Trường THCS Tân Phú Giáo viên: Nguyễn Minh Đại §Ị thi häc sinh n¨ng khiÕu m«n to¸n líp 8 (Thời gian 180 phút không kể giao đề) Câu 1 Cho x + 1 x = a. Tính: a) x 2 + 2 1 x b) x 3 + 3 1 x Câu 2: Cho x ≠ 0. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 2 2002 2 1x x x − + Câu 3 Giải phương trình: 148 169 186 199 10 25 23 21 19 x x x x− − − − + + + = Câu 4: Chứng minh rằng: a) 2 a b b a + ≥ (với a, b > 0) b) 6 a b b c c a c a b + + + + + ≥ (với a, b, c > 0) Câu 5 Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Các đoạn thẳng CM, DN cắt nhau tại I. Chứng minh: IA = AD Đáp án đề thi học sinh năng khiếu môn toán 8 Câu Đáp án Điểm 1 a) x 2 + 2 1 x = 2 1 2x x + − ÷ = a 2 – 2 b) x 3 + 3 1 x = 2 2 1 1 1x x x x + − + ÷ ÷ = 2 1 1 1x x x x + + − ÷ ÷ = a(a 2 – 2 – 1) = a(a 2 – 3) 1 1 2 Ta có: A = 2 2 2 2001 2 1x x x x + − + = 2 2 2 2 2001 ( 1)x x x x − + = 2001 + 2 2 ( 1)x x − Vì : (x – 1) 2 ≥ 0 và x 2 > 0 Nên: 2001 + 2 2 ( 1) 2001 x x − ≥ GTNN của A là 2001 x = 1 1 1 3 148 169 186 199 1 2 3 4 0 25 23 21 19 x x x x− − − − − + − + − + − = ÷ ÷ ÷ ÷ (123 – x) 1 1 1 1 0 25 23 21 19 + + + = ÷ 123 – x = 0 Vì 1 1 1 1 0 25 23 21 19 + + + ≠ ÷ x = 123 Vậy nghiệm của p.t là x = 123 1 1 4 a) Ta có: (a - b) 2 ≥ 0 <=> a 2 + b 2 -2ab ≥ 0 a 2 + b 2 ≥ 2ab 1 2 2 2 a b ab + ≥ 2 a b b a + ≥ b) Ta có: VT = a b b c c a c c a a b b + + + + + ÷ ÷ ÷ = a c b a b c c a a b c b + + + + + ÷ ÷ ÷ Theo KQ câu a, ta có: 2; 2; 2 a c b a b c c a a b c b + ≥ + ≥ + ≥ VT ≥ 6 1 5 Từ A kẻ AP ⊥ DN cắt DC tại K, cắt DN tại I. Xét ∆ MCB và ∆ NDC có: DC = BC NC = BM µ µ B C= = 90 0 => ∆ MCB = ∆ NDC (c.g.c) => · · BMC DNC= Mà: · · BCM BMC+ = 90 0 => · · MCN DNC+ = 90 0 => MC ⊥ DN Ta lại có: AK ⊥ DN => AK // MC Xét ∆ ADK và ∆ CBM có: AD = BC · · DAK MCB= · · ADC MBC= = 90 0 => ∆ ADK = ∆ CBM (g.c.g) => DK = BM Mà M là trung điểm của AB => K là trung điểm của CD DP = IP ( PK là đường TB ∆ DIC) ∆ DAI cân tại A AD = AI 1 1 Trường THCS Tân Phú K P I N M C B D A Giáo viên: Nguyễn Minh Đại §Ị thi häc sinh n¨ng khiÕu m«n to¸n líp 9 (Thời gian 180 phút không kể giao đề) Câu 1 Cho x + 1 x = a. Tính: c) x 2 + 2 1 x d) x 3 + 3 1 x Câu 2: Cho x ≠ 0. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 2 2002 2 1x x x − + Câu 3 Giải phương trình: 148 169 186 199 10 25 23 21 19 x x x x− − − − + + + = Câu 4: Chứng minh rằng: a) 2 a b b a + ≥ (với a, b > 0) b) 6 a b b c c a c a b + + + + + ≥ (với a, b, c > 0) Câu 5 Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Các đoạn thẳng CM, DN cắt nhau tại I. Chứng minh: IA = AD Câu 6 Chứng minh mäi m th× : a, m 3 - m chia hết cho 6 b, 5m 3 - 21m chia hết cho30 c, Nếu a 3 + b 3 chia hết cho 6 thì a+ b chia hết cho 6 và ngược lại . Trường THCS Tân Phú Giáo viên: Nguyễn Minh Đại §Ị thi häc sinh n¨ng khiÕu m«n to¸n líp 8 (Thời gian 180 phút không kể giao đề) Câu 1 Cho x + 1 x = a. Tính: a) x 2 + 2 1 x b). 0. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 2 2002 2 1x x x − + Câu 3 Giải phương trình: 1 48 169 186 199 10 25 23 21 19 x x x x− − − − + + + = Câu 4: Chứng minh rằng: a) 2 a b b a + ≥ (với. của AB, BC. Các đoạn thẳng CM, DN cắt nhau tại I. Chứng minh: IA = AD Đáp án đề thi học sinh năng khiếu môn toán 8 Câu Đáp án Điểm 1 a) x 2 + 2 1 x = 2 1 2x x + − ÷ = a 2 – 2 b)