Đề thi hsg cấp cụm cao bằng
Sở GIáO DụC & ĐàO TạO CAO BằNG đề chính thức Kỳ THI OLYMPIC CHọN HọC SINH GIỏI KhốI GIAO Ước thi đua số 3 Năm học: 2011- 2012 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. (4 điểm) Giải các phơng trình sau: a. x 1 x 3 = b. 2 2 x 5x 4 x 6x 5 + = + + Câu 2. (4 điểm) Giải hệ phơng trình: 2 2 x y x y 8 x y xy 5 + + + = + + = Câu 3. (3 điểm) Giải bất phơng trình sau: 7x 1 3x 18 2x 7+ + Câu 4. (3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng: a. MA MC MB MD+ = + uuuur uuur uuur uuuur b. MA.MC MB.MD= uuuur uuur uuur uuuur Câu 5. (3 điểm) Tính góc A của tam giác ABC biết các cạnh a,b,c thoả mãn hệ thức: ( ) ( ) 2 2 2 2 b b a c c a (b c) = Câu 6. (3 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc c a abc abc + + + + + + + + ----------------Hết----------------- Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: ĐáP áN Đề OLYMPIC CHọN HọC SINH GiỏI KhốI GIAO Ước thi đua số 3 năm học 2011-2012 lớp 10. Môn thi: Toán. Câu 1: ( 4 điểm) a) x 1 x 3 = ĐKXĐ: x 3 ( ) ( ) 2 2 x 5(nhan) x 1 x 6x 9 x 7x 10 0 x 5 x 2 0 x 2(loai) = = + + = = = Vậy nghiệm của phơng trình là: { } S 3= (làm đúng đợc 2điểm) b) 2 2 x 5x 4 x 6x 5 + = + + (1) * Với 2 2 2 x 1 1 x 5x 4 0 (1) x 5x 4 x 6x 5 x x 4 11 + + = + + = (đợc 1đ) * Với 2 2 2 2 x 5x 4 0 1 x 4, (1) x 5x 4 x 6x 5 2x x 9 0 (vo nghiem) + < < < + = + + = Vậy phơng trình có nghiệm: 1 S 11 = (làm đúng đợc 2 điểm) Câu 2: (4 điểm) Giải hệ phơng trình: 2 2 2 x y x y 8 (x y) 2xy x y 8 x y xy 5 x y xy 5 + + + = + + + = + + = + + = Đặt xy P; x y S= + = . HPT thành 2 2 S 2P S 8 (1) Tu (2) S 5 P the vao PT (1), (1) (5 P) 2P 5 P 8 S P 5 (2) + = = + = + = 2 2 P 11 25 10P P 2P 5 P 8 P 13P 22 0 P 2 = + + = + = = Với P =11 -> S = -6, với P = 2 -> S = 3 Vậy ta có hệ phơng trình: x y 6 x y 3 (3)hoac (4). xy 11 xy 2 + = + = = = Ta có: Hệ (3) vô nghiệm; Hệ (4) có nghiệm: (x;y); (2;1); (1;2) Kết luận: Hệ phơng trình đã cho có 2 cặp nghiệm: (x;y) ; (2;1) ; (1;2) (đợc 2điểm) Câu 3: (3điểm) Giải bất phơng trình: 7x 1 3x 18 2x 7+ + ĐK: x 6 2 7x 1 3x 18 2 (7x 1)(3x 18) 2x 7 (7x 1)(3x 18) 16x 96x 144 + + + + + + 18 x (loai) 5 x 9(nhan) Vậy phơng trình có nghiệm: x 9 (đúng trọn vẹn 3điểm) Câu 4: (3 điểm) a) CM: MA MC MB MD+ = + uuuur uuur uuur uuuur Giả sử: MA MC MB MD MD DA MB BC MB MD 0+ = + + + + = uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur r DA BC 0 DA AD 0 (dung) (vi BC AD) + = + = = uuur uuur r uuur uuur r uuur uuur Vậy MA MC MB MD+ = + uuuur uuur uuur uuuur (làm đúng đợc 1,5điểm) b) CM: MA.MC MB.MD= uuuur uuur uuur uuuur Ta có: ( ) ( ) MA.MC MB BC . MD DC MB.MD MB.DC BC.MD BC.DC= + + = + + + uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur ( ) ( ) MA.MC MB.MD DC. MB MD DC MB.MD DC. MB MC = + = + uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur MA.MC MB.MD DC.CB MB.MD = + = uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur ( vì DC.CB 0= uuur uuur r ) Vậy MA.MC MB.MD= uuuur uuur uuur uuuur (làm đúng đợc 1,5điểm) Câu 5: (3 điểm) Tính góc A của tam giác ABC. Biết các cạnh a,b,c thoả mãn hệ thức: ( ) ( ) 2 2 2 2 b b a c c a (b c) = Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 b b a c c a (b c) = 3 2 3 2 2 2 3 3 2 2 2 b a b c a c a c a b c b a (c b) (c b)(c cb b ) = = = + + 2 2 2 a c cb b = + + Mà theo hệ quả của định lí cosin trong tam giác ABC ta có: 2 2 2 2 2 2 2 b c a b c c cb b cb 1 cosA 2bc 2bc 2bc 2 + + = = = = Vậy à A 120= (đpcm) (làm đúng quy trình đợc trọn vẹn 3 điểm) Câu 6: (3 điểm) Cho a,b,c > 0. CMR: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc c a abc abc + + + + + + + + Ta có: 3 3 2 2 a b abc (a b)(a ab b ) abc (a b)ab abc ab(a b c)+ + = + + + + + = + + 3 3 1 1 a b abc ab(a b c) + + + + Tơng tự ta có: 3 3 3 3 1 1 1 1 ; b c abc bc(a b c) c a abc ac(a b c) + + + + + + + + . Cộng vế với vế ta đợc: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 a b abc b c abc c a abc ab(a b c) bc(a b c) ac(a b c) + + + + + + + + + + + + + + + + 3 3 3 3 3 3 1 1 1 a b c a b abc b c abc c a abc abc(a b c) + + + + + + + + + + + + Vậy : 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc c a abc abc + + + + + + + + (đúng đợc trọn vẹn 3điểm) . GIáO DụC & ĐàO TạO CAO BằNG đề chính thức Kỳ THI OLYMPIC CHọN HọC SINH GIỏI KhốI GIAO Ước thi đua số 3 Năm học: 2011- 2012 Môn thi: Toán Thời gian làm. bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: .. ĐáP áN Đề OLYMPIC CHọN HọC SINH GiỏI KhốI GIAO Ước thi đua số 3 năm học 2011-2012