10 đề ôn thi vào lớp 10 trường chuyên có đáp án

Một số đề ôn thi vào chuyên toán có đáp ánthì đờng thẳng d cắt P tại hai điểm phân biệt M và N, khi đó tìm quĩ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN khi m thay đổi.. Chứng minh rằng khi C

Một số đề ôn thi vào chuyên toán ( có đáp án)

thì đờng thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N, khi đó tìm quĩ tích trung

điểm I của đoạn thẳng MN khi m thay đổi

3 Tìm quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến của parabol (P) và

1 Chứng minh rằng khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho thì đờng thẳng EDluôn đi qua một điểm cố định và đờng thẳng FG luôn đi qua điểm cố định khác

2 Tìm quĩ tích của các điểm E và G khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho

3 Tìm quĩ tích của các điểm D và F khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho

Hết

Đáp án và thang điểm:

Bài 1 ý Nội dung Điểm

1.1 (2,0 điểm)

Phơng trình đờng thẳng d 1 đi qua A(2; 1) có dạng: y = ax + b và 1 = 2a +

Phơng trình cho hoành độ giao điểm của d 1 và (P) là:

Với điều kiện (*), d cắt (P) tại 2 điểm M và N có hoành độ là x 1 và x 2 là 2 nghiệm của phơng trình (2), nên toạ độ trung điểm I của MN là:

 =  < > ⇔ < >  +

Gọi M x y0( ; )0 0 là điểm từ đó có thể vẽ 2 tiếp tuyến vuông góc đến (P)

Ph-ơng trình đờng thẳng d' qua M 0 và có hệ số góc k là: y kx b= + , đờng thẳng này đi qua M 0 nên y0 =kx0 + ⇔ =b b y0−kx0, suy ra pt của d':

x y xy

+ Vậy khi C di chuyển trên nửa đờng tròn (O) thì

dờng thẳng ED đi qua điểm I cố định và đờng

3.2 Suy ra quĩ tích của I là nửa đờng tròn đờng kính BI (bên phải By,

,

C≡ ⇒ ≡A E I C B≡ ⇒ ≡E B); quĩ tích của K là nửa đờng tròn đờng

ta có:

1 2

:

+ Vậy: Quĩ tích của D là nửa đờng tròn đờng kính BK.

Cho đờng tròn tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau E

là điểm bất kì trên cung AD Nối EC cắt OA tại M, nối EB cắt OD tại N

AM DNì là một hằng số Suy ra giá trị nhỏ nhất của tổng

OM ON

2 Gọi GH là dây cung cố định của đờng tròn tâm O bán kính R đã cho và GHkhông phải là đờng kính K là điểm chuyển động trên cung lớn GH Xác định vịtrí của K để chu vi của tam giác GHK lớn nhất

Hết

Đáp án và thang điểm:

Bµi ý Néi dung §iÓm

2. 6,0

2.1 (3,0 ®iÓm)

2 2

3 5 1

x x y

x y

x y xy

Trên tia đối của tia KG lấy

điểm N sao cho KN = KH.

ã 1

4GOH

1,5

GN là dây cung của cung tròn (O') nên GN lớn nhất khi GN là đờng kính

của cung tròn, suy ra GHK∆ vuông tại H, do đó ãKGH =KHGã (vì lần lợt

phụ với hai góc bằng nhau) Khi đó, K là trung điểm của cung lớn ẳGH

hoctoancapba.com

Cho phơng trình 2x2 − 2mx m+ 2 − = 2 0 (1)..

5 Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thoả

5 2

x +x =

d-ơng của phd-ơng trình đạt giá trị lớn nhất

1 Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất.Tính diện tích lớn nhất đó

2 Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thớc kẻ và com-pa.Tính diện tích của hình vuông đó

Hết

Đáp án và thang điểm:

Bài 1 ý Nội dung Điểm

1.1 (2,0 điểm)

Để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt, cần và đủ là:

2 2

2 0 2 0

m m P

2

0 2 2 (**) 2

0

m m

Khi đó 2 nghiệm của phơng trình là:

2 2

3 0 3

1

1 13

0 2

2

1 13

0 2

2

9 13 2

2

x = ± −

1,0

0,5

3.2 + Giả sử đã dựng đợc hình vuông EFGH nội tiếp trong tam

giác ABC Nối BF, trên đoạn BF lấy điểm F'.

+ Cách dựng và chứng minh: Trên cạnh AB lấy điểm E' tuỳ ý, dựng hình

vuông E'F'G'H' (G', H' thuộc cạnh BC) Dựng tia BF' cắt AC tại F Dựng

hình chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC Chứng minh tơng tự trên, ta

Trờng hợp hình vuông E'F'G'H' có đỉnh F' ở trên cạnh AC; G' và H' ở

trên cạnh BC, lý luận tơng tự ta cũng có tia CE' cố định, cắt AB tại E.

Vậy bài toán có một nghiệm hình duy nhất.

4 A, B, C là một nhóm ba ngời thân thuộc Cha của A thuộc nhóm đó, cũng vậycon gái của B và ngời song sinh của C cũng ở trong nhóm đó Biết rằng C và ng-

ời song sinh của C là hai ngời khác giới tính và C không phải là con của B Hỏitrong ba ngời A, B, C ai là ngời khác giới tính với hai ngời kia ?

Bài 3: (7 điểm)

Cho đờng tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vuông góc với

xúc với 2 cạnh OB và OC của tam giác OBC và tiếp xúc trong với đờng tròn (O) Đờng

kính của các đờng tròn (O1), (O2), (O3), (O4) theo R

Hết

Đáp án và thang điểm:

Bµi ý Néi dung §iÓm

1.1 (4,0 ®iÓm)

4 4

x y

So víi ®iÒu kiÖn (*), ta cã: x= = >y 1 34.

1

x y

Nếu y lẻ: y= 1;3;5;7;9 ⇒y2 = 1;9; 25; 49;81 ⇒ =b 1;5;9 Khi đó 2xy có chữ

số tận cùng là số chẵn, nên chữ số hàng chục của k phải là số chẵn khác2

Với y = 4; 6: y2 = 16;36, khi đó 20xy có chữ số hàng chục là số chẵn, nên chữ số hàng chục của k 2 phải là số lẻ, do đó không thể bằng 4 hoặc 6, nghĩa là k2 ≠abbb.

Với y = 8: y 2 = 64; k2 = 100x2 + 160x+ 64, khi đó x chỉ có thể là 3 hoặc 8 thì chữ số hàng chục của k 2 mới bằng 4, suy ra k2 = 38 2 = 1444 hoặc

2 88 2 7744

Vậy: bài toán có một lời giải duy nhất: Hình vuông cần xác định có cạnh

⇔ =

+

+ Đờng tròn (O 2 ) tiếp xúc với OB và OD nên tâm O 2 ở trên tia phân giác

của góc ãBOD , (O2 ) lại tiếp xúc trong với (O) nên tiếp điểm T của chúng ở

trên đờng thẳng nối 2 tâm O và O 2 , chính là giao điểm của tia phân giác

góc ãBOD với (O).

+ Đờng thẳng qua T vuông góc với OT cắt 2 tia OB và OD tại B' và D' là

tiếp tuyến chung của (O) và (O 2 ) Do đó (O 2 ) là đờng tròn nội tiếp

' '

OB D

+ ∆OB D' 'có phân giác góc O vừa là đờng cao, nên nó là tam giác vuông

cân và ' ' 2B D = OT = 2 ,R OB' =OD' =R 2, suy ra: ∆OB D' ' = ∆ACD.

2

4 2 2 1 1

22 30 '

R

O O KF

b) Tr ờng hợp 2: (O' 4 ) ở bên phải (O 1 ):

Khi đó: K' là tiếp điểm của 2 đờng tròn, tiếp tuyến chung cắt CA và CD

tại E' và F', CD tiếp xúc với (O' 4 ) tại H.

4 2 2 1 4 2 2 '

4 2 2 1

R

=

Câu 1: (1,5 điểm) So sánh các số thực sau ( Không dùng máy tính gần đúng).

3 2 và 2 3

Câu 2: (3 điểm) Giải phương trình sau: x2 − −1 x2 + =1 0

Câu 3: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2

Câu 4: (2 điểm) Giải hệ phương trình:

2x2 + 3y = 1 3x2 - 2y = 2

Câu 5: (4 điểm) Lớp 9A có 56 bạn, trong đó có 32 bạn nam Cô giáo chủ nhiệm dự

kiến chia lớp thành các tổ học tập:

- Mỗi tổ gồm có các bạn nam, các bạn nữ

- Số các bạn bạn nam, các bạn nữ được chia đều vào các tổ

- Số người trong mỗi tổ không quá 15 người nhưng cũng không ít hơn chínngười

Em hãy tính xem cô giáo có thể sắp xếp như thế nào và có tất cả mấy tổ ?

Câu 6: (5điểm) Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuông góc với

nhau Trong đoạn AB lấy điểm M khác 0 Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tạiđiểm thứ hai N Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với đường tròn(O) tại N ở điểm P Chứng minh rằng:

a) Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn

b) Tứ giác CMPO là hình bình hành

d) Khi M di chuyển trên đoạn AB thì P di chuyển ở đâu ? hoctoancapba.com

Câu 7: ( 3điểm) Cho đường tròn (O, R), đường kính AB C là điểm trên đường tròn

(O, R) Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB Khi C chuyển động trênđường tròn (O, R) thì D chuyển động trên đường nào?

⇔

x= ± = ±

* Vậy O, M, N, P cùng thuộc đường tròn đường kính OP.

b) MP//OC (vì cùng vuông góc với AB)

NMP NCD= (hai góc đồng vị)

ONC OCN= (hai góc đáy của tam giác cân ONC)

·NMP NOP= · (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NP)

Suy ra MNO NOP· = · ; do đó, OP//MC.

Vậy tứ giác MCOP là hình bình hành.

0,5

0,25 0,25 0,25

0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

c) ∆CND: ∆COM g g( )

CN = CD hay CM.CN = OC.CD = 2R 2

d) Vì MP = OC = R không đổi.

Vậy P chạy trên đường thẳng kẻ từ D //AB Do M chỉ chạy

trên đoạn AB nên P chỉ chạy trên EF thuộc đường thẳng song

nói trên.

0,5 0,5 0,5 0,5

D C

O

Cho đường tròn (O , R) và điểm A với OA = 2R Từ A vẽ 2 tiếp tuyến

AE và AF đến (O) (E, F là 2 tiếp điểm) Đường thẳng OA cắt (O) tại C và D(O nằm giữa A và C)

a) Tính diện tích tứ giác AECF theo R

b) Từ O vẽ đường thẳng vuông góc với OE cắt AF tại M Tính tỷ số

c) Đường thẳng kẻ từ D vuông góc với OE cắt EC tại Q Chứng minh cácđường thẳng AC, EF và QM đồng qui

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2007-2008

Môn: Toán - Lớp 9 Bài 1(2 điểm)

Vậy toạ độ giao điểm của (D) và (H) là (-1 ; 4) và (2 ; -2) (0,25 đ)

2 =

A

-4 x

2 ; x B = 8 ⇒ y B = -14 Vậy A ( 1

Từ x - 2x - < y < 2 - x -12 1

2

Suy ra y + > 01 ⇔ y > -1 và y - 2 < 0 ⇔ y < 2 (0,75 đ)

Vẽ hình chính xác (0,25 đ)

Ta có OM // AE ( ⊥ OE) nên MOA = OAE· ·

mà OAE = OAM· · Do đó MOA = OAM· ·

Suy ra ∆ OMA cân tại M ⇒ MO = MA

mà OMF = EAF = 2EAO· · ·

sin ·EAO = OE = R = Þ1 ⇒ ·EAO= 300

- Chứng minh QDMO là hình bình hành

Suy ra QM và DO giao nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà I là trung điểm của OD (OI = ID = R

2 ) nên I là trung điểm của QM

Vậy AC, EF và QM đồng quy tại I.

Bài 6 (1đ) Giải bất phương trình 2007< 2008

−x

HẾT

=x(x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2)

(1đ) (1đ)

x ≠5và x ≠2

2 2

Gợi ý đáp án Điểmhoặc x=-8

//CH,

giác BGCH có các cặp cạnh đối sông song

nên nó là hình bình hành Do đó hai đường

chéo GH và BC cắt nhau tại trung điểm của

mỗi đường Vậy GH đi qua trung điểm M của

BC

(2đ)

4b) Do BE và CF là các đường cao của tam giác ABC nên các tam giác

ABE và ACF vuông Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A nên

Suy ra DH là tia phân giác góc EDF Chứng minh tương tự ta có FH là tia

phân giác góc EFD Từ đây suy ra H là giao điểm ba đường phân giác tam

giác DEF Vậy H các đều ba cạnh của tam giác DEF

Trong từng phần, từng câu, nếu thí sinh làm cách khác nhưng vẫn cho kết quả đúng,

hợp logic thì vẫn cho điểm tối đa của phần, câu tương ứng

2007 2008

HẾT

Bài 1: a) Giải phương trình: x4- x3+ -x2 11x+ =10 0.

Bài 4 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên đường kính AB lấy hai điểm I và J

đối xứng nhau qua O M là một điểm (khác A và B) trên (O); các đường thẳng MO,

MI, MJ thứ tự cắt (O) tại E, F, G; FG cắt AB tại C Đường thẳng đi qua F song song

AB cắt MO, MJ lần lượt tại D và K Gọi H là trung điểm của FG

a) Chứng minh tứ giác DHEF nội tiếp được

b) Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

ĐÁP ÁN Bài 1: a) x4- x3+ -x2 11x+ =10 0.

x y

ì =ïï

Û íï =ïî

K D

H C

G E

F

B O

mà GME· =GFE· Þ ·HDE=GFE· Þ DHEF

nội tiếp được.

b) Từ câu a suy ra·DEH =·DFH

mà ·DFH=OCH· Þ OHEC nội tiếp được

Þ OEC· =OHC· =900 Vậy CE là tiếp tuyến của (O).

2x2 - 2y2 + 5t2 = 30

x2 + 8y2 + 9z2 = 168Bài 3 (2 điểm):

Cho hàm số f(x) =

2 x 2 x

1 x 2 x

2

2 +

AB tại D Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với DE cắt đường thẳng AH tại N

a) Chứng minh: BM BH = MD HN

b) Chứng tỏ N là một điểm cố định

c) Biết AB = 5 cm, BC = 6 cm Tính khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếpvà tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2006-2007

Môn: Toán - Lớp 9 Bài 1(2 điểm)

a) (1 điểm)

x x 10 xy 10 xy 21 y x 7 y x 3 y

3

x 2

3

x 5

y =

4

3 x 3

2

3 x

y = +

4

3 x

x 2

12 3

y = +

4

3 x

y = +

x 5

12

16 3

2

5 x

y = +

4

3 x

y = +

3 2

9

x =

3 2

y = +

4

3 x

Từ (3) ⇒ x = 8, y = 7, các giá trị này không thỏa (2)

Từ (4) ⇒ x = 4, y = 1 Thay vào (2) ta có:

Do đó:

( )2

1 1 x

1 1

1 1

1

−

+ hay f(x1 ) < f(x 2 ) Vậy với 1 ≤ x 1 < x 2 thì f(x 1 ) < f(x 2 )

b) 1 điểm

f(x) > 1

2 ⇔

2 x 2 x

1 x 2 x

2

2 +

4

3 ⇔

2 x 2 x

1 x 2 x

2

2 +

2

1 < f(x) <

4

3 ⇔ 1 - 3 < x < 0 hoặc 2 < x < 1 + 3 Bài 4 (4 điểm)

∆ ABH có MD//AH nên

BH

AH BM

Từ (2) và (3) ⇒

BH

AH HN

AH

BH HN

⇒ AH = 4cm Gọi K là tâm đường tròn nội tiếp ABC, thì BK là phân giác của µB và K ∈ AH.

Do đó:

5

3 BA

BH KA

8

4 8

KA KH 5

KA 3

K I

KA = 2,5cm Gọi I là tâm dường tròn ngoại tiếp ∆ ABC thì IP là đường trung trực của cạnh AB và I

AP AI

Bốn người 1; 2; 3; 4 tham dự một hội nghị Biết rằng :

a Mỗi người chỉ biết hai trong bốn thứ tiếng Anh, Nga, Phâp, Việt

b Người 1 biết tiếng Nga, không biết tiếng Phâp

Bài 5: (8 điểm)

Cho đoạn thẳng AB = a

Câu 2/ (1,5đ) Cho x > 0 , y > 0 , t > 0

a/ (1,5đ) Chứng minh EB2 +EC2 + EA2 không phụ thuộc vị trí điểm A

b/ (1,5đ) Chứng minh rằng khi điểm A di động trên đường tròn (O; r) và A≠ E thìđường thẳng CM luôn đi qua một điểm cố định ( gọi tên điểm cố định là K )

tròn (O;r) thì điểm H di động trên đường nào ? Chứng minh nhận xét đó ?

Đáp án và biểu điểm chấm Toán 9

m m Hay m n 2

0,25 đ 0,25đ 0,25đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25

Câu 4

(2đ)

Nếu m =1 thì d(1) là đường thẳng y= -1 nên khoảng cách từ O đến d(1) là 1

Nếu m =2 thì d(2) là đường thẳng x = 1 nên khoảng cách từ O đến d(2) là 1

0,25đ

0,25đ 0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 5

Câu a

(1,5đ)

G K

D

M A

Ta có EB 2 +EC 2 = (BG-EG) 2 + (GC+ GD) 2 =(BG-EG) 2 +(BG+EG) 2

Suy ra EB 2 +EC 2 = 2(BG 2 +EG 2 )

0,25đ 0,25đ 0,25đ

M A

C

B

G E D ≡ ≡ Thì chứng minh trên vẫn đúng

Hai tam giác ABC và ADE có chung trung tuyến AG nên có chung trọng tâm

Mà tam giác ADE có trung tuyến OE cố định ,

Nên điểm cố định K mà trung tuyến CM của ∆ ABC đi qua chính là trọng

tâm của ∆ ADE

Do H thuộc tia AK, mà K là trọng tâm ∆ ADE và AH 3

2

= AK nên H trùng với G ( là trung điểm chung của hai đoạn thẳng DE và BC )

Mà OGE ∆ vuông tại E ( chứng minh trên) , O,E cố định (theo gt) )

Vậy khi A di động trên đường tròn (O; r) thì H di động trên đường tròn

0,5đ 0,25đ 0,25đ

Cho đường tròn tâm O có 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau Gọi M

và N lần lượt là trung điểm của OA và OB Đường thẳng CN cắt (O) tại I

Chứng minh ·CMI 90〈 0