Bài 1 (3 điểm): Tìm phân số lớn hơn , nhỏ hơn và có mẫu số bằng 20. Bài 2 (5 điểm): Tìm các cặp số tự nhiên thảo mãn: Tổng của chúng bằng 240 và ớc chung lớn nhất của chúng bằng 12. Bài 3 (4 điểm): Một ngời đã cắt từ một sợi dây dài mét lấy một đoạn dây dài 25 cm mà không phải dùng thớc để đo. Hỏi ngời đó đã làm nh thế nào. Bài 4 (4 điểm): Cho dãy số m+1, m+2, , m+10, với m là số tự nhiên. Hãy tìm tất cả các số tự nhiên m để dãy số trên chứa nhiều số nguyên tố nhất. Bài 5 (4 điểm): Hội khoẻ Phù Đổng tỉnh Hà Nam lần thứ nhất có 495 vận động viên là học sinh trong toàn tỉnh về tham gia thi đấu các môn thể thao. Chứng minh rằng ít nhất có 2 vận động viên có số ngời quen nh nhau. (Ngời A quen ng- ời B thì ngời B cũng quen ngời A). 4 Hớng dẫn chấm thi Bài 1: Gọi phân số phải tìm là a , a là số tự nhiên < a < 80 < 17a < 120 5 < a < 7 => a = 6 Bài 2: Gọi số phải tìm là a, b. Giả sử a ƯCLN (a,b) = 12 ta có a = 12a 1 và b = 12b 1 Trong đó ƯCLN (a 1 ,b 1 ) = 1 Ta có: a + b = 240 = 12 (a 1 + b 1 ) a 1 + b 1 = 20 Kết hợp với ƯCLN (a 1 ,b 1 ) = 1 ta có: a 1 1 3 7 9 b 1 19 17 13 11 Thay vào ta tính đợc: a 12 36 84 108 b 228 204 156 132 Kết luận: Bài 3: - Nhận xét đợc: = Mà = - Nhận xét đợc: = - Nhận xét đợc chính là phép chia dôi sợi dây. - Nhận xét đợc 25 cm chính là 0,25 m = sợi dây. - Kết luận. Bài 4: + m = 0 ta có dãy số: 1; 2; 3; 4; ; 10. Trong dãy này có 4 số nguyên tố. + m = 1 ta có dãy số: 2; 3; 4; ; 11. Trong dãy này có 5 số nguyên tố. + m = 2 ta có dãy số: 3; 4; 5; ; 12. Trong dãy này có 4 số nguyên tố. + m trong dãy luôn chứa 5 số lẻ liên tiếp, các số lẻ này đều lớn hơn 3 nên phải có 1 số lẻ là bội của 3 do đó nó không là số nguyên tố. Vậy m 3 thì trong dãy có ít hơn 5 số nguyên tố. Do đó m = 1là số phải tìm. Khi đó ta có 5 số nguyên tố. Bài 5: Giả sử có 1 ngời không quen ai trong số 495 vận động viên. Nh vậy 494 ngời còn lại có nhiều nhất là 493 ngời quen. 5 Ta chia thành nhóm số ngời quen: Nhóm 0 ngời quen gồm những ngời có số ngời quen bằng 0 Nhóm 1 ngời quen gồm những ngời có số ngời quen bằng 1 Nhóm 493 ngời quen gồm những ngời có số ngời quen bằng 493 Nh vậy ta có 494 nhóm (từ 0 đến 493) . Mà có 495 ngời. Vậy theo nguyên tắc Dirichlet ít nhất có 1 nhóm ngời quen gồm 2 hay ít nhất có 2 ngời có số ngời quen giống nhau. Giả sử có 1 ngời quen tất cả những ngời còn lại. Nh vậy 494 ngời còn lại có nhiều nhất là 494 ngời quen. Chia nhóm ngời quen: Có 494 nhóm ngời quen (từ 1 đến 494). Kết luận. B i 1 : (4 im) Cho A = 7 + 7 3 + 7 5 + + 7 1999 Chng minh rng A chia ht cho 35. B i 2 : (4 im) !" #"$%$& B i 3 : (4 im) '() **+ &&&&&&&&&&& ++++= n m !,-m.n#"/(-& Chng minh rng m chia ht cho 1999. 0"-)%12%& B i 4 : (4 im) '()(3 ********* =A !"(3 *** =B 4)%(A!"B. B i 5 : (4 im) Ô tô A đi từ Hà Nội về Phủ Lý, ô tô B đi từ Phủ Lý lên Hà Nội, chúng gặp nhau lần thứ nhất tại một địa im $%$( Hà Nội 25 Km. Khi xe đến Phủ Lý thì lập tức quay trở lại Hà Nội, còn xe kia đến Hà Nội lập tức quay trở về Phủ Lý Cứ nh vậy cho đến lần gặp nhau thứ 3 thì hai xe ở cách Hà Nội l 5 Km. Tính quãng đờng từ Phủ Lý đi Hà Nội. Đáp án B i 1: A = 7 + 7 3 + 7 5 + + 7 1999 = (7 + 7 3 ) + (7 5 + 7 7 ) + + (7 1997 +7 1999 ) A = 7(1 + 7 2 ) + 7 5 (1 + 7 2 ) + + 7 1997 (1 + 7 2 ) A = 7.50 + 7 5 .50 + 7 9 .50 + + 7 1997 .50 => A Chia ht cho 5 (1) A = 7 + 7 3 + 7 5 + + 7 1999 = 7.( 7 0 + 7 2 + 7 4 + + 7 1998 ) => A Chia ht cho 7 (2) 6 Mà ƯCLN(5,7) = 1 => A Chia ht cho 35. B i 2: Nếu p l s t chẵn => p = 2. Khi đó: p + 10 = 12 không l s t. Vậy p = 2 loại. Nếu p l s t lẻ => p =3 hoặc p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2. +./ p = 3 => p + 10 = 13 l s t v p + 14 = 17 l s t. Vậy p = 3 l s t thoả mãn điều kiện đầu b i. +./ p = 3k + 1 (k N * ) => p + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) Chia ht cho 3 v k + 5 > 5 Nên p + 14 l hợp s . Vậy p = 3k + 1 loại +./ p = 3k + 2 (k N * ) => p + 10 = 3k + 12 = 3(k + 4) Chia ht cho 3 v k + 4 > 4 Nên p + 10 l hợp s . Vậy p = 3k + 2 loại B i 3: **+ &&&&&&&&&&& ++++= n m . Từ 1 đến 1998 có 1998 s Nên vế phải có 1998 s hạng ta ghép thành 999 cặp nh sau: +++ ++ ++ += *** &&&&&&&&&&& ** ** **+ n m &*** *** &&&&&&& **& *** **& *** & **+& *** ++++= Quy đồng tất cả 999 (3 s này ta đợc: **+&**+&**&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&*&+&&&5&&&& &***&***&***&&&&&&&&&***&***&*** *****+** aaaaaa n m ++++++ = V,i a 1 , a 2 , a 3 , , a 998 , a 999 N **+&**&**&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6&&&&&&&&&&7*** *****+** aaaaaa n m ++++++ = Vì 1999 l s t. Nên sau khi rút gọn, đa về dạng (3 s ti giản thì tử s vẫn còn thừa s 1999. Vậy m Chia ht cho 1999. B i 4: ********* ********* ++ ++ ==A B=== ++ ++ = *** & &*** 67 67*** Vậy A = B. 7 B i 5: Hai xe đi ngợc chiều nhau, gặp nhau lần thứ nhất thì cả 2 xe đi đợc 1 lần quãng đờng Hà Nội - Phủ Lý. Vì cả hai xe ở $%$( Hà Nội 25 Km vậy xe đi từ Hà Nội về đã đi đợc quãng đờng 25 Km. Vì 2 xe lại quay lại đoạn đờng trên nên phải gặp nhau lần 2, ở lần gặp này cả 2 xe đã đi đợc 3 lần quãng đờng Hà Nội - Phủ Lý v nh vậy ở lần gặp thứ 3 thì 2 xe đã đi đợc 5 lần quãng đờng Hà Nội - Phủ Lý. 1 lần quãng đờng Hà Nội - Phủ Lý thì xe ô tô từ Hà Nội về đã đi đợc 25 Km. Vậy 5 lần quãng đờng Hà Nội - Phủ Lý thì xe đó đi đợc quãng đờng l : 25 Km x 5 = 125 Km. Thực tế thì xe đó đã đi đợc 2 lần quãng đờng Hà Nội - Phủ Lý v thêm 5 Km. Vậy quãng đờng Hà Nội - Phủ Lý l : (125 - 5) : 2 = 60 (Km). Đáp s: 60 Km. Bài 1: (6 điểm) Câu 1: Tính: a) [ ] [ ] +&5 &7 +6 & &7 +6 + + b) 1 + 2 3 4 + 5 + 6 7 8 + 9 + 10 + 2006 2007 2008 + 2009 Câu 2: Cho: A = * + &&&&&&&&&&&&&&&&& 5 ++++++ B = + &&&&&&&&&&&&&&&&&&& + ++++++ Tính B A ? Bài 2: (5 điểm) Câu 1: Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25 ; 28 ; 35 thì đợc các số d lần lợt là 5 ; 8 ; 15. Câu 2: Tìm x biết: = x Bài 3: (3 điểm) Cho a ; b là hai số chính phơng lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng: (a 1).( b 1) 192 Bài 4: (4 điểm) Tìm số tự nhiên có 4 chữ số abcd biết nó thoả mãn cả 3 điều kiện sau: 1) c là chữ số tận cùng của số M = 5 + 5 2 + 5 3 + + 5 101 2) abcdM 25 8 3) ab a b= + B i 5: (2 điểm) Câu 1: Có hay không một số nguyên tố mà khi chia cho 12 thì d 9? Giải thích? Câu 2: Chứng minh rằng: Trong 3 số nguyên tố lớn hơn 3, luôn tồn tại 2 số nguyên tố mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 12. 8-9- Bài 1: (6 điểm) Câu 1: a) Kết quả : 251 2 = - 1 25,5 (2 điểm) b) Kết quả: 1 (2 điểm) Câu 2: (2 điểm) B = + &&&&&&&&&&&&&&&&&&& + ++++++ B = + &&&&&&&&& 5 + ++ ++ +++ ++ ++ + (0,75đ) B = * * + * * &&&&&&&&&& * * * ++++++ (0,5đ) B = 309. ++++++ * + &&&&&&&&&&&&&&&&& 5 B = 309.A (0,5đ) * &* == A A B A (0,25đ) Bài 2: (5đ) a) (2,75 đ) Gọi số tự nhiên phải tìm là x. - Từ giả thiết suy ra 7: 6 5+ M và 7: 6 ++ M và 7: 6 5+ M x+ 20 là bội chung của 25; 28 và 35. (1 đ) - Tìm đợc BCNN (25; 28; 35) = 700 suy ra (x + 20) = k.700 ( ) ; 0 . (1 đ) - Vì x là số tự nhiên có ba chữ số suy ra : *** : * + suy ra k = 1 suy ra x + 20 = 700 suy ra x = 680. (0,75 đ). b) (2,25 đ) - Từ giả thiết ta có: : = ữ (1) (0,25 đ). - Vì = ữ nên (1) xảy ra khi và chỉ khi : = hoặc : = (1 đ) - Từ đó tìm ra kết quả x = hoặc x = 5 (1 đ) Bài 3: (3đ) - Chỉ ra dạng của a,b là: a = ( ) k và b = ( ) k + (Với k < N ) (0,5đ) - Suy ra a 1 = (2k 1)(2k 1) 1 = = 4k 2 4k + 1 1 = 4k.(k 1) (0,5đ) b 1 = (2k + 1)(2k + 1) 1 = = 4k 2 + 4k + 1 1 = 4k(k + 1) (0,5đ) (a 1)(b 1) = 16k(k 1)k(k + 1) (0,5đ) Từ đó lập luận k(k 1)k(k + 1) 4 và k(k 1)(k + 1) 3 (0,75đ) 9 mà (4; 3 ) = 1 k (k 1)k(k + 1) &M suy ra (a 1)(b 1) 16.4.3 (a 1)(b 1) 192 (đpcm) (0,25đ) Bài 4: (4đ) - Từ giả thiết dẫn đến điều kiện: a,b,c,d N; 1 a 9; 0 b;c;d 9 (0,5 đ) - Lý luận dẫn đến M có chữ số tận cùng là 5 c = 5 (0,75 đ) - Từ điều kiện: abcd M 25, lý luận dẫn đến (10c + d) M 25, từ đó tìm đợc d = 0 ( 0,75 đ) - Từ điều kiện: ab = a + b 2 10a + b = a + b 2 9 a = b 2 b 9a = b(b 1) (0,5 đ) Lý luận dấn đến b(b 1) 0 và b(b 1) M 9 (0,5 đ) Mà b và b -1 là hai số nguyên tố cùng nhau; 0 < b 1< 9 b(b 1) M 9 chỉ khi b M 9 a=8 (0,75 đ) Kết luận: Số cần tìm 8950 (0,25 đ) Bài 5: (2 điểm):. Câu 1: - Không thể có một số nguyên tố mà khi chia cho 12 thì d 9. Vì: nếu có số tự nhiên a mà khi chia cho 12 d 9 thì a = 12.k + 9 ; ( ) k N = M và = > a là hợp số, không thể là số nguyên tố. (0,75 đ). Câu 2: (1,25 đ). - Một số tự nhiên bất kỳ khi chia cho 12 thì có số d là một trong 12 số sau: 0; 1; 2; ; 11 - Chứng minh tơng tự câu 1 ta có: một số nguyên tố lớn hơn 3 (bất kỳ) khi chia cho 12 không thể có số d là 2; 3; 4; 6; 8; 10. (0,25 đ) - Suy ra một số nguyên tố lớn hơn 3 khi đem chia cho 12 thì đợc số d là một trong 4 giá trị : 1; 5; 7; 11. (0,25 đ) - Chia các số nguyên tố lớn hơn 3 thành hai nhóm : + Nhóm 1: Gồm các số nguyên tố khi chia cho 12 thì d 1 hoặc 11 . + Nhóm 2: Gồm các số nguyên tố khi chia cho 12 thì d 5 hoặc 7. (0,25 đ) - Giả sử p 1 ; p 2 ; p 3 là ba số nguyên tố bất kỳ lớn hơn 3. Có ba số nguyên tố, chỉ nằm ở hai nhóm, theo nguyên lý Dirichle thì trong ba số nguyên tố trên, tồn tại ít nhất hai số nguyên tố cùng thuộc một nhóm , chẳng hạn p 1 và p 2 cùng thuộc một nhóm: + Nếu p 1 và p 2 khi chia cho 12 có số d khác nhau (tức là d 1 và 11; hoặc 5 và 7) thì p 1 + p 2 = 12 k 1 + 1 + 12 k 2 + 11 = 12(k 1 + k 2 ) + 12 ; ( ) >k k N suy ra p 1 + p 2 M . hoặc p 1 + p 2 = 12 n 1 + 5 + 12 n 2 + 7 = 12(n 1 + n 2 ) + 12 ; ( ) >n n N suy ra p 1 + p 2 M . + Nếu p 1 và p 2 khi chia cho 12 có số d bằng nhau thì hiệu p 1 p 2 M . (0,5 đ) THI CHN HC SINH GII MễN: TON - LP: 6 (?--=#""-*(@ Cõu 1: =6A((=(&&+ *&*B&5 6'(CD 5 5 $(-=($()& Cõu 2: E$9$%$=)$()B$(-=($()*B Cõu 3: '()FG>5>*>>>H&>& 10 s 1 =6A(1E$9$%$(I$J=FGD& 6(I($J=FG& Câu 4: DK?(L=#E-M.0.N=)$()M0O*$.0NO$& A(PF"-)I(L"Q@#"D-$J=M0!"MN& Câu 5: 0=#RP1$%$/(-=)$()$%$#SET-$%$$(U&0= A(1VKW$;29&XC-0=A(@(==-YZ=)Y ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP: 6 (?--=#""-*(@ Câu 1: =6A((=(& &B+&5 6'(CD1[O &&& * $(-=($() Câu 2: 4)%(=6 5 !"+ * 6 !" ** Câu 3: /(-=O + + n n #"& Câu 4: /(-:-DD)5.5!":.A$($J=(=-")$\$(-=( $()$]#I-& Câu 5: '()5-[.^.'._.`D)V;(T$V-")(L("& =6'V=)(-)I(L"a-)I(L-D)5-G$()&b$%$ )I(LE& 6'V(F/KW$PK?(L;(T-2=-")D)5-G$()" $c@5)I(LD)$%$)I(LV-D;(TY8-9-(A$(!=)& ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯ#NG-LỚP 6-NĂM HỌC 08-09. Md0ef0BXgh8h[0ijM^jh*NXk Câu 1; (2 đim)A(:- 7:B*6&5Ol5. Câu 2: (2 đim)& 4)%(=m !"5 5& m !" & '3(1,5 đim) b(-$(A=$%$!"+$()$nP/(-.(KW$FK(o)(/#" !"&A($(-=Y 11 Đề số 2 Câu 4: (1,5 đim) A((=( =m& 5&* &+ 5&& m[O * l + l lHl B B& Câu 5:(1 đim) 1-$)%- 1->1-$)D=- 1-&^-D11-$) %-!"$)D=-#"+&A(1-Y Câu 6: ( 2 đim) D-=[::%$p((=--^!"'=)$()[^O+$['O$& A(PF"-)I(L"-Q!"-$-#"(=-D-$J=(=-)I(L[^ !"^'& 12 . l : (125 - 5) : 2 = 60 (Km). Đáp s: 60 Km. Bài 1: (6 điểm) Câu 1: Tính: a) [ ] [ ] +&5 &7 +6 & &7 +6 + + b) 1 + 2 3 4 + 5 + 6 7 8 + 9 + 10 + 20 06 2007 2008 + 2009 . 0=#RP1$%$/(-=)$()$%$#SET-$%$$(U&0= A(1VKW$;29&XC-0=A(@(==-YZ=)Y ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP: 6 (?--=#""-*(@ Câu 1: =6 A((=(& &B+&5 6 '(CD1[O. 2: (5đ) a) (2,75 đ) Gọi số tự nhiên phải tìm là x. - Từ giả thiết suy ra 7: 6 5+ M và 7: 6 ++ M và 7: 6 5+ M x+ 20 là bội chung của 25; 28 và 35. (1 đ) - Tìm đợc BCNN (25; 28; 35) =