ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2002 Môn: Toán học (cho thí sinh thi vào chuyên Toán hoặc chuyên Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề). Câu I: 1) Giải phương trình: 322323 22 −++−=+++− xxxxxx 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 9=++ yxyx Câu II Giải hệ phương trình: +=+ =++ yxyx xyyx 3 1 33 22 Câu III Cho mười số nguyên dương 1, 2, …, 10. Sắp xếp mười số đó một cách tùy ý thành một hàng. Cộng mỗi số với số thứ tự của nó trong hàng, ta được mười tổng. Chứng minh rằng trong mười tổng đó tồn tại ít nhất hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau. Câu IV Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: cba c bca b acb a P − + + − + + −+ = 1694 trong đó cba ,, là độ dài ba cạnh của một tam giác. Câu V Đường tròn (C) tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm A', B', C'. 1) Gọi các giao điểm của đường tròn (C) với các đoạn IA, IB, IC lần lượt là M, N, P. Chứng minh rằng các đường thẳng A'M, B'N, C'P đồng quy. 2) Kéo dài đoạn AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D (khác A). Chứng minh rằng r ID ICIB 2 . = , trong đó r là bán kính của đường tròn (C). Môn: Toán học (cho thí sinh thi vào chuyên Toán hoặc chuyên Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề). Câu I: 1) Giải hệ phương trình: =++ =++ =++ 5 2 1 xzxz zyzy yxyx 2) Giải phương trình: 32 11 xxx =−+− Câu II Biết rằng phương trình 0 2 =++ cbxax vô nghiệm. Chứng minh rằng phương trình 0 2 =+++++ cbacbxax cũng vô nghiệm. Câu III Tìm giá trị lớn nhất của tích xyzP = trong đó zy x ,, là những số nguyên dương thỏa mãn: .100=++ zyx Câu IV Tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho bất đẳng thức n yx nn 1 ≥+ được nghiệm đúng với mọi x và y thỏa mãn điều kiện .1 22 =+ yx Câu V Cho nửa đường tròn đường kính AB. Trên nửa đường tròn đó lấy hai điểm C và D sao cho các dây cung AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ đường tròn tâm O đi qua ba điểm C, D, E. 1) Chứng minh rằng AD, BC, OE đồng quy. 2) Cho AEB = 135 o . Chứng minh rằng khoảng cách từ O đến trung điểm của đoạn AB bằng . 2 2.AB . Giải phương trình: 32 232 3 22 −++−=+++− xxxxxx 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 9=++ yxyx Câu II Giải hệ phương trình: +=+ =++ yxyx xyyx 3 1 33 22 Câu III Cho. HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2002 Môn: Toán học (cho thí sinh thi vào chuyên Toán hoặc chuyên Tin) Thời gian làm bài:. rằng r ID ICIB 2 . = , trong đó r là bán kính của đường tròn (C). Môn: Toán học (cho thí sinh thi vào chuyên Toán hoặc chuyên Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề).