Giả sử M, N, P ba điểm nằm ba cạnh SA, SB, SC cỏa tứ diện SABC Gọi I giao điểm ba mặt phẳng (BCM) , (CAN) , (ABP) J giao điểm ba mặt phẳng (ANP) , (BPM) , (CMN) JS MS NS PS + + +1 = Chứng minh S, I, J thẳng hàng MA NB PC JI 15 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a,ASB = BSC = CSA = α Gọi (β ) mặt phẳng qua A trung điểm SB, SC Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (β ) 16 Cho hình chóp S.ABC, mặt phẳng (α) cắt tia SA, SB, SC, SG điểm A , B ,C , G , với SB SC SG SA G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh + + =3 SA SB SC SG 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng (α) cắt cạnh SA, SB, SC, SD SA SC SB SD A , B ,C , D Chứng minh + = + SA SC SB SD 18 Cho hình chóp S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c Một mặt phẳng (α) qua trọng tâm tam 1 giác ABC, cắt cạnh SA, SB, SC A , B ,C Tìm giá trị nhỏ + + 2 SA SB SC 19 Cho tứ diện ABCD, M điểm nằm tứ diện Các đường thẳng AM, BM,CM, DM cắt mặt (BCD) , (CDA) , (DAB) , (ABC) A , B ,C , D Mặt phẳng (α) qua M song song với (BCD) cắt A B , A C , A D điểm B1 ,C1 , D1 Chứng minh M trọng tâm tam giác B1C1 D1 LATEX Tư Duy Mở Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com 20 Cho tứ diện ABCD có BC = DA = a,CA = DB = b, AB = DC = c Gọi S diện tích tồn phần Chứng 1 minh 2 + 2 + 2 a b b c c a S2 −−→ −−→ − −→ → −→ 21 Cho hình hộp ABCD.A B C D điểm M, N, P xác định MA = kMB (k = 0) , NB = xNC , PC = −−→ yPD Hãy tính x, y theo k để ba điểm M, N, P thẳng hàng 22 Cho hình hộp ABCD.A B C D Một đường thẳng ∆ cắt đường thẳng AA , BC,C D MA −−→ −→ M, N, P cho NM = 2NP Tính MA √ 23 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a BC = a Tính góc hai đường thẳng AB SC 24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, SA = AB SA⊥BC • Tính góc hai đường thẳng SD BC • Gọi I, J điểm thuộc SB SD cho IJ không phụ thuộc vào vị trí I J BD Chứng minh góc AC IJ 25 Cho hai tam giác cân ABC DBC có chung cạnh đáy BC nằm hai mặt phẳng khác • Chứng minh AD⊥BC −→ • Gọi M, N điểm thuộc đường thẳng AB DB thỏa mãn điều kiện MA = −→ −→ −→ kMB, ND = kNB Tính góc hai đường thẳng MN BC 26 Cho hình hộp thoi ABCD.A B C D có tất cạnh a thỏa mãn điều kiện ABC = B BA = B BC = 600 Chứng minh AC⊥B D 27 Cho tứ diện √ ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh BC AD Cho biết AB = CD = 2a MN = a Tính góc hai đường thẳng AB CD 28 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M, N, P, Q, R trung điểm AB,CD, AD, BC AC • Chứng minh MN⊥RP, MN⊥RQ • Chứng minh AB⊥CD 29 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c • Chứng minh đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối vng góc với hai cạnh • Tính góc hai đường thẳng AC BD 30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành với AB = a, AD = 2a Tam giác SAB vuông cân A, M điểm cạnh AD( M khác A D) Mặt phẳng (α) qua M song song với (SAB)cắt BC, SC, SD N, P, Q • Chứng minh MNPQ hình thang vng • Đặt AM = x Tính diện tích MNPQ theo a x? Bài tập [Các tốn khó] Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác BCD Mặt phẳng (α) qua trung điểm I đoạn thẳng AG cắt cạnh AB, AC, AD điểm B ,C , D khác A Gọi hA , hB , hC khoảng cách từ A, B,C, D đến mặt phẳng (α) Chứng minh h2B + hC2 + h2D 3h2A LATEX Tư Duy Mở Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đơi vng góc, I tâm nội tiếp tam giác ABC √ Mặt phẳng √ (P) thay đổi qua I, cắt tia SA, SB, SC A , B ,C Biết SA = SB = 2, SC = Tìm giá trị nhỏ thể tích khối chóp S.A B C Cho tứ diện ABCD, gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G1 , G2 , G3 , G4 trọng tâm mặt BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh AG1 + BG2 +CG3 + DG4 16R Cho tứ diện ABCD cạnh a, hai điểm M, N chạy tương ứng đoạn AB CD cho BM = DN Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ MN Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a, SB = 3a, SC = 4a, BSA = SAC = 90◦ , BSC = 120◦ Hai điểm M, N −→ − →− → − → thỏa mãn 3SM = 2SB, SC = 2SN Cho điểm E F thay đổi, nằm hai đoạn thẳng AB SC TÍm giá trị nhỏ F? Cho hình chóp S.ABC có SA = 1, SB = 2, SC = Gọi G trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng (α) qua trung điểm I SG cắt cạnh SA, SB, SC M, N, P Tính giá trị nhỏ biểu 1 + + thức T = SM SN SP2 Cho tam giác ABC có diện tích Gọi M điểm khơng gian Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = MA.ha + MB.hb + MC.hc , , hb , hc độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A, B,C Cho tam giác ABC, M điểm tam giác ABC Các đường thẳng qua M song song với AD, BD,CD tương ứng cắt mặt BCD, ACD, ABD A , B ,C Tìm điểm M cho S = MA MB MC đạt giá trị nhỏ Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Đặt xOy = α, yOz = β , zOx = γ Lấy điểm A, B,C tia Ox, Oy, Oz cho OA = OB = OC = a > Gọi M điểm nằm đoạn BC cho BM = 2MC I trung điểm đoạn thẳng AM Tính độ dài đoạn thẳng OI theo a trường hợp α = γ = 60◦ , β = 90◦ Chứng minh cos α + cos β + cos γ > − 10 Cho tứ diện √ ABCD có góc tam diện vng A, AB = AC = AD = a Tìm điểm M khơng gian để T = 3MA + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất? 11 [Khó] Cho tứ diện ABCD cạnh a Các điểm P, Q di động không gian thỏa mãn điều kiện PA = QB, PB = QC, PC = QD, PD = QA Tìm khoảng cách lớn từ A với mặt phẳng trung trực PQ? 12 Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a Các điểm H, K trung điểm cạnh AD,C D Điểm M thuộc cạnh AB , điểm N thuộc đoạn BC cho đường thẳng MN tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 45◦ • Chứng minh AK⊥BH • Tìm giá trị nhỏ MN 13 [Khó] Cho tứ diện ABCD có DA = a, DB = b, DC = c, AB = c , AC = b , BC = a Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Chứng minh R2 LATEX Tư Duy Mở a + b + c − a2 + b2 + c2 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com 14 [Khó] Cho tứ diện ABCD có AB = DC, BC = DA, AC = BD, với M bất kì, chứng minh MA + MB + MC + MD 4R, R bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 15 [Khó] Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G bán kính mặt cầu ngoại tiếp R Các đường thẳng AG, BG,CG, DG cắt mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A , B ,C , D Chứng minh GA.GB.GC.GD GA GB GC GD 16 Cho AB.A1 B1C1 hình lăng trụ tam giác có tất cạnh a Xét đoạn thẳng có hai đầu nằm đường chéo BC1 CA1 mặt bên lăng trụ song song với mặt phẳng (ABB1 A1 ) Tính đoạn thẳng ngắn đoạn 17 Cho tứ diện O.ABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc, P điểm thuộc miền PA2 PB2 PC2 tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = + + OA2 OB2 OC2 18 Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A1 B1C1 D1 có chiều cao nửa đáy Với M điểm cạnh AB, tìm giá trị lớn góc A1 MC1 19 Cho tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện AB = CD, BC = AD, AC = BD điểm X thay đổi khơng gian Tìm vị trí điểm X cho tổng XA + XB + XC + XD đạt giá trị nhỏ 20 Cho hình hộp ABCD.A1 B1C1 D1 có tất cạnh 1, góc đỉnh A 60◦ , gọi M, N điểm đoạn thẳng AD1 , BD cho AM = DN = x(0 < x < 1) Tìm giá trị nhỏ đoạn thẳng MN 21 Cho mặt phẳng (P) đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) điểm A tạo với mặt phẳng (P) góc 60◦ Gọi B điểm đường thẳng d khác A Gọi M điểm di động mặt phẳng (P) Tìm giá trị AM + AB nhỏ S = BM 2.0.1 Ứng dụng phương pháp Vector số tốn đặc biệt Góc tạo hai cạnh tứ diện − → −→ Cho tứ diện ABCD, góc hai vector tạo cặp cạnh đối AB, CD xác định công thức AD2 + BC2 − AC2 − BD2 − → −→ cos AB, CD = 2.AB.CD Lời giải − → −→ AB.CD − → −→ cos AB, CD = AB.CD − → − → −→ AB CA + AD −AB.AC cos BAC + AB.AD cos BAD = = AB.CD AB.CD 2 AB + AC − BC AB2 + AD2 − BD2 −AB.AC + AB.AD 2AB.AC 2.AB.AD = AB.CD AD2 + BC2 − AC2 − BD2 = 2.AB.CD Như ta có điều phải chứng minh Từ kết ta có hệ sau LATEX Tư Duy Mở Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Nếu góc hai đường thẳng cos (AB,CD) = Website tuduymo.com AD2 + BC2 − AC2 − BD2 2.AB.CD Nếu ta có AC2 + BD2 = AD2 + BD2 ⇔ cos (AB,CD) = ⇔ AB⊥CD 2.0.2 Bổ đề đường trung bình Nếu đoạn MN đường trung bình cặp cạnh đối AB CD ta có − → → −→ −−→ −→ − MN = AD + BC = AC + BD 2 Từ kết mà ta suy kết sau → → −→ −−→ −→ − −−→ − Các cặp vector MN, AD, BC cặp vector MN, AC, BD đồng phẳng với Khi độ dài đường trung bình tính theo cơng thức MN = − → −→ AC + BD = − → −→ AC2 + BD2 + 2AC.BD cos AC, BD Khi ta thay cơng thức vào ta MN = AC2 + BD2 + AD2 + BC2 − AB2 −CD2 Đặc biệt tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC đường trung bình MN cặp cạnh AB CD đoạn vng góc chung AB CD; khoảng cách hai đường thẳng AB CD d (AB,CD) = MN = AC2 + BD2 + AD2 + BC2 − AB2 −CD2 Câu Cho tứ diện ABCD có cạnh AB = BC = 8, AC = CD = 6, AD = BD = Tính góc − → −→ vector AB, CD góc đường thẳng AC, BD Lời giải Áp dụng cơng thức ta có AD2 + BC2 − AC2 − BD2 72 + 82 − 62 − 72 − → −→ cos AB, CD = = = 2.AB.CD 2.8.6 24 cos (AC, BD) = AB2 + DC2 − AD2 − BC2 82 + 62 − 72 − 82 13 = = 2.AC.BD 2.6.7 84 Bài toán giải Bài tập tương tự Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 8, AC = 6, AD⊥BC Tính độ dài cạnh BD? Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 6, AC = 6, AD⊥BC Tìm giá trị lớn biểu thức AC + 2BD? Cho tứ diện ABCD có AB = BC = 6, AD = 7, AC⊥BD Tính độ dài cạnh CD? Cho tứ diện ABCD có AB = 6,CD = 8, AC⊥BD Tìm giá trị lớn biểu thức S = AD + 3BC LATEX Tư Duy Mở Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com − → −→ Câu Cho tứ diện ABCD có AC = 8, BD = góc tạo vector AC, BD = 60◦ Gọi M N trung điểm AB CD, P Q trung điểm AD BC Hãy tính độ dài đường trung bình MN PQ tứ diện ABCD? Lời giải Áp dụng công thức ta có √ − → −→ AC2 + BD2 + 2AC.BD cos AC, BD ⇒ MN = 37 √ Tương tự với ý sau, ta tính PQ = 13 Bài tập tương tự − → −→ Cho tứ diện ABCD có AC = 8, BD = góc tạo vector AC, BD = α Gọi M N MN = − → −→ AC + BD = trung điểm AB CD Biết MN = Xác đinh góc α? Cho tứ diện ABCD có AC = 8, BD = Gọi M N trung điểm AB CD, P Q trung điểm AD BC Hãy xác định giá trị lớn biểu thức T = 3MN + 2PQ 2 Cho tứ diện ABCD có ba đường trung bình MN, PQ, RS √ thỏa mãn MN √+ PQ + RS = 100 Tìm giá trị lớn biểu thức T = AB + BC + (AC +CD) + (AD + BD) Cho tứ diện ABCD có cặp cạnh đối AC = BD = 8, AD = BC, góc tạo hai đường thẳng AC BD 60◦ Khoảng cách hai đường thẳng AB CD bao nhiêu? 2.0.3 Ứng dụng số toán cực trị Câu Tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu (O, R) Gọi ma + mb + mc + md độ dài trọng (ma + mb + mc + md ) tuyến vẽ từ A, B,C, D Chứng minh R 16 Lời giải −→ −→ −→ −→ → − Gọi G trọng tâm tứ diện, ta có GA + GB + GC + GD = đồng thời 3 3 GA = ma , GB = mb , GC = mc , GD = md 4 4 Ta có 4R2 + OA2 + OB2 + OC2 + OD2 = 4OG2 + GA2 + GB2 + GC2 + GD2 −→ −→ −→ −→ −→ + 2OG GA + GB + GC + GD = 4OG2 + GA2 + GB2 + GC2 + GD2 ⇒ GA2 + GB2 + GC2 + GD2 4R2 ⇒ 4R2 ma + mb + mc + md 16 Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có (ma + mb + mc + md )2 ma + mb + mc + md Như ta có điều phải chứng minh LATEX Tư Duy Mở 10 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com S B P H C N O F M E A A E D D I I P O N B M C Gọi I hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) Theo ta có SA = SB = SO = 2a nên tam giác SIA, SIB, SIO Do ta có IA = IB = IO hay I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABO Gọi E, P trung điểm AD, AB Vì ABCD hình thang cân có AB = BC = CD = 2a, AD = 4a nên ABCE, BCDE hình thoi cạnh a Do EA = EB = EC = ED =√2a nên ACD vuông C EP đường trung trực AB Tam giác ABE cạnh 2a, suy PE = a I ∈ PE Ta có ABC cân B có ABC = 120◦ nên √ AC2 = AB2 + BC2 − 2AB · AC · cos 120◦ = 12a2 ⇒ AC = 2a √ √ Tam giác ACO vuông C nên AO = AC2 +CO2 = a 13 √ +CO2 − 2BC ·CO · cos 120◦ = 7a2 ⇒ BO = a Tam giác BCO có BCO = 120◦ nên BO2 = BC √ 3 a Do bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABO Áp dụng công thức Hê-rông ta có S ABO = √ √ √ AB · BO · AO 2a · a 13 · a a 273 √ = = R= 4S ABO 3a2 √ 273a a 51 4a2 − = 81 Gọi N hình chiếu vng góc√của I CD, M hình chiếu vng góc A IN Khi ACNM hình chữ nhật, MN = AC = 2a √ √ 273a2 8a 2 Tam giác BPI vuông P nên IP = IB − BP = −a = , suy 81 √ √ √ 8a a EI = |EP − IP| = |a − = 9 √ Tam giác SIB vuông I nên SI = SB2 − IB2 = Gọi F giao điểm AC EP, ta có F trọng tâm tam giác ABE, suy √ √ 2a 4a EF = EP = , FC = AC = 3 3 Do EO, IN, FC vng góc với CD nên chúng đôi song song, suy √ 2a √ √ FC − EO EF FC − EO 19a 17a 3 = = √ = ⇒ IN = + EO = ⇒ IM = IN − EO EI 18 18 a LATEX Tư Duy Mở 97 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC √ Tam giác SIM vng I nên có SM = SI + IM = Website tuduymo.com 51a2 + 81 √ 17a 18 √ a 119 = Vì CD ⊥ MN, CD ⊥ SI nên CD ⊥ (SMN) Mặt khác AM CD ⇒ CD (SAM) nên d(CD; SA) = d(CD; (SAM)) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ N đến SM, ta có NH ⊥ CD ⇒ NH ⊥ AM NH ⊥ SM suy NH ⊥ (SMA) hay NH = d(CD; (SAM)) SI · MN 4a Trong tam giác SMN có NH · SM = SI · MN ⇒ NH = =√ SM 4a Vậy d(CD; SA) = √ Chọn đáp án D Câu 125 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD), SA = AB = a, AD = 3a Gọi M trung điểm BC Tính cosin góc tạo hai mặt phẳng (ABCD) (SDM) A B C D 7 7 Lời giải Gọi H hình chiếu vng góc A lên DM, ta có DM ⊥ (SAH) Gọi α góc (SDM) (ABCD) ta có α = SHA √ 3 a Ta có S ADM = SABCD = a2 , DM = CD2 +CM = a2 + 2 √ 13 a √ 2S ADM 2 13 Ta có AH = = a ·√ a= DM 13 √13 SA 13 Ta có tan α = = √ = ⇒ cos α = √ = AH 13 + tan2 α 13 Vậy cos α = Chọn đáp án D S = A B M H D C Câu 126 Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy tam giác cân, AB = AC = a, BAC = 120◦ Mặt phẳng (AB C ) tạo với mặt đáy góc 60◦ Tính khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng AB C theo √ a √ √ √ a 35 a a a A B C D 21 14 Lời giải LATEX Tư Duy Mở 98 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com • Vì BC B C B C ⊂ (AB C ) ⇒ BC (AB C ) ⇒ d(BC; (AB C )) = d(B; (AB C )) C A B • Vì trung điểm A B nằm mp(AB C ) nên d(B, (AB C )) = d(A , (AB C )) M H • Do (A B C ) (ABC) ⇒ góc (A B C ) (AB C ) góc (ABC) (AB C ) 60◦ A C B • Gọi M trung điểm B C , A B C tam giác cân nên A M ⊥ B C Kẻ A H ⊥ AM (H ∈ AM) Ta có – AA ⊥ B C (AA ⊥ (A B C )) A M ⊥ B C ⇒ B C ⊥ (AA M) ⇒ B C ⊥ A H – Mà A H ⊥ AM ⇒ A H ⊥ (AB C ) ⇒ d(A ; (AB C )) = A H – Vì A M ⊥ B C AM ⊥ B C ⇒ góc (AB C ) (A B C ) góc AMA = 60◦ a BAC = 60◦ ; A M = A C · cos C A M = 2 √ a • A H = A M · sin A MA = • Có C A M = Chọn đáp án D Câu √ 127 Cho hai mặt phẳng (α), (β ) Trên mặt phẳng (α) lấy tam giác ABC có AB = AC = a 2, BC = 2a Qua A, B,C kẻ đường thẳng vng góc với (β ) cắt (β ) A , B ,C tương √ √ 3− ứng Biết A B = A C = a 3, hai đường thẳng A B B C tạo với góc arccos Tính góc (α) (β ) π π π π A B C D Lời giải Tam giác ABC có AB2 + AC2 = 2a2 + 2a2 = 4a2 = BC2 nên ABC tam giác vuông cân A Suy S ABC = · AB · AC = a2 Gọi H trung điểm B C Do A B C cân A nên A H ⊥ √ √ 3− B C B H = A B · cos A B C = a · ; √ 3− =a ; √ 3− B C = 2B H = 2a √ √ − Suy A H = A B − B H = 3a2 − a2 √ 3+ =a LATEX Tư Duy Mở 99 C A B C A H B Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com √ √ √ 1 3− + a2 Suy S A B C = · B C · A H = · 2a ·a = 2 2 Gọi ϕ góc hai mặt √ phẳng (α) (β ) Khi ta có S A B C = S ABC · cos ϕ a √ S ABC π ⇒ cos ϕ = = 22 = ⇒ϕ = S ABC a Chọn đáp án C Câu 128 Cho hình chóp SABC có đáy tam giác ABC vuông A, ABC = 30◦ , tam giác SBC tam giác √ cạnh a nằm trong√mặt phẳng vng góc với √đáy Khoảng cách từ C đến √ (SAB) a 39 a 39 a 39 2a 39 A B C D 52 26 13 13 Lời giải Gọi H trung điểm BC ⇒ SH ⊥ BC ⇒ SH ⊥ (ABC) Gọi K trung điểm AB E hình chiếu vng góc H lên SK Ta có AB ⊥ HK AB ⊥ SH nên AB ⊥ (SHK) ⇒ AB ⊥ HE Khi đó, HE ⊥ SK HE ⊥ AB nên HE ⊥ (SAB), suy S E d(C, (SAB)) = 2d(H, (SAB)) = 2HE a Tam giác vng ABC có AC = BC · sin 30◦ = AC a = ⇒ HK = B A K H C Tam giác vng SHK có √ 1 16 52 a 39 = + = + = ⇒ HE = HE SH HK 3a2 a2 3a 26 √ √ a 39 a 39 Vậy d(C, (SAB)) = · = 26 13 Chọn đáp án C Câu √hình chóp S.ABC có SC ⊥ (ABC) tam giác ABC vuông B Biết AB = a, AC = √ 129 Cho a 3, SC = 2a Tính sin góc hai mặt phẳng (SAB) (SAC) 2 A √ B C D 13 Lời giải LATEX Tư Duy Mở 100 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com Trong mặt phẳng (SAC) từ C kẻ CI ⊥ SA, mặt phẳng (SAB) từ I kẻ IH ⊥ SA, cắt SB H, với cách vẽ SA ⊥ (CIH), suy góc hai mặt phẳng (SAB), (SAC) CIH Với cách dựng ta suy CH ⊥ SA Ta có AB ⊥ SC, AB ⊥ BC, AB ⊥ (SBC), suy AB ⊥ CH Lại có CH ⊥ SA nên CH ⊥ (SAB), suy CH ⊥ SB CH ⊥ HI hay tam giác CHI vuông H Xét tam giác vng SAC ta có S I H C A B √ SC ·CA 2a CI = √ = SC2 +CA2 Xét tam giác vng SBC ta có √ √ SC · CA2 − AB2 2a 78 =√ = CH = √ 13 SC2 +CA2 − AB2 SC2 +CB2 SC ·CB Khi góc hai mặt phẳng (SAB), (SAC) CIH nên sin CIH = CH =√ CI 13 Chọn đáp án A Câu 130 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B Biết SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) SA = AB = BC = a, AD = 2a Gọi M, N trung điểm SB, CD Tính sin góc √ đường thẳng MN mặt √ phẳng (SAC) √ √ 5 55 A B C D 5 10 10 Lời giải Gọi E, F trung điểm SC, AB Vì ME, NF song song với BC nên ME NF Do tứ giác MENF hình thang Do SA ⊥ (ABCD) MF SA nên MF ⊥ (ABCD) Khi tứ giác MENF hình thang vng M, F Trong (ABCD), gọi K = AC ∩ FN; (MENF), gọi I = MN ∩ EK Khi MN ∩ (SAC) = I S M E A F B Ta có D I N K C NC ⊥ AC ⇒ NC ⊥ (SAC) hay C hình chiếu vng góc N lên (SAC) NC ⊥ SA Từ suy (MN, (SAC)) = (MN,CI) = NIC = α NC Xét tam giác vng NIC ta có sin α = IN √ CD a Ta có NC = = 2 LATEX Tư Duy Mở 101 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Vì NIK ∼ Website tuduymo.com MIE nên IN KN 2 = = ⇔ IN = MN = IM ME 3 √ a 10 MF + FN = √ CN = Vậy sin α = IN 10 Chọn đáp án D √ Câu 131 Cho hình lăng trụ ABCD.A B C D có đáy hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng (A B C D ) trùng với tâm O hình vng A B C D Biết a khoảng cách từ trọng tâm G tam giác AB D đến (AA D ) Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ADC B ) √ √ 3a 3a a a A B C D 4 Lời giải Gọi M, N trung điểm B C , A D Tam giác AMN cân A A D ⊥ MN Ta có ⇒ A D ⊥ (AMN) A D ⊥ AO ⇒ B C ⊥ (AMN) Kẻ GH ⊥ AN H, kẻ GK ⊥ AM K Suy d(G, (ADC B )) = GK = GH a = d(G, (AA D )) = d(O, (ADC B )) OA = = Ta lại có d(G, (ADC B )) GA ⇒ d(O, (ADC B )) = · d(G, (ADC B )) a 3a = · = 2 Chọn đáp án A A D C B H K G N A D O B M C Câu 132 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác ABC Góc đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) 60◦ Khoảng cách hai đường thẳng GC SA √ √ √ a a a a A B C D 5 10 Lời giải LATEX Tư Duy Mở 102 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com S I x K A C G M B √ Ta có: SG = AG · tan 60◦ = AG Trong mặt phẳng (ABC), kẻ Ax CG Kẻ GK ⊥ Ax ⇒ CG (SAK) ⇒ d(CG, SA) = d(CG, (SAK)) = d(G, (SAK)) AK ⊥ GK Ta có: ⇒ AK ⊥ (SGK) ⇒ AK ⊥ GI AK ⊥ SG Kẻ GI ⊥ SK ⇒ GI ⊥ (SAK) ⇒ d(G, (SAK)) = GI a Ta có: GK = AB = Xét tam giác SGK vuông G: 2 √ 1 1 a = + = + = ⇒ GI = a a2 GI GK SK a2 Cách 2: Gọi P trung điểm SB, ta có: MP SA SA (MPC), GC ⊂ (MPC) ⇒ (SA, GC) = d(SA, (MPC)) = d(A, (MPC)) = d(B, (MPC)) Trong tam giác SGB (vuông G), gọi P trung điểm GB ⇒ PP SG ⇒ PP ⊥ GB Ta có d(B, (MPC)) = 2d(P , (MPC)) Với Q trung điểm GM ta có P Q AB nên P Q AB nên P Q ⊥ GM P Q ⊥ GM Do ⇒ GM ⊥ (PP Q) Suy (MCP) ⊥ (PP Q) P P ⊥ GM (*) S P K M A Q G B P N C Vì (MCP) ∩ (PP Q) = PQ nên d(P , (MCP)) = P K, với P K đường cao tam giác vuông PP Q LATEX Tư Duy Mở 103 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com (vuông P ) 1 a 1 P Q = MB = AB = ; PP = SG = a √ 2 SG 2 a a a √ AG = AN = · = √ ; tan 60◦ = ; ⇒ SG = AG · tan 60◦ = √ · = a 3 AG √ √ 1 1 a a = + = + ⇒PK= ⇒ d = 2P K = P K P Q2 P P2 10 a a 16 Chọn đáp án D Câu 133 Cho lăng trụ √ ABC.A B C có đáy tam giác cạnh 2a, cạnh bên a 3, AB = a Biết mặt bên (ABB A ) vng góc với mặt đáy Gọi N điểm di động đoạn thẳng BA , khoảng cách lớn từ N đến√ mặt phẳng (AB C√) √ √ a 15 a 15 2a 15 2a 15 A B C D 10 15 C A B C A B Lời giải Gọi O trung điểm BA Khi C A NO d(A , (AB C )) d(N, (AB C )) = AO d(A , (AB C )) = d(B, (AB C )) B N A O I C Dấu xảy N ≡ A N ≡ B Do ta cần tìm M H K d(A , (AB C )) B Gọi H hình chiếu A A B Do (ABB A ) ⊥ (A B C ) nên AH ⊥ (A B C ) Dễ dàng kiểm tra AA + AB = A B hay tam giác AA B vuông A Suy √ a AA · AB AH = = AB Gọi K, I hình chiếu H xuống B C AK Khi HI ⊥ (AB C ) Gọi M trung điểm B C , ta có BH B H ·B A B A2 = = = , 2 BA BA BA √4 HK BH a = = ⇒ HK = AM B A 4 Suy √ a 15 d(H, (AB C )) = HI = √ = 10 AH + HK √ AB 2a 15 Vậy d(A , (AB C )) = d(H, (AB C )) = HB 10 Chọn đáp án C AH · HK LATEX Tư Duy Mở 104 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com Câu 134 Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a (tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách √ hai đường thẳng √ AB BC √ √ a a A a B D a C C B D A B C A Lời giải Tứ giác ABC D hình bình hành nên BC AD AD ⊂ (AB D ) BC (AB D ) Suy d (BC , AB ) = d (B, (AB D )) = d (A , (AB D )) Gọi d = d (A , (AB D )) Ta có D C B D A 1 = + + = 2 2 d AA AB AD a √ a Vậy d (BC , AB ) = C B A D Chọn đáp án C a2 b với AB = a Gọi G trọng tâm tam giác SCD, cạnh AB, SD lấy điểm E, F cho EF song song BG Khoảng cách hai đường thẳng DG EF 2ab ab ab a2 b A √ B √ C √ D √ 2b2 + a2 2b2 + a2 2b2 + a2 2b2 + a2 Câu 135 Cho khối chóp tứ giác S.ABCD tích Lời giải Gọi O tâm hình vng ABCD Gọi I, J trung điểm CD SC a2 b  VS.ABCD = Ta có ⇒ SO = b  AB = a √ 2b2 + a2 1√ √ Ta OJ = SO + OC2 = √ 2 OJ · BD a 2b2 + a2 Ta thấy S BJD = = Ta có VB.SJD = VS.BJD = VS.ABCD 3VS.BJD ab Ta d(S, (BJD)) = =√ S BJD 2b2 + a2 S J F A G D E O I B C LATEX Tư Duy Mở 105 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com BG ⇒ EF (BJD) nên d(EF, DG) = d(EF, (BJD)) = d(F, (BJD)) DF d(F, (BJD)) Hơn nữa, AB CD ⊂ (SDC) ⇒ GF CD ⇒ = = DS d(S, (BJD)) ab Vậy d(EF, DG) = √ 2b2 + a2 Chọn đáp án C Mặt khác, EF Câu 136 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB = a, BC = b, CC = c Gọi O, O tâm hình chữ nhật ABCD A B C D Gọi (α) mặt phẳng qua O song song với hai đường thẳng A D D O Dựng thiết diện hình hộp chữ nhật cắt mặt phẳng (α) Tìm điều kiện a, b, c để thiết diện nói hình thoi có góc 60◦ c a b A a = b = c B a=b= C b=c= D a=c= 3 Lời giải Gọi I giao điểm DB O B Qua I kẻ MN A D (M ∈ CD, N ∈ A B ) Gọi Q giao điểm NO C D Thiết diện hình bình hành BMQN DM BN BI BO = = = ⇒BN= Ta có DM DI DB 2 DM CD Mà CM = B N nên CM = ⇒ CM = a Do đó, B N = CM = a2 Ta có BN = BB + B N = c2 + , a BM = BC2 +CM = b2 + , MN = A D2 = b2 + c2 MN < BM + BN D C M O B A Q I D C O N A < 90◦ B Do nên MBN Để BMQN hình thoi có góc 60◦ tam giác BMN đều, b2 + a2 a2 a = c2 + = b2 + c2 ⇔ b = c = 9 Chọn đáp án C Câu 137 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình√bình hành, AB = 2a, BC = a, ABC = 120◦ Cạnh bên SD = a SD vng góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình vẽ) Tính sin góc tạo √ SB mặt phẳng (SAC) √ 3 D A B C 4 S D A C B Lời giải LATEX Tư Duy Mở 106 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com √ √ Ta có: BD = AD2 + AB2 − 2AB · AD cos 60◦ = a2 + 4a2 − · 2a · a · = a √ √ 2 SB = SD + BD = a 1 1 AC2 7a2 Ta có: = + = + = + √ d (D, (SAC)) SD2 d (D, AC) 3a2 4SDAC 3a2 4· · a · 2a · 2 √ a ⇒ d (D, (SAC)) = = d (B, (SAC)) √ a d (B, (SAC)) d (D, (SAC)) = Do sin (SB, (SAC)) = = = √ SB SB a Chọn đáp án D = 3a2 √ Câu 138 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành có diện tích 2a2 , AB = a 2, BC = 2a, ABC < 90◦ Gọi M trung điểm CD Hai mặt phẳng (SBD) (SAM) vng góc với đáy Khoảng cách từ điểm B đến √ √mặt phẳng (SAM) bằng√ √ 2a 10 4a 10 3a 10 3a 10 A B D C 15 15 Lời giải • Hai mặt phẳng (SBD) (SAM) vng góc với đáy (SBD) ∩ (SAM) = SI (với I = AM ∩ BD) ⇒ SI ⊥ (ABCD) • Có S AB BI = = ⇒ d(B; (SAM)) = 2d(D; (SAM)) ID DM • Kẻ DH ⊥ AM mà DH ⊥ SI ⇒ DH ⊥ (SAM) ⇒ d(D; (SAM)) = DH B H M C I A D √ • Ta có SABCD = AD · DC · sin ADC = 2 · a2 · sin ADC = 2a2 ⇒ sin ADC = √ ◦ ◦ ⇒ ADC = 45 (vì ADC = ABC < 90 ) √ √ 10 a • Khi AM = AD2 + DM − 2AD · DM · cos 450 = 2 √ √ 2SADM · a 10 2a 10 ⇒ DH = = √ a ⇒ d(B; (SAM)) = = AM 5 10 a Chọn đáp án A Câu 139 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiều cao 10 Trên cạnh SA, SB, SC lần SA1 SB1 SC1 lượt lấy điểm A1 , B1 , C1 cho = ; = ; = Mặt phẳng qua A1 , B1 , C1 cắt SA SB SC SD D1 Tính khoảng cách từ điểm D1 đến mặt phẳng đáy hình chóp S.ABCD 11 A B D C Lời giải LATEX Tư Duy Mở 107 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com Gọi O trọng tâm ABCD, mặt phẳng (SAC) gọi I giao điểm SO A1C1 Do giả thiết suy SO ⊥ (ABCD) Trong mặt phẳng (SBD) kẻ D1 H SO suy D1 H ⊥ (ABCD) Do d (D1 , (ABCD)) = D1 H S SA1C1 SA1 SC1 Mặt khác ta có = · (1) S SAC SA SC S SA1 I SA1 SI Tương tự = · (2) S SAO SA SO S SC1 I SC1 SI = · (3) S SCO SC SO Mà S SA1C1 S SA1 I S SC1 I = + S SAC S SAO S SCO S D1 A1 I C1 B1 A D O B H C Từ (1), (2) (3) giả thiết ta suy SA1 SC1 SA1 SI SC1 SI · = · + · SA SC SA SO SC SO SI 1 SI SI · = · + · ⇔ = ⇔ 3 SO SO SO Chứng minh tương tự ta có SB1 SD1 · = SB SD SD1 ⇔ · = SD Xét tam giác SOD D1 H SB1 SI SD1 SI · + · SB SO SD SO 4 SD1 SD1 · + · ⇔ = 9 SD SD SO nên theo định lý Ta-lét ta có DD1 DH HD1 = = DS DO SO Theo chứng minh ta có DD1 HD1 3 = suy = ⇔ HD1 = · 10 = DS SO 5 Chọn đáp án D Câu 140 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi I trung điểm AB M trung điểm AD Khoảng cách từ I √ đến mặt phẳng (SMC) √ √ √ 7a 30a 30a 2a A B D C 14 10 8 Lời giải LATEX Tư Duy Mở 108 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com S Gọi K giao điểm ID với MC, H hình chiếu I lên SK Ta chứng minh IK ⊥ MC Thật vậy, hai tam giác ADI DCM nên ADI = DCM Do KMD + MDK = CMD + DCM = 90◦ , suy MKD = 90◦ hay IK ⊥ MC Ta chứng minh IH ⊥ (SMC) B H I A C K M D Thật vậy, tam giác SAB nên SI ⊥ AB, (SAB) ⊥ (ABCD) nên SI ⊥ (ABCD), nên SI ⊥ MC, kết hợp với MC ⊥ IK suy MC ⊥ IH Theo cách dựng ta có IH ⊥ SK, IH ⊥ (SMC) Lúc khoảng cách từ I đến (SMC) độ dài đoạn IH √ 1 a = + = + = , suy DK = Ta có DK DC2 DM a2 a2 a2√ a2 5a2 a Lại có ID2 = a2 + = , suy DI = 4 √ √ a a 3a ◦ Ta có SI = · tan 60 = Do Từ suy IK = DI − DK = 10 2 √ 1 20 32 3a = + = + = ⇒ IH = IH IK SI 9a2 3a2 9a2 √ 3a Vậy khoảng cách từ I đến (SMC) Chọn đáp án D Câu 141 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng B ACB = 30◦ Tam giác SAC tam giác thuộc mặt phẳng vng góc với (ABC) Xét điểm M thuộc cạnh SC cho mặt phẳng MS có giá trị (MAB) tạo với hai mặt phẳng (SAB); (ABC) góc Tỉ số MC √ √ √ A B C D 2 Lời giải Gọi H trung điểm AC, suy SH ⊥ (ABC) Gọi N trung điểm AB, suy AB ⊥ (SHN) ((ABM), (ABC)) = HNK Lấy K giao điểm AM, SH Do ((ABM), (SAB)) = KNS Theo giả thiết, NK phân giác SNH LATEX Tư Duy Mở 109 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com √ √ Giả sử AB = ⇒ BC = √3 ⇒ AC = ⇒ SH = 3 Mặt khác HN = BC = 2 √ √ √ KH HN 15 Ta có SN = HN + SH = ⇒ = = (tính chất KS SN phân giác) Gọi E trung điểm CM, theo định lí Ta-lét √ ME KH MC 2ME MS = =√ ⇒ = =√ ⇒ = MS KS MS MS MC 5 S M K E H A C N B Chọn đáp án A Câu 142 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a SBA = SCA = 90◦ Biết góc đường thẳng SA mặt đáy 45◦ Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) √ √ √ √ 51 15 15 15 A a B a C a D a 15 5 Lời giải 3VSABC SSAC Gọi H hình chiếu vng góc S (ABC) AB ⊥ BS Ta có ⇒ AB ⊥ (SBH) ⇒ AB ⊥ BH AB ⊥ SH Tương tự ta chứng minh AC ⊥ CH Do ta chứng minh ABH = ACH Suy AH đường √ phân giác góc A tam giác ABC AB 4a AH = = ◦ cos 30 Vì góc đường thẳng SA mặt đáy 45◦ nên ta có  √ 4a   SH = AH = ◦ √ SAH = 45 ⇒  4a  AC = √ √ 2a 15 Tam giác SAC vuông C nên SC = SA2 − AC2 = √ 2a2 15 Diện tích tam giác SAC S SAC = AC · SC = Thể tích khối chóp S.ABC VSABC = SH · S ABC = a3 3 √ 3VSABC 15 Vậy d(B, (SAC)) = = a S SAC S Ta có d(B, (SAC)) = C A H B Chọn đáp án B LATEX Tư Duy Mở 110 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com Câu 143 Cho√ lăng trụ ABC.A B C có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vng góc đỉnh A lên mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Gọi α số đo góc hai đường thẳng AA , B C , khẳng định sau đúng? √ 3 A cos α = B cos α = D cos α = C cos α = 10 5 Lời giải • Gọi H√là trung điểm cạnh BC Ta có 2 BC √ = AB + AC √= 2a ⇒ AH = a ⇒ A H = A A2 − AH = a cos (AA , B C ) = cos (BB , BC) = cos α • Ta có A H ⊥ (ABC) ⇒ A H ⊥ (A B C ) ⇒ ∆A HB vng A • Ta suy B H = cos B BH = B 2a A H + A B = 2a • Trong tam giác B BH có B2 + BH − B 2B B · BH = LATEX Tư Duy Mở C a • Vậy cos α = Chọn đáp án C B √ a A H2 C A α H B 111 Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ ...CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC LATEX TƯ DUY MỞ Phương pháp vector Đây phương pháp mạnh để xử lý tốn có yếu tố vng góc ví dụ... Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC a A Website tuduymo.com √ a C 14 a B √ a D Lời giải Góc AA mặt phẳng (A B C ) góc AA mặt phẳng (ABC) góc A AB = 60◦ Gọi M trung... dựng OH vuông góc IQ H LATEX Tư Duy Mở 40 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ CÁC BÀI TỐN KHĨ VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Website tuduymo.com OH ⊥ (PNK) ⇒ OH = d (O, (PNK)) AB = (vì MKIO hình chữ nhật) Theo cách