CÁCH GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẬC HAI Nguyễn Thành Bửu Trong các tài liệu ôn thi vào đại học – cao đẳng, ta thường gặp phương trình vô tỉ dạng 2 p ax b kx lx m+ = + + . Tuy nhiên, không phải phương trình nào cũng được giải dễ dàng. Ở đây, tôi chỉ giới thiệu cách giải lớp phương trình dạng 2 p ax b cx d ( x )+ + + = α + β trong đó 2 2 p a c p b d − = α − = β (*) Theo các sách tham khảo, cách giải như sau: Đặt p ax b y+ = α + β , khi đó ta có hệ 2 2 2 2 ( x ) y cx d ( y ) p ax p b α + β = α +β + + α + β = + (a) Hệ phương trình trên được giải dễ dàng bằng cách trừ hai phương trình của hệ cho nhau. Ví dụ 1: Phương trình 2 x x 5 5+ + = ⇔ 2 x 5 5 x− + + = Phương trình này thoả mãn điều kiện (*), nên đặt x 5 y− + = và có hệ 2 2 x y 5 y x 5 = + = + Ví dụ 2: Phương trình 2 2x 1 x 3x 1 0− + − + = ⇔ 2 2x 1 x (x 1)− − + = − Phương trình này thoả mãn điều kiện (*), nên đặt 2x 1 y 1− − = − và có hệ 2 2 (x 1) y 1 x (y 1) 2x 1 − = − + − = − Ví dụ 3: Phương trình 2 4x 3x 1 5 13x+ + + = ⇔ 2 3x 1 x 4 (2x 3)− + + + = − Phương trình này thoả mãn điều kiện (*), nên đặt 3x 1 2y 3− + = − và có hệ 2 2 (2x 3) 2y x 1 (2y 3) 3x 1 − = + + − = + Ví dụ 4: Phương trình 2 32x 32x 2x 15 20+ = + + ⇔ 2 8x 60 56 (8x 4)+ + = + Phương trình này thoả mãn điều kiện (*), nên đặt 8x 60 8y 4+ = + và có hệ 2 2 (8x 4) 8y 60 (8y 4) 8x 60 + = + + = + Ví dụ 5: Phương trình 2 x 3 2x 4x 2 + + = ⇔ 2 2x 6 4 (2x 2)+ + = + Phương trình này thoả mãn điều kiện (*), nên đặt 2x 6 2y 2+ = + và có hệ 2 2 (2x 2) 2y 6 (2y 2) 2x 6 + = + + = + Ví dụ 6: Phương trình 2 4x 9 7x 7x 28 + + = ⇔ 2 28x 63 49 7 7x 4 4 2 + + = + ÷ Phương trình này thoả mãn điều kiện (*), nên đặt 28x 63 7 7y 4 2 + = + và có hệ: 2 2 7 63 7x 7y 2 4 7 63 7y 7x 2 4 + = + ÷ + = + ÷ Tổng quát, ta thử giải tiếp hệ (a). Từ hệ (a), lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai theo vế ta có: 2 2 2 2 ( x ) ( y ) y (c p a)x d p bα + β − α + β = α + − + β + − ⇔ ( x y)( x y 2 ) x y 0α − α α + α + β + α − α = ⇔ ( x y)( x y 2 1) 0α − α α + α + β + = ⇔ x y 0 x y 2 1 0 α − α = α + α + β + = ⇔ 1 1 x y 2 2 1 1 x y 2 2 α + β + = α +β + α + β + = −α −β − ⇔ 2 2 1 1 x y 2 2 α +β + = α + β + ÷ ÷ ⇔ 2 2 1 1 p ax b x 2 2 + + = α + β + ÷ ÷ (b) Trở lại các ví dụ trên, ta có: Ví dụ 1: 2 x x 5 5+ + = ⇔ 2 2 1 1 x 5 x 2 2 − + + = + ÷ ÷ ⇔ x 5 x x 5 x 1 + = − + = + Ví dụ 2: 2 2x 1 x 3x 1 0− + − + = ⇔ 2 2 1 1 2x 1 x 2 2 − − + = − ÷ ÷ ⇔ 2x 1 1 x 2x 1 x − = − − = Ví dụ 3: 2 4x 3x 1 5 13x+ + + = ⇔ 2 2 1 5 3x 1 2x 2 2 − + + = − ÷ ÷ ⇔ 3x 1 2x 3 3x 1 2x 2 + = − + + = − Ví dụ 4: 2 32x 32x 2x 15 20+ = + + ⇔ 2 2 1 9 8x 60 8x 2 2 + + = + ÷ ÷ ⇔ 8x 60 8x 4 8x 60 8x 5 + = + + = − − Ví dụ 5: 2 x 3 2x 4x 2 + + = ⇔ 2 2 1 5 2x 6 2x 2 2 + + = + ÷ ÷ ⇔ 2x 6 2x 2 2x 6 2x 3 + = + + = − − Ví dụ 6: 2 4x 9 7x 7x 28 + + = ⇔ ( ) 2 2 28x 63 1 7x 4 4 2 + + = + ÷ ÷ ⇔ 28x 63 7 7x 4 2 28x 63 9 7x 4 2 + = + + = − − Ghi chú: 1) Bước biến đổi phương trình ban đầu về dạng 2 p ax b cx d ( x )+ + + = α + β trong đó 2 2 p a c p b d − = α − = β là khó nhất, các em học sinh phải “khéo léo” biến đổi ở bước này. 2) Khi trình bày bài toán bằng cách thứ hai, chỉ cần viết trực tiếp: Phương trình đã cho ⇔ 2 2 1 1 p ax b x 2 2 + + = α + β + ÷ ÷ (không cần viết bước trung gian 2 p ax b cx d ( x )+ + + = α + β ) 3) Nhớ khai triển ngược 2 2 1 1 p ax b x 2 2 + + = α + β + ÷ ÷ để kiểm tra. 4) Các bạn đồng nghiệp có thể dựa vào dạng 2 2 1 1 p ax b x 2 2 + + = α + β + ÷ ÷ để “sản xuất” hàng loạt bài khác. . CÁCH GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẬC HAI Nguyễn Thành Bửu Trong các tài liệu ôn thi vào đại học – cao đẳng, ta thường gặp phương trình vô tỉ dạng 2 p ax b kx lx m+. 2 p ax b kx lx m+ = + + . Tuy nhiên, không phải phương trình nào cũng được giải dễ dàng. Ở đây, tôi chỉ giới thiệu cách giải lớp phương trình dạng 2 p ax b cx d ( x )+ + + = α + β trong đó. khảo, cách giải như sau: Đặt p ax b y+ = α + β , khi đó ta có hệ 2 2 2 2 ( x ) y cx d ( y ) p ax p b α + β = α +β + + α + β = + (a) Hệ phương trình trên được giải dễ dàng bằng cách