Đề & Đáp án thi HSG Toán 9 Năm Học 2010-2011 SỞ GD & ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẢNG TRỊ MÔN: TOÁN (BẢNG A) NĂM HỌC 2010 - 2011 Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) Bài 1.(4 điểm) Cho biểu thức: 1 2 2 5 4 2 2 x x x P x x x + + = + + − − + với 0; 4x x≥ ≠ a) Rút gọn P b) Tìm x để P=2. Bài 2 (4 điểm) 1. Rút gọn biểu thức 8 15 8 15 2 2 A + − = + 2. Giải phương trình 2 3 3x x+ + = Bài 3 (4 điểm) 1. Cho bốn số thực bất kì a, b, c, d. Chứng minh: ( ) ( ) 2 2 2 2 .ab cd a b c d+ ≤ + + Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 2. Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. M là điểm chuyển động trên nửa đường tròn. Xác định vị trí điểm M để 3MA MB+ đạt giá trị lớn nhất. Bài 4: ( 4 điểm) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên (x;y;z) thỏa mãn: 3 3 2 2 2 1 (1) 2 (2) y x x xy z = + + = + Bài 5 (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A với BC =a, AB=AC=b (a>b). Đường phân giác BD của góc ˆ ABC cắc AC tại D và có độ dài bằng cạnh bên (BD=b). 1. Tính CD theo a, b. 2. Chứng minh rằng 1 1 a a b b b a + − = ÷ ÷ HẾT Trang 1 ĐỀ CHÍNH THỨC Đề & Đáp án thi HSG Toán 9 Năm Học 2010-2011 SỞ GD & ĐT ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI QUẢNG TRỊ MÔN: TOÁN – LỚP 9 (BẢNG A) NĂM HỌC 2010 - 2011 BÀI Ý NỘI DUNG ĐIỂM 1 4đ a (3đ) Với 0; 4x x≥ ≠ , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 5 4 2 2 2 2 3 2 2 4 2 5 2 2 3 2 3 6 3 2 2 2 2 2 x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + − + = + − − − + + − + + + − − − = − + − − = = = − + − + + 0,5 1.0 1,5 b (1) P=2 khi và chỉ khi ( ) 3 2 3 2 4 4 16 2 x hay x x x x x = = + ⇔ = ⇔ = + 1.0 2 1(2) Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 16 2 15 16 2 15 15 1 15 1 2 15 15. A A = + + − = + + − = ⇒ = 2.0 2(2) Giải phương trình 2 3 3x x+ + = Điều kiện: 3x ≥ − Đặt: 2 3, 0 3u x u u x= + ≥ ⇔ = + Ta có hệ: 2 2 3 (1) 3 0 (2) u x x u = + + − = Từ (1) và (2) ta có: ( ) ( ) 2 2 0 1 0u x x u u x u x− − − = ⇔ + − − = Với u=-x, ta có : x 2 -x-3=0 1 13 1 13 ; 2 2 x x + − ⇔ = = Chỉ nhận giá trị nghiệm ( ) 1 13 ì u 0 2 x v − = ≥ Với u=x+1, ta có : 2 2 0 1 2x x x hay x+ − = ⇔ = = − Ta chỉ nhận nghiệm x=1 ( ) ì 0v u ≥ Vậy phương trình có hai nghiệm là 1 13 ; 1 2 x x − = = 2 Trang 2 O A B M Đề & Đáp án thi HSG Toán 9 Năm Học 2010-2011 3 a (2) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 0 ab cd a c b d ab cd a c b d a b c d adbc a b c b a d c d ad bc ad bc ad bc ≤ + ≤ + + ⇔ + ≤ + + ⇔ + + ≤ + + + ⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ Đúng với 4 số thực a, b, c, d bất kì. Vậy: ( ) ( ) 2 2 2 2 0 , , , ,ab cd a c b d a b c d≤ + ≤ + + ∀ ∈¡ Dấu đảng thức xãy ra khi ( ) 0 0; 0 c d ad bc hay a b a b − = = ≠ ≠ 2 b (2) Ta có: 0 ˆ 90AMB = ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Tam gics MAB có 0 ˆ 90M = nên theo định lý Pytago ta có MA 2 +MB 2 =AB 2 =4R 2 . Áp dụng bất đẳng thức ( ) ( ) 2 2 2 2 ax by a b x y+ ≤ + + T a có: ( ) ( ) 2 2 2 3 1 3 4.4 4MA MB MA MB R R+ ≤ + + = = Dấu “=” xảy ra 3MA MB⇔ = ⇔ tam giác ABC là nửa tam giác đều. 0 60sdMA⇔ = ) 2 4 (4) 4 Tìm tất cả các số nguyên (x; y; z) thỏa mãn ( ) ( ) 3 3 2 2 2 1 1 2 2 y x x xy z = + + = + Do 2x 2 +1>0 nên từ (1) ta có: 3 3 y x y x> ⇔ > Vì ( ) { } 3 3 3 2 3 2 2 ì , ê 1 1 2 1 3 3 1 3 0 3 0 ê 3; 2; 1;0 V x y n n y x y x x x x x x x x x Do x n n x ∈ ≥ + ⇔ ≥ + ⇔ + + ≥ + + + ⇔ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ ∈ ∈ − − − ¢ ¢ Từ (2) ta có xy=>0 do đó x và y cùng dấu. Ta tìm được cặp (x;y) thỏa mãn là (-3;-2). Thay vào (2) ta được bộ ba (x;y;z) cần tìm là (-3;-2;-2), (-3;-2;2). 4 Trang 3 Đề & Đáp án thi HSG Toán 9 Năm Học 2010-2011 5 (4) a (1) Theo tính chất đường phân giác ta có: ( ) 1 DA BA DA DC DC BC DC BA BC b a b hay BC DC a ab DC a b + = ⇒ + + = = ⇒ = + 1 b (3) Lấy E thuộc BC sao cho BE=b, các tam giác ABD, DBE cùng cân tại B và bằng nhau. Từ đó suy ra : 0 0 1 2 3 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 180 180D D D D E B= − − = − − = Suy ra tam giác CED đồng dạng với tam gics CDB. 2 . (2) CE CD CE CB CD CD CB ⇒ = ⇒ = Từ (1), (2) và CE=a-b, ta có: ( ) 2 2 2 1 1 1 ab a b a a b a b a b b ab a a b b b a − = ÷ + + − ⇔ × = ⇔ + − = ÷ ÷ 3 Trang 4 b b a b a-b 2 1 3 2 1 1 E D A B C Đề & Đáp án thi HSG Toán 9 Năm Học 2010-2011 SỞ GD & ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẢNG TRỊ MÔN: TOÁN (BẢNG B) NĂM HỌC 2010 - 2011 Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) Bài 1.(4 điểm) Cho biểu thức: 1 2 2 5 4 2 2 x x x P x x x + + = + + − − + với 0; 4x x≥ ≠ c) Rút gọn P d) Tìm x để P=2. Bài 2 (4 điểm) 3. Rút gọn biểu thức 1 1 1 1 A a b = + + + với 1 1 à . 2 3 2 3 a v b= = + − 4. Giải phương trình 20 3 2 2 3x x− − = − Bài 3 (4 điểm) 1. Chứng minh bất đẳng thức: 2 2 1x y xy x y+ + ≥ + + với mọi x, y. 2. Tìm số tự nhiên n để n+18 và n-41 là hai số chính phương. Bài 4: ( 4 điểm) Giải hệ phương trình 64 1 1 1 4 xy x y = − − = Bài 5 (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, 0 ˆ 45A = . Gọi M và N lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của tam gics ABC. a) Chứng minh rằng tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC; Tính tỉ số MN BC b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam gics ABC. Chứng minh rằng .OA MN⊥ HẾT Trang 5 ĐỀ CHÍNH THỨC Đề & Đáp án thi HSG Toán 9 Năm Học 2010-2011 SỞ GD & ĐT ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI QUẢNG TRỊ MÔN: TOÁN – LỚP 9 (BẢNG A) NĂM HỌC 2010 - 2011 BÀI Ý NỘI DUNG ĐIỂM 1 4đ a (3đ) Với 0; 4x x≥ ≠ , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 5 4 2 2 2 2 3 2 2 4 2 5 2 2 3 2 3 6 3 2 2 2 2 2 x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + − + = + − − − + + − + + + − − − = − + − − = = = − + − + + 0,5 1.0 1,5 b (1) P=2 khi và chỉ khi ( ) 3 2 3 2 4 4 16 2 x hay x x x x x = = + ⇔ = ⇔ = + 1.0 2 1(2) Ta có : 1 1 2 3; 2 3 2 3 2 3 a b= = − = = + + − Do đó 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 9 3 3 3 3 3 A a b + + − = + = + = = + + − − + 2.0 2(2) Giải phương trình 20 3 2 2 3x x− − = − Điều kiện: 3 3 2 0 2 x x− ≥ ⇔ ≤ ( ) 2 2 20 3 2 2 3 3 20 3 2 3 2 2 3 2 17 2 17 2 0 3 2 17 2 17 2 2 35 143 0 x x x x x x x x x x x x x − − = − ⇔ − − = − ≤ ÷ ⇔ − = + + ≥ ⇔ − = + ≥ − ⇔ + + = 13 2 x⇔ = − ( thảo mãn điều kiện) cho. 2 Trang 6 x O M N C A B Đề & Đáp án thi HSG Toán 9 Năm Học 2010-2011 Vậy 13 2 x = − là nghiệm của phương trình đã cho. 3 1 (2) Ta có : 2 2 2x y xy+ ≥ ( bất đẳng thức Cô si) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 x x y y x y xy x y x y xy x y + ≥ + ≥ ⇒ + + ≥ + + ⇔ + + ≥ + + 2 2 (2) Để n+18 và n-41 là hai số chính phương ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 18 à 41 , 18 41 59 59 n p v n q p q p q n n p q p q ⇔ + = − = ∈ ⇒ − = + − − = ⇔ − + = ¥ Nhưng 59 là số nguyên tố nên: 1 30 59 29 p q p p q − = = ⇔ + = Từ n+18=p 2 =30 2 =900 suy ra n=882 Thay vào n-41, ta được 882-41=841=29 2 =q 2 . Vậy với n=882 thì n+18 và n-41 là hai số chính phương. 2 4 (4) 4 Do xy=-64 nên 0 à 0x v y≠ ≠ Hệ đã cho ( ) ( ) 64 64 64 1 1 1 16 2 4 64 4 xy xy xy y x y x x y xy = − = − = − ⇔ ⇔ ⇔ − − = = − = − Thay (2) vào (1) ta được : ( ) 2 16 64 16 64 0 8y y y y y+ = − ⇔ + + = ⇔ = − Thay vào (1) ta dduwwocj x=8. Vậy nghiệm của hệ phương trình là (8;-8). 4 5 (4) a (1) Ta có 0 ˆ ˆ 90BNC BMC= = nên bốn điểm B,C,M,N cùng nằm trên một đường tròn đường kính BC, suy ra ˆ ˆ AMN ABC= ( cùng bù với góc CMN) ˆ ˆ ANC ACB= ( cùng bù với góc MNB) AMN⇒ ∆ đồng dạng với ABC∆ (góc-góc) MN AM BC AB ⇒ = Vì tam gics MAB vuông cân tại M nên : ( ) 2 2 2 AM AB = Vậy 2 . 2 MN BC = 1 b (3) Kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O) Ta có ˆ ˆ ˆ Ax=ABC=AMNM Suy ra MN//Ax Mà Ax, ê .OA n n OA MN⊥ ⊥ 3 Trang 7 . Đề & Đáp án thi HSG Toán 9 Năm Học 2010-2011 SỞ GD & ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẢNG TRỊ MÔN: TOÁN (BẢNG A) NĂM HỌC 2010 - 2011 Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) Bài 1.(4. 4 b b a b a-b 2 1 3 2 1 1 E D A B C Đề & Đáp án thi HSG Toán 9 Năm Học 2010-2011 SỞ GD & ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẢNG TRỊ MÔN: TOÁN (BẢNG B) NĂM HỌC 2010 - 2011 Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) Bài 1.(4. ÷ HẾT Trang 1 ĐỀ CHÍNH THỨC Đề & Đáp án thi HSG Toán 9 Năm Học 2010-2011 SỞ GD & ĐT ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI QUẢNG TRỊ MÔN: TOÁN – LỚP 9 (BẢNG A) NĂM HỌC 2010 - 2011 BÀI Ý