TÀI LIỆU GIẢNG DẠY XỬ LÝ TÍN HIỆU TƯƠNG TỰ ANOLOG SIGNAL PROCESSING

TÀI LIỆU GIẢNG DẠY XỬ LÝ TÍN HIỆU TƯƠNG TỰ ANOLOG SIGNAL PROCESSINGChương 1: Một số khái niệm căn bản1. Tín hiệu và tin tức: tín hiệu là sự biểu hiện vật lí của tin tức mà nó mang nguồn tin đến nơi nhận tin. ở đây ta chỉ quan tâm đến tín hiệu điện, là dòng điện hay điện áp. Tuy nhiên lí thuyết trình bày ở đây cũng sẽ đúng cho các tín hiệu khác, không phân biệt bản chất vật lí của chúng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM

KHOA ĐIỆN TỬ BỘ MÔN VIỄN THÔNG



TÀI LIỆU GIẢNG DẠY

XỬ LÝ TÍN HIỆU TƯƠNG TỰ ANALOG SIGNAL PROCESSING

TÁC GIẢ: Th.S Nguyễn Việt Hùng Th.S Lê Thanh Tân

TP.HCM 2007

MỤC LỤC



CHƯƠNG I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CĂN BẢN 1

CHƯƠNG II: TÍN HIỆU XÁC ĐỊNH 4

CHƯƠNG III: PHÂN TÍCH ẢNH LAPLACE CỦA TÍN HIỆU 29

CHƯƠNG V: PHÂN TÍCH PHỔ TÍN HIỆU 40

CHƯƠNG V: TÍN HIỆU ĐIỀU CHẾ 66

Phụ lục

Tài liệu tham khảo

Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP HCM

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CĂN BẢN

1 TÍN HIỆU VÀ TIN TỨC:

Tín hiệu là sự biểu hiện vật lí của tin tức mà nó mang nguồn tin đến nơi nhận tin Ở

đây ta chỉ quan tâm đến tín hiệu điện, là dòng điện hay điện áp Tuy nhiên lí thuyết

trình bày ở đây cũng sẽ đúng cho các tín hiệu khác, không phân biệt bản chất vật lí của

chúng

Nhiệm vụ chính của lí thuyết tín hiệu (LTTH) là đi tìm các biểu diễn toán học cho tín

hiệu, tức là các mô hình toán học của tín hiệu Đồng thời LTTH sẽ đưa ra các phương

pháp phân tích tín hiệu Mô hình toán học của tín hiệu là các hàm thực hay phức của

một hay nhiều biến Ví dụ s(t), s(x,y), hay s(x,y,t) Tín hiệu đầu tiên là các hàm của

thời gian, nó biểu thị một đại điện như tín hiệu âm thanh hoặc tín hiệu hình Tín hiệu

thứ hai là hàm hai biền tọa độ không gian (x,y), đó là tín hiệu tĩnh Tín hiệu sau cùng là

tín hiệu truyền hình Ở đây ta chỉ xét các tín hiệu là hàm thời gian

Tin tức cần truyền đi từ nguồn tin có bản chất vật lí rất khác nhau như: tiếng nói, âm

nhạc, hình ảnh, số liệu đo lường v.v Lí thuyết thông tin (LTTT) là lí thuyết ngẫu

nhiên của tin tức, có nghĩa là nó xét đến tính chất bất ngờ của tin tức đối với người

nhận tin

Về bản chất, thông tin có tính ngẫu nhiên, có nghĩa là nó không được biết trước và

mang tin tức Tín hiệu mang tin tức do đó là tin hiệu ngẫu nhiên, mô hình toán học của

nó là các quá trình ngẫu nhiên thực hay phức

Xử lí tín hiệu là vấn đề kĩ thuật, nó áp dụng kiến thức của LTTH, LTTT, kĩ thuật điện

tử, vật lí ứng dụng để tạo ra hay biểu diễn tín hiệu mang tin tức Nó được ứng dụng

trong các lĩnh vực truyền và khai thác tin tức như kĩ thuật thông tin, nhận dạng, xử lí

ảnh, quan sát các quá trình công nghiệp

2 PHÂN LOẠI TÍN HIỆU:

2.1 Tín hiệu vật lí và mô hình lí thuyết:

Một tín hiệu là biểu diễn của một quá trình vật lí, do đó nó phải là một tín hiệu vật lí

thực hiện được Tín hiệu như vậy phải thỏa mãn các yêu cầu sau đây:

Có năng lượng hữu hạn

Có biên độ hữu hạn

Có phổ hữu hạn và tiến tới không khi tần số tiến tới ∞

Việc phân loại tín hiệu dựa trên các cơ sở sau:

Phân loại theo quá trình biến thiên của tín hiệu, các tín chất của nó có thể đoán trước

hay không

Phân loại theo năng lượng: có thể phân biệt thành tín hiệu năng lượng hữu hạn và tín

hiệu công suất trung bình hữu hạn (năng lượng vô hạn)

Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP HCM

Phân loại dựa vào hình thái của tín hiệu, từ đó có thể phân loại theo tính chất liên tục

hay rời rạc của tín hiệu

Phân loại tín hiệu dựa vào phổ của nó

Phân loại dựa theo thứ nguyên, là tín hiệu một biến hay nhiều biến

2.2 Tín hiệu xác định và tín ngẫu nhiên:

Cơ sở phân loại đầu tiên là dựa trên quá trình biến đổi của tín hiệu là một hàm của thời

gian (xem hình 1.1), có thể xác định được hay không

Theo cách này người ta phân thành tín hiệu xác định và tín hiệu ngẫu nhiên Tín hiệu

xác định là tín hiệu mà quá trình biến thiên của nó được biểu diễn bằng một hàm thời

gian đã hoàn toàn xác định Còn tín hiệu ngẫu nhiên thì sự biến thiên của nó không thể

biết trước (có tính may rủi), muốn biểu diễn nó phải tiến hành quan sát thống kê

Hình 1.1

Về mặt lí thuyết việc xét tín hiệu xác định dễ dàng hơn, nó hoàn toàn xác định

do có mô hình toán học đã biết trước Đồng thời nó cũng biểu thị những tín hiệu mà ta

có thể quan sát được đó là những tín hiệu thường gặp trong phòng thí nghiệm, tín hiệu

kiểm tra hay tín hiệu năng lượng Một tín hiệu có hình dạng xác định, nhưng vị trí trên

thang thời gian chưa được biết trước thì đó cũng là tín hiệu ngẫu nhiên

2.3 Tín hiệu năng lượng- Tín hiệu công suất:

Cơ sở phân loại thứ hai là dựa vào năng lượng của tín hiệu, như đã biết có hai loại là

tín hiệu năng lượng hữu hạn và tín hiệu công suất trung bình hữu hạn

Tín hiệu năng lượng hữu hạn gồm những tín hiệu quá độ xác định và ngẫu nhiên Còn

tín hiệu công suất bao gồm hầu như tất cả: tín hiệu tuần hoàn, tuần hoàn quasi và tín

hiệu ngẫu nhiên xác lập

Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP HCM

Một vài tín hiệu có thể có không phụ thuộc vào hai loại tín hiệu kể trên, ví dụ tín hiệu

x(t) = exp(at) với a > 0 và t(-∞, ∞), hay tín hiệu xung Dirac  (t) và dãy tuần hoàn của

nó

2.4 Tín hiệu liên tục và rời rạc:

Một tín hiệu có thể biểu diễn dưới các dạng khác nhau tùy theo biên độ của nó có giá

trị liên tục hay rời rạc theo biến thời gian liên tục hay rời rạc Có thể phân biệt thành

bốn loại sau:

Tín hiệu có biên độ và thời gian liên tục được gọi là tín hiệu tương tự (analog)

Tín hiệu có biên độ rời rạc, thời gian liên tục là tín hiệu lượng tử

Tín hiệu có biên độ liên tục thời gian rời rạc là tín hiệu rời rạc

Tín hiệu có biên độ và thời gian đều rời rạc được gọi là tín hiệu số (digital)

Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP HCM

CHƯƠNG 2: TÍN HIỆU XÁC ĐỊNH

1 MÔ HÌNH XÁC ĐỊNH CỦA TÍN HIỆU VẬT LÝ:

Trong các lĩnh vực mà tín hiệu được coi là cái tải nãng lượng như trong lý thuyết mạch và lý thuyết về các hệ thống điện tử, thì tín hiệu sẽ được mô tả bàng mô hình xác

định Còn trong các hệ thống thông tin, nơi mà người ta quan tâm đến vấn đề truyền tin

tức, hay trong các hệ thống đo lường, nơi mà ta quan tâm đến kết quả của các đại lượng

cần đo,thì tín hiệu được mô tả bàng mô hình ngẫu nhiên Trong chương trình này ta sẽ

xét đến tín hiệu xác định, có thể thấy ràng việc xét tín hiệu xác định sẽ dễ dàng hơn so

với tín hiệu ngẫu nhiên cả về khái niệm lẫn mô hình tín học Ta sẽ đưa ra một số thông

tin đạc trưng cho tín hiệu xác định và phương pháp phân tích chúng, đó cũng là cơ sở để

phân tích tín hiệu ngẫu nhiên Các loại tín hiệu xác định được dùng để mô tả các tính

chất của các hệ thống truyền tin rất tiện lợi, và có thể thấy ràng hầu như trong tất cả

các hệ thống thông tin rất tiện lợi, và có thể thấy ràng hầu như trong tất cả hệ thống

thông tin, bên cạnh các tín hiệu ngẫu nhiên luôn luôn có tín hiệu xác định như là các

sóng mang, tín hiệu đồng bộ, tín hiệu xung nhịp

Chúng ta sẽ ký hiệu các tín hiệu xác định bàng các chữ cái như x,y Khi cần có thể thêm các chũ số, giá trị của nó là x(t), y(t)

Như đã nói ở chương một, tín hiệu xác định có mô hình toán học là các hàm thực họac phức theo thời gian, hoặc cũng có thể là các phân bố Tuy nhiên cần nhớ

ràng, không phải tất cả các hàm hay phân bố đều là mô hình có ý nghĩa đối với tín hiệu

vật lý Trong tất cả các loại tín hiệu người ta thường phân biệt thành hai loại tín hiệu

mô tả các tín hiệu vật lý thực tế, đó là: Tín hiệu có năng lương hữu hạn và tín hiệu có

công suất trung bình hữu hạn Việc phân loại như vậy là dựa trên các thông số đặc

trưng của tín hiệu xác định mà ta sẽ xét chúng sau đây

2 CÁC THÔNG SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA TÍN HIỆU XÁC ĐỊNH:

2.1 Tích phân tín hiệu:

Cho tín hiệu x là tín hiệu xác định, tồn tại tring khoảng -∞ <1< ∞, tích phân tín hiệu

được xác định nghĩa như sau:

Tích phân tín hiệu thông thường biểu diễn diện tích giới hạn dưới đồ thị của tín hiệu, nó

có thể không xác định hoặc vô hạn đối với một tín hiệu nào đó Do đó định nghĩa (2.1)

chỉ có ý nghĩa với những tín hiệu mà giá trị tích phân của nó hữu hạn

Ở đây ta đã kí hiệu [.] tương đương với 

Các tín hiệu có giá trị khác không trong khoảng thời gian hữu hạn được gọi là tín hiệu

có thời hạn hữu hạn hay tín hiệu xung Tín hiệu xung chính là mô hình thực tế của các

tín hiệu vật lí, bởi vì chúng thường được quan sát trong một khoảng thời gian hữu hạn

Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP HCM

2.2 Trị trung bình của tín hiệu:

Với tín hiệu xung ta có thể đưa ra khái niệm về giá trị trung bình trong khoảng thời gian

được định nghĩa như sau:

x =

t t

t t

dt t x

1 2

2

1

)(





(2.2)

Định nghĩa này cũng có thể sẽ có ý nghĩa đối với các tín hiệu có thời hạn vô hạn, khi

đó già trị trung bình của chúng sẽ được xác định bởi giới hạn

Các tín hiệu có thời hạn vô hạn ,, trong LTTH thường gặp là tín hiệu tuần hoàn

với chu kì T, thì già trị trung bình của nó sẽ là:

dt t x T x

0

0

)(

1

(2.4)

trong đó t0 là một điểm bất kì trên thang thời gian.dt

Chúng ta dùng kí hiệu tương đương với:





t t

dt

t t

2

1

.1

1 2

là để chỉ giá trị trung bình của các tín hiệu xung, tín hiệu có thời hạn vô hạn và tín hiệu

tuần hoàn

2.3 Năng lượng của tín hiệu:

Năng lượng chứa trong các tín hiệu x(t) được kí hiệu là x và được định nghĩa như sau:

2.4 Công suất trung bình của tín hiệu:

Các tín hiệu xung cũng có thể được đặc trưng bởi công suất trung bình trong khoảng

thời gian được định nghĩa như sau:

T

T

T T

2

1lim

Nếu tín hiệu x là các xung dòng điện hay điện áp, thì x có ý nghĩa vật lí là công suất

trung bình của tín hiệu x nhận được trên một đơn vị điện trở trong khoảng thời gian

 t1,t2

Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP HCM

Với các tín hiệu có thời hạn vô hạn, công suất trung bình được xác định bởi giới hạn

như sau:

dt t T

T

T T

trong đó t0 là điểm bất kì trên thang thời gian

Theo lí thuyết mạch thì đại lượng x chính là trị bình phương của trị hiệu dụng

Dựa vào các thông số năng lượng của tín hiệu mà người ta phân chia chúng thành hai

loại quan trọng là:

-Tín hiệu có năng lượng hữu hạn, hay tín hiệu năng lượng nếu 0x

-Tín hiệu có thời hạn vô hạn được gọi là tín hiệu có công suất trung bình hữu hạn hay

tín hiệu công suất nếu 0x

3 Tín hiệu xác định thực:

3.1 Tín hiệu năng lượng có thời hạn hữu hạn:

3.1.1 Xung vuông góc (t) ( H.2.1)

Nhờ kí hiệu  ta có thể biểu diễn các xung vuông góc nằm ở vị trí bất kì trên thang

thời gian, có độ rộng và độ cao bất kì như trên hình 2.2

Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP HCM

ta có thể giữ lại một phần của tín hiệu đó và bỏ đi những phần khác theo ý muốn

3.1.2 Xung tam giác (t) (H.2.3)

[x]=1 ; x= 2/3

Hình 2.3 3.1.3 Xung Cosin (H.2.4)







Hình 2.5

3.2 Tín hiệu năng lượng có thời hạn vô hạn (H.2.6):

3.2.1 Hàm mũ suy giảm:

Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP HCM

Hình 2.6 3.2.2 Tín hiệu Sa (H.2.7):

Tín hiệu Sa đóng vai trò trong việc rời rạc tín hiệu Vì vậy người ta kí hiệu nó bằng chữ

Sa từ chữ Sampling ( tiếng Anh là lấy mẫu)

3.3 Tín hiệu không tuần hoàn có công suất trung bình hữu hạn:

3.3.1 Bước nhảy đơn vị 1(t) (H.2.9):

T

X t

)]

(1)(1[)

T

X t

3.3.2 Hàm mũ tăng dần (H.2.12)

);

(1)1()

x   t  0

;2

Hình 2.12 Hình 2.13

3.4 Tín hiệu tuần hoàn:

3.4.1 Tín hiệu sin:

,sin)

(t X 0t

x   t(,)

;0

Hình 2.15 3.4.3 Dãy xung vuông góc đơn cực:

;

X T



2

X T

P x 



Hình 2.16 3.5 Tín hiệu phân bố:

Phân bố được gọi là các hàm giả hay các hàm tổng quát Nó thường được dùng trong ba

trường hợp sau:

- Phân bố dùng như một mô hình toán học cho một loại tín hiệu nào đó

- Phân bố được dùng để mô tả các phép toán tác động lên tín hiệu ví dụ phép

rời rạc tín hiệu hay lặp tuần hoàn tín hiệu

- Phân bố được dùng để miêu tả phổ của tín hiệu, trong trường hợp tín hiệu không

có phổ Forurier thông thường, ví dụ như bước nhảy đơn vị, tín hiệu tuần hoàn và nhiều

tín hiệu có năng lượng không xác định

Khái niệm phân bố được Đirăc đưa ra đầu tiên dùng trong vật lí lượng tử, đó là hàm 

Sau này còn gọi là Delta Đirăc hay phân bố Đirăc ngày nay được dùng trong nhiều lĩnh

vực khác nhau Nó không có ý nghĩa toán học chính xác, nhưng tiện lợi cho việc phân

tích tín hiệu trong những trường hợp vừa nêu ở trên

3.5.1 Phân bố (t):

Đirăc định nghĩa hàm  như sau:

Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP HCM

Đại lượng (t) ở đây không phải là hàm thông thường bởi vì tại t = 0 nó không nhận

giá trị bằng số Từ đây về sau ta sẽ gọi đại lượng (t) là phân bố (t) hay Delta Đirăc

Trong lí thuyết về phân bố, (t) được biểu diễn giới hạn của dãy (t,) của các hàm

),( 

 t thỏa mãn các điều kiện:

Dãy hàm thỏa mãn các điều kiện (2.11) và (2.12) được gọi là dãy hàm gần đúng hay là

dãy định nghĩa của phân bố (t)

Có rất nhiều dãy hàm định nghĩa hàm (t), sau đây ta chỉ nêu một số ví dụ, đó là dãy

hàm Gausse có dạng:

Các hàm này với các tham số  khác nhau được biểu diễn trên hình 2.17 Khi  tiến

tới không, các hàm Gausse co hẹp lại, có nghĩa là nó tập trung xung quanh điểm t = 0;

còn khi  tiến tới vô cùng thì giá trị của nó tiến tới không Ở giới hạn dãy này tiến tới

đại lượng có giá trị bằng không khi t 0 và bằng vô cùng khi t = 0 Diện tích giới hạn

dưới đồ thị của mỗi hàm đều bằng một Giới hạn của dãy hàm Gausse (2.13) do đó là

phân bố (t), có thể viết dưới dạng:

)(exp

Biểu diễn đồ thị của phân bố (t) theo qui ước là một vạch hẹp có mũi tên tại điểm t =

0 Độ cao của vạch bằng diện tích dưới đồ thị của phân bố, do đó bằng một (H.2.18

a,b)

Hình 2.18

Phân bố (t) là mô hình toán học của tín hiệu xung có thời hạn vô cùng nhỏ và có

biên độ vô cùng lớn Tín hiệu như vậy không phải là tín hiệu vật lí thực hiện được

Mặc dù vậy nó là một mô hình trừu tượng rất tiện lợi cho các tín hiệu vật lí, như là các

xung hẹp Các phần tử của dãy hàm định nghĩa phân bố (t) có năng lượng hữu hạn,

nhưng chính phân bố (t) lạ có năng lượng vô hạn Phân bố (t) sẽ được coi như là tín

hiệu có công suất trung bình hữu hạn

 Một vài tính chất vật lí của phân bố:

 Tính chất 1: Nhân với hằng số:

(t' dt'  t

Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP HCM

t dt

t d



 Tính chất 3: Nếu x(t) là tín hiệu bất kì thì:

)()0()()

)()()()(t t t0 x t0 t t0

Tính chất này được gọi là tính chất lọc của (t)

 Tính chất 4: Nếu x(t) là tín hiệu bất kì thì:

()(t t x

)()()(t t t0 dt x t0

0 0

t t t

()()

()()(

*)(t t x t' t t' dt' x t t' t' dt' x t

Phân bố (t) được gọi là phần tử đồng nhất của phép tính chập, tương tự như số 1 là

phần tử đồng nhất của phép tính nhân số thực Tính chất này được gọi là tính chất lặp

của phân bố (t) Tương tự ta có:

)()(

*)(t t t0 x t t0

3.5.2 Phân bố lược:

Phân bố lược được kí hiệu là (t) và được định nghĩa như sau:

Đồ thị của phân bố lược cho trên hình 2.19 a Từ định nghĩa phân bố lược có thể thấy

nó là dãy tuần hoàn của các Delta Đirăc, có độ cao đơn vị và cách nhau một khoảng

đơn vị Tên gọi của phân bố lược là hoàn toàn trực quan xuất phát từ đồ thị của nó

Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP HCM

Hình 2.19: Phân bố lược

Một trong những dãy định nghĩa của phân bố lược là (H.2.20)

2 2

exp)

exp(



Phân bố lược là trường hợp đặc biệt, nó không thuộc vào loại tín hiệu nào đã kể trước

đây Theo định nghĩa nó là tín hiệu tuần hoàn nhưng lại có công suất trung bình không

hữu hạn Nó được dùng để miêu tà tín hiệu bị rời rạc hoặc các phép tính tác động lên

tín hiệu rời rạc, ngoài ra nó còn dùng để biểu diễn phép tính lặp tuần hoàn và phổ của

tín hiệu tuần hoàn

 Một vài tính chất của phân bố lược:

 Tính chất 1: Tính chất rời rạc:

)()

trong đó x(t) là tín hiệu bất kì

 Tính chất 2: Tính chất lặp hoàn toàn:

)(

*)(t t

tín hiệu x(t) là tín hiệu xung có thời hạn nhỏ hơn hoặc bằng đơn vị

 Tính chất 3: Tính chất chẵn:

)()

 Tính chất 4: Phân bố lược là tín hiệu tuần hoàn:

)()(tn  t n = 0, ±1 (2.34)

Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP HCM

 Tính chất 5: Thay đổi thang độ (tỉ lệ):

Từ tính chất này thấy rằng dãy Delta Đirăc cách nhau một khoảng bằng nhau (chu kì) T

> 0 và có độ cao như nhau, có thể viết dưới dạng:

t

)(

 Tính chất 2:

T t

1

(2.38)

trong đó x(t) là tín hiệu xung có thời hạn T

4.1 Hệ số tương quan:

Tín hiệu có thể được biểu diễn như một vectơ trong một không gian metric thích hợp

được gọi là không gian tín hiệu Để so sánh hai tín hiệu người ta thường xác định

khoảng cách d(x1,x2) giữa chúng, đó là mức độ khác nhahu giữa hai tín hiệu, nó sẽ

bằng không nếu hai tín hiệu hoàn toàn giống nhau Khoảng cách Ơcơlic của hai tín

hiệu x1(t)và x2(t), xét trong khoảng thời gian T được xác định theo công thức:

2 2 2 1

x d

Có thể thấy rằng, năng lượng của tín hiệu trong không gian L2(0,T) có khái niệm tương

tự như bình phương khoảng cách trong không gian Rn Do đó d2(x1,x2) được hiểu là

năng lượng của tín hiệu, được xác định như sau:

x t x t  x t x t dt x

x d

t x

2 2

* 2 1 2

Năng lượng của tín hiệu E y phụ thuộc vào tích vô hướng giữa x1(t)và x2(t), có ý nghĩa

là khoảng cách giữa hai tín hiệu sẽ cực đại nếu tích vô hướng của nó bằng không

(x1(t)và x2(t) trực giao), và cực tiểu (bằng không) nếu x1(t)= x2(t)

Người ta định nghĩa hệ số tương quan giữa hai tín hiệu x1, x2 là tỉ số sau:

),(

),()

(

)()(

1 1

2 1 2

1

2 1 12

x x

x x dt t x

dt t x t x

2

* 1 2 21

,

),()

(

)()(

x x

x x dt

t x

dt t x t x

Tất nhiên các tích vô hướng trên được xác định trong không gian L2(0,T)

Nếu 12 210 thì các tín hiệu x1, x2 là trực giao và ta có năng lượng tổng của hai

tín hiệu bằng tổng năng lượng của từng tín hiệu Các hệ số 12 và 21 trong trường hợp

chung không bằng nhau (12 21)

Ngoài ra hệ số tương quan chuẩn hóa giữa hai tín hiệu x1, x2 còn được định nghĩa:

),)(

,(

),(,

2 2 1 1

1 2 2 1 21 12

x x x x

x x x x



 

Có thể thấy rằng  là một số thực có giá trị trong khoảng (0 1)

4.2 Hàm tương quan:

Hình 2.21: Sự phụ thuộc của hệ số tương quan 12 vào sự dịch chuyển của tín hiệu

Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP HCM

Hệ số tương quan giữa hai tín hiệu biểi thị vị trí của hai tín hiệu trong không gian tương

ứng Tuy nhiên, khi một trong hai tín hiệu dịch chuyển trên thang thời gian thì tích vô

hướng của chúng sẽ thay đổi theo sự dịch chuyển đó

Nếu ta kí hiệu độ dịch chuyển trên thang thời gian là  , thì tích vô hướng giữa hai tín

hiệu x1, x2 sẽ là hàm của  Để tiện lợi cho việc so sánh tín hiệu trong không gian của

nó người ta đưa ra khái niệm về hàm tương quan

4.2.1 Tín hiệu năng lượng hữu hạn:

Hàm tương quan trong không gian L2(0,T) của tín hiệu năng lượng được kí hiệu là ,

nó được xác định bởi tích vô hướng của hai tín hiệu khi một trong chúng dịch chuyển

trên thang thời gian

dt t x t x

Các hàm 12(),21() còn được gọi là hàm tương quan chéo Có thể thấy giá trị của

chúng là diện tích giới hạn dưới đồ thị tích của hai tín hiệu

Ngoài ra, còn có khái niệm về hàm tự tương quan của tín hiệu x(t) như sau:

dt t x t x

cos4)(

1

t t t

4



)()

2

t t x

Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP HCM





) 1 ( t x

6

1 ) 1

1

2 t x

2 1

) 2 (

2 t

x

3 2

6 1

) ( 





) 2 (

12



) (

12 





2 1

1

12



Hình 2.22: Hàm tương quan và tự tương quan của tín hiệu năng lượng

Có thể thấy rằng, giá trị của hàm 12() sẽ không thay đổi khi x2dịch sang phải một

đoạn  và đứng yên, hoặc khi x2đứng yên và x1 dịch sang trái một đoạn 

Do đó hàm tương quan (2.42), (2.43) và hàm tự tương quan (2.44) có thể viết lại dưới

dạng:

dt t x t

x ( ) ( ))

 Tính chất 1:

)()( * 

Có thể suy ra từ (2.56) là diện tích dưới đồ thị của hàm tương quan bằng tích các diện

tích dưới đồ thị của mỗi tín hiệu

 Tính chất 3:

)()( * 

Hàm tương quan là hàm Hermit Với tín hiệu thực, hàm tự tương quan là hàm chẵn

 Tính chất 4:

dt t x

2

)()

*

])([])(Re[)()()

Với tín hiệu thực diện tích dưới đồ thị của hàm tự tương quan bằng bình phương diện

tích dưới đồ thị của tín hiệu

 Tính chất 6:

Với mọi giá trị của ta luôn có:

)0()

4.2.2 Tín hiệu công suất trung bình hữu hạn:

a) Tín hiệu tuần hoàn 2

dt t y t x T dt t y t x T

T T

0 0

T T

0 0

T T

0 0

b) Tín hiệu không tuần hoàn:

Trong không gian của tín hiệu công suất trung bình hữu hạn không có khái niệm về tích

vô hướng Tuy nhiên, đối với một số tín hiệu của không gian này, vẫn tồn tại các giới

hạn theo định nghĩa thông thường Với những tín hiệu như vậy, người ta cũng có thể

định nghĩa các hàm tương quan như sau:

T

T dt

t y t x

1lim)

()(2

1lim)

T

T dt

t x t y

1lim)

()(2

1lim)

T

T dt

t x t x

1lim)

()(2

1lim)

5.1 Giới hạn của tích chập:

Tích chập của hàm x1(t)và x2(t) của hàm y(t) được xác định bởi tích phân sau:

' ' 2 ' 1 ' ' 2 '

)(t x t x t t dt x t t x t dt

Tích chập của hai tín hiệu được kí hiệu bởi dấu sao (*), khi đó công thức (2.71) có thể

viết dưới dạng:

)(

*)()(

*)()(t x1 t x2 t x2 t x1 t

5.2 Các tính chất của tích chập:

)(

*)()(

*)

*)]

(

*)([)]

(

*)([

*)

*)()(

*)()(

*)]

()([x1 t x2 t x3 t  x1 t x3 t x2 t x3 t (2.75)

)]

([

*)()(

*)]

([)]

(

*)([x1 t x2 t ax1 t x2 t x1 t ax2 t

Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP HCM

 Tính chất 5:

Với x1(t),x2(t) thuộc L2(,)

)(

*)()

()

Từ tính chất này thấy rằng, hàm tương quan của x1(t),x2(t) thuộc L2(,) chính

bằng tích chập của tín hiệu x1(t) với x *2( t)

)

2t x

T 2

T t

T 3

2  

)() 2 '

t

2 1 0

' 2 1

)(  

T t

dt A A dt A A t

y() 1 2 ' 1 2 '

)23()()2()(t A1A2 T t A1A2 T t A1A2 T t

T t A A dt A A t

y

2

2 1 ' 2

)(

)23()

( 1 2

2 1

T T A A

t A A t

T t

32

)(

2

T t T

t A t x

Tính y(t) = x1(t) * x2(t)? Tìm hàm tương quan của hai tín hiệu và hàm tự tương quan của

x t

x1( ) 2( ) /2 ;

Tính y(t) = x1(t) * x2(t)? Tìm hàm tự tương quan của từng tín hiệu?

Hướng dẫn: Ngoài phép tính chập, các bạn có thể tính bằng phương pháp biến đổi

Tt0nếu0

)(

t A t x

Tính y(t) = x1(t) * x2(t)? Tìm hàm tương quan của hai tín hiệu và hàm tự tương quan của

x t

2t0nếu0

5,0)(

1 t x

4t2nếu

2t0nếu

0

5,1

5,0)(

2 t x

Tính y(t) = x1(t) * x2(t)? Tìm hàm tương quan của hai tín hiệu và hàm tự tương quan của

x

25,0)(

x2( )

Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP HCM

Tính y(t) = x1(t) * x2(t)? Tìm hàm tương quan của hai tín hiệu và hàm tự tương quan của

2Ttnếu

0

21

)(

1

T t

TtT-nếu0

1)(

2 t x

Tính y(t) = x1(t) * x2(t)? Tìm hàm tương quan của hai tín hiệu và hàm tự tương quan của

x1( ) 2( ) ; Tính y(t) = x1(t) * x2(t)?

Hướng dẫn: Ngoài phép tính chập, các bạn có thể tính bằng phương pháp biến đổi

Tt0nếu0

)(

t A t x

Tính y(t) = x1(t) * x2(t)? Tìm hàm tương quan của hai tín hiệu và hàm tự tương quan của

2t0nếu0

5,0)(

1 t x

4t2nếu

2t0nếu

0

5,1

5,0)(

2 t x

Ttnếu

Tt0nếu

0

22

)(

T A T At t

Tt0nếu0

)(

2

A t x

Tính y(t) = x1(t) * x2(t)? Tìm hàm tương quan của hai tín hiệu và hàm tự tương quan của

(

2

T t T

t A t x

Tính y(t) = x1(t) * x2(t)? Tìm hàm tương quan của hai tín hiệu và hàm tự tương quan của

1tnếu0

11

)(

1 t x

1t0nếu0

1)(

2 t x

Tính y(t) = x1(t) * x2(t)? Tìm hàm tương quan của hai tín hiệu và hàm tự tương quan của

từng tín hiệu?

Hướng dẫn: Ngoài phép tính chập, các bạn có thể tính bằng phương pháp biến đổi

Laplace

Câu 14: Viết thành dạng hàm x(t) theo hàm u(t)

Câu 15: Chọn ra đề 4 câu trong nội dung, mỗi câu 0,5 điểm

Tín hiệu liên tục x(t) cĩ biến đổi Laplace là:

75

1)

s s

X

Tìm biến đổi V(s) của tín hiệu v(t) được định nghĩa như sau:

Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP HCM

dt

t x d t

v d) v(t) x(1)(t)

e) v( t) x(t)sin2t

f) v(t)e3t x(t)

g) v(t)x(t)*x(t)

Câu 16: Chọn 1 trong 2 hình khi ra đề thi, mỗi hình 1 điểm

Tìm biến đổi Laplace của các tín hiệu trong hình (a), (b)

Câu 17: Tìm biến đổi Laplace nghịch của các hàm sau:

a)

124

2)

s s

X

b)

s s s

s s

X

75

1)

3592)

s s s X

d)

485

123)

s s s

X

e)

s s

s

s s

X

8118

1)

e s s X

s

g)

121

e se s

s s X

s s

Câu 18: Tính giá trị x(t)*v(t) trong các trường hợp sau:

a) x(t) et u(t)

 v(t)(sint)u(t)b) x(t)(cost)u(t) v(t) (sint)u(t)

c) x(t)(sint)u(t) v(t)t(sint)u(t)

d) ( ) (sin2 ) ( )

t u t t

x  v(t)tu(t)

Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP HCM

CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH ẢNH LAPLACE CỦA TÍN HIỆU

1 Biến đổi Laplace:

Biến đổi Laplace một phía được xác định theo biểu thức sau:

)

tham số s để cho tích phân Laplace hội tụ

Biến đổi Laplace là biến đổi một phía, ảnh của nó không phụ thuộc vào hàm f (t) ở

0

;1)(1

được xác định theo công thức Rieman – Melin:

0

;)(2

1)(

t

t ds

e s F j t

f

j e

j e

si





Hay có thể kí hiệu bởi f (t)£-1 F (s)

Để F (s) có thể là ảnh của hàm f (t) nào đó, có nghĩa là biểu thức (1.4) hoàn toàn

được xác định thì hàm F (s)cần thỏa mãn một số điều kiện sau:

a) F (s) là hàm giải tích trong mặt phẳng Rres  X0

b) F(s)0 khi s, dọc trên đường nằm trong miền

)0(

j e

ds s

F )( trong đó X0có giá trị để

sao cho s X0 jY0, mà với giá trị đó của s , tích phân (1.1) sẽ hội tụ tuyệt đối

Trong thực tế, việc ứng dụng trực tiếp công thức Rieman – Melin để tìm hàm f (t) nói

chung không dễ dàng Trong việc ứng dụng biến đổi Laplace để phân tích tín hiệu và

tìm lại hàm ngược có thể thực hiện d6ẽ dàng hơn mà không cần phải sử dụng (1.4), khi

Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP HCM

phân tích quá trình quá độ, người ta cố gắng sử dụng thành thạo các tính chất của biến

đổi Laplace (bảng 1) để có thể làm đơn giản quá trình tìm ảnh, gốc

2 Các tính chất cơ bản của Laplace:

Bảng 1:

1 £ a1f1(t)a2f2(t)a1£ f1(t)a2f2(t) a1, a2 là số bất kì

([

t

st

dt e t f t

ds

d t

f

t ( ) ( 1) £[f(t)] N là số tự nhiên

5 £ est f(t)F(s);F(s)£[f(t)] : là số thực, phức bất kì

t f d

f s t

f Không cần thiết tại t0

8b

t

s d

d d f

n

1)

liên tục và có đạo hàm liên tục

VD1:

)(1F(t)et t

Áp dụng tính chất 5 (bảng 1) của biến đổi Laplace:

Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP HCM

e t1( ) 1

VD2:

)(1)(t t t

Từ tính chất thứ 4 có thể suy ra ảnh của hàm n

t từ ảnh của hàm 1 t( )

£ 1( ) 1 12

s s ds

d t

t   

£ t21(t)£  * 1( ) 12 23

s s

ds

d t

t

t   

£ t31(t)£  2  13 2*43

)(1

*

s s

ds

d t

t

£ t n 1 t( )£  1  !1

)(1

* n  n

s

n t

t t

VD3:

)(1.cos)(t 0t t

e e

2

1)cos(0  



Áp dụng tính chất và 5:

£

2

1)]

(1.[cos0t t  £[e j0t 1(t)]

11

2

1



 s j j

s

0 2

t

VD 4:

)(1.sin)(t 0t t

Ảnh của hàm sin0t có thể tính bằng cách áp dụng tính chất 5 hoặc sử dụng trực tiếp

ảnh của hàm cos0t và dùng tính chất 7a Ta có:

][cos

1)]

(1.[cos

(1

0 0

t dt

d

0 2

0

0 ][sin

VD 5:

)(1.cos)

(t e 0t t

Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP HCM

Sử dụng ảnh của hàm cos0t và áp dụng tính chất 5

0 2 0

)(]cos[

a s t

e t

VD 6:

Hãy tìm ảnh của một số tín hiệu xung cho trên hình 1

)(1)(1)(

1t T

) 1 ( ) 2

5t f

0

t

0 1

f ( )] 1 (1  ) 1 

VD 8:

)(1)

(1)()(1)

(

1)]

(

s

T s

e e t

Biến đổi hàm f4(t) để có dạng thích hợp:

)1(1]9)1(6)1[(

1[Áp dụng tính chất 4:

s s s e t

43)(

1 t

F £[cos2(t )]1 £[cos2tcos2sint2sin2]

42sin42

s

)(

F £[ cos2( 1)] F1(s)

ds

d t

]2sin42cos)4[(

)2(

(s

F £f5(t)£[3e4tcos2(t1)]

2sin)4(42cos])4[(

]4)4[(

£ -1

s F

(s

)(

)()]

([

0 1 1

1

0 1 1

1

s A

s B a s a s

a s a

b s b s

b s b t

n n n

m m m

Trong trường hợp tổng quát, Y(s) là một phân thức hữu tỷ biến s, hệ số thực và bậc của

tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số (m<n) Nếu Y(s) là một phân thức hữu tỷ thì việc tìm £-1

của nó không phải dùng đến công thức Rieman – Mallin Khi đó, bằng cách phân tích

các phân thức hữu tỷ thành tổng các phân thức tối giản, người ta sẽ tìm được £-1 của

các phân thức tổi giản Để phân tích phân thức (3.3.2) thành tổng các phân thức tối giản

cần phải tìm nghiệm của đa thức mẫu A(s) có bậc lớn thì việc tìm các điểm cực không

phải dễ dàng Đây chính là nhược điểm của phương pháp toán tử

Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP HCM

Sau đây sẽ trình bày cách phân tích phân thức hữu tỷ Y(s) thành tổng các phân thức tối

giản Nếu kí hiệu S k là các điểm cực của phân thức (3.3.2) thì có thể thấy, chúng bao

gồm các loại sau:

Các điểm cực thực đơn

Một trong chúng là điểm cực phức Điểm cực bội r (r<n)

Việc phân tích (3.3.2) thành tổng các phân thức tối giản được tiến hành như sau, tùy

theo các loại điểm cực đã nêu trên

a) Giả thiết tất cả các điểm cực s k của Y(s) là đơn

Khi đó đa thức mẫu có thể viết lại:

)())(

()(s a n s s1 s s2 s s n

Với hệ số a k, b klà thực và bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số làm hữu tỷ Y(s) có thể viết

dưới dạng:

)())(

(

)()

)()

(

)()(

)()(

2

s K s

s

s K s

s

s K s Y

Trong đó K i là Residu (hệ số bằng phân tích của hàm Y(s) tại điểm cực s i), nó được

xác định theo công thức:

)(

)(lim)

(

)(

s A

s B s

B

s A res K

i

s s i

 tại điểm s i khác không, hệ số K i có thể được xác định theo công thức sau:

)(

)(

s A

s B

Sau khi tìm được các hệ số K i có thể tìm được £-1 của hàm Y(s) một cách dễ dàng với

việc áp dụng kết quả của VD 1

e t1( )] 1[

Ta sẽ có:

)

Y

1

)(1)]

([

thành phần nghiệm tương ứng với các cặp điểm cực phức sẽ là:

Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP HCM

|

|2)

2 ,

cos(

|

|2)(

3

K t

e K t

n

k

t i

c) Giả thiết trong hàm Y(s), xuất hiện một điểm cực s bộir, các điểm cực khác là 1

đơn Biểu thức của A(s) có dạng:

)())(

()()(s a n s s1 r s s k 1 s s k 2 s s n

Nếu bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số (m<n) thì hàm Y(s) có thể viết:

)())(

)(

(

)()

(

2 1

a

s b s

()()()

()()(

1

1 1

, 1 2 2 , 1 1

1

1 , 1 1

, 1

n n r

r t

t r

r r

r

s s

K s

s

K s

s

K s

s

K s

s

K s

s

K s

Trong tổng (1.12) , r thành phần đầu tiên tương ứng với điểm cực s , t bội r, có các hệ số

(Reidu) được xác định bởi:

r i

r i

r

i r

s s s A

s B ds

d i r

(

) ( 1 2

,

)(

)()

(

1

(3.3.13)

Biến đổi ngược Laplace của các phân thức tương ứng với điểm cực bội có thể dễ dàng

tìm được, khi áp dụng kết quả của ví dụ và các tính chất 4, 5 của biến đổi Laplace

e t1( )] 1[

£[ 11( )] n!1

s

n t t

Tức là:

1)

(

1

t e r

s s

t s r

)(1)!

1()

1

t e t i

k t

r i i t

s i

i

K t

y

)(1)

(1)!

1()

4)

s s

32

52

352)

21

2

3)1(

42

1)

s

K s

K s

s

s s

Hãy xác định Residu của các điểm cực s11;s2 3/2

6)1()2/3)(

1(

)4(lim

s K

s

5)2/3()2/3)(

1(

)4(lim

2 / 3

s K

s

£

2

1)]

(

532/3

51

t e e

s s

Hàm F(s) trong trường hợp này không phải là hàm hữu tỉ, tuy nhiên có thể thấy từ các

tính chất của biến đổi Laplace là việc nhân hàm ảnh với es( a 0) sẽ tương ứng với

việc dịch chuyển hàm gốc trong miền thời gian (tính chất 2) Trong trường hợp này chỉ

cần xét hàm:

52)

s s

F

Hàm này có các điểm cực liên hiệp phức:

21

S  

21

S  Các hệ số của F1(s) là thực, do đó, các Residu tương ứng là liên hiệp phức:

)2(4

1

)2(4

cos2

5)]

(2cos2

5)]

VD 3:

Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP HCM

2)

s

s s

F

Hàm F(s) có nghiệm bội 2 s1,2=-1, và nghiệm đơn s3=0, s4=-3 F(s) được phân tích

thành:

)3()

1()1()

2 2 , 1

K s

K s

K s

F

Trong đó:

2

1)

1()(

)(

1 2 2

.

s A

s B K

4

3)

(

)1)(

(

1 2 1

.

s A

s s B ds

d K

3

2)(

)(lim

0

s B K

s

12

1)3()(

)(lim

s B K

s

Do đó:

)3(12

13

2)1(4

1)

1(2

1)

s s

s F

12

12

32

32

1)]

3

1)

2 2 , 1

j s

K j

s

K s

K s

K s

1)( 1 , 2 1 , 1 12 2

s

C s C s

K s

K s

F

Khi đồng nhất các hệ số và so sánh ta được:

04

;

0 1,1

1 1 ,

K

14

;

0 1,2

2 2 ,

;0

;4

1

2 1

1 , 1 2

1)]

4 Biến đổi Laplace một số hàm:

e a





)(

1

a s

6

)(

1

2 1

1 2

t a t a

e e a a

2 1

2 1

t a t

a

e a e a a a

!

a  n s

n

n

9

)1(

10

)]

)1(1[(

1

2

at

e a a





)(s a s

2

)(s a

s



2 2





s s

14 eat Sint

2 2

)(  



a s

a s

16

)cos1(





s s

Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP HCM