Giải chi tiết đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2017 2018

Giải chi tiết đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2017 2018Giải chi tiết đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2017 2018Giải chi tiết đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2017 2018Giải chi tiết đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2017 2018Giải chi tiết đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2017 2018Giải chi tiết đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2017 2018Giải chi tiết đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2017 2018

Trường thcs & thpt Tân Tiến SỞ GIÁỌ DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CÁP TỈNH NĂM HỌC 2012 - 2013 ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời 150 phút (khơng kê thời gian phát đê) Ngày thi: 06/03/2018 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) Câu 1: (5,0 điểm)  x   x 3 x 2 x 2  Cho biểu thức: A  1    :  x 1  x   x x  x    a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa rút gọn biểu thức A b) Tìm tất gí trị x để A  1 Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn a  b  c  Tìm giấ trị nhỏ biểu thức 2018 P  2 a  b  c ab  bc  ca Hướng dẫn giải: x  x    a) A có nghĩa  x     x  (*)   x  3  x   x   x 3 x 2 x 2    - Ta có: A  1  :  x 1  x   x x  x      1 x 2    x 9  x   x  2   ;  : x 1 x  x 1 x 2 x 3   x 1   x 2  1 (vì x   ) b) Ta có: A  1  x 1  x    x   x   x  (**) - Từ (*) (**) suy A  1  x  Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương x,y,z ta có: 1 1 1 Dấu “=” xảy x  y  z  x  y  z          x y z x y z x  y  z   1   - Do đó: a  b2  c ab  bc  ca ab  bc  ca 9   (*) a  b  c  ab  bc  ca (a  b  c)2    Lời giải giáo viên chuyên môn Công nghệ: Phan Lâm Trường thcs & thpt Tân Tiến a  b  2ab  - Lại có b  c  2bc  a  b  c  ab  bc  ca c  a  2ca   a  b2  c2  2(ab  bc  ca)  3(ab  bc  ca)  (a  b  c)2  3(ab  bc  ca) (**) - Từ (*) (**) ta có 1 6048 P    2 a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca 3(ab  bc  ca) 6048 6057 6057      673 ( a  b  c) (a  b  c ) (a  b  c ) 32 - Dấu “=” xảy a  b  c  - Vậy P  673 a  b  c  2 - Đề thi học sinh giỏi tỉnh danh giá mà: “max, min” lại chép quyền người ta sửa số 2009 thành 2018, chán với người đề - Chả lẻ tính sáng tạo thí sinh đọc trúng tài liệu chứa toán hay sao? Câu 2: (5,0 điểm) Giải phương trình: x  3x   ( x  3) x    x3  y  x y  x  Giải hệ phương trình:   y    x  x  x  11  Tìm m để đường thẳng (d): y  x  6m  m2 cắt parabol (P): y   x hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x2  x13  Hướng dẫn giải: Ta có x  3x   ( x  3) x    x   3( x  3)  ( x  3) x      x2    x   ( x  3) x     x   ( x  3)  0  x 5 3  x2    x  2  x3     x   1     x    1   x   3  x   x    x2   2 - Vì x  x  x   x   x  - Nên phương trình cho có hai nghiệm x  2 y 1 2: Điều kiện:  x  Ta có: x3  y  x y  x   ( x  2)( x  y)   x  y  (vì x   ) Do y    x  x  x  11   x    x  x  x  11  Cách 1: Lời giải giáo viên chuyên môn Công nghệ: Phan Lâm Trường thcs & thpt Tân Tiến - Đặt t  x    x  ta có: - Ta x    x  x  x  11   t   ( x  2)(4  x) t  4t   t  4t   4( x  x  8)   x  x   (*) t  4t  t    t  4t  4t    t (t  2)(t  2)  4(t  2)   (t  2) t (t  2)  4  (**) 2 t    t (t  2)   Vì t  nên t (t  2)   Do phương trình (**) có nghiệm t  thay vào (*) ta x  x    ( x  3)   x   y  thỏa mãn Cách 2: -Ta có x    x  x  x  11  (*)    ( x  2)(4  x)  2   x  3  x2  4 x 2   x    x    x  3       x  3   x2  x   x2  4 x 2 2  x  3  x2  4 x 2   x       x2  4 x 2  - Vì x2  4 x 2   x2  6x       nên (*) có nghiệm      x2  x     x  3 y  1   x2  6x    x  3   x  3  thỏa mãn Cách 3:  x    x  x  x  11  (*)      x  1    x    x  3  x   x 3 x 3    x  3    1  3 x x  1  x 1  x    x 1 Lời giải giáo viên chuyên môn Công nghệ: Phan Lâm Trường thcs & thpt Tân Tiến 1   1  - Xét  x  ta có  x   3 x  x 1  x    x  3  x  1    - Xét  x  ta có  x    x 1  3  x  1 3 x x  1  x 1 thỏa mãn Đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt phương trình hồnh độ giao điểm x2  x  6m  m2  (*) có hai nghiệm phân biệt Do  '   32  (6m  m2 )   (m  3)2   m  x2  x  6m  m2   ( x  m)( x  m  6)   x  m Trường hợp 1:  ta có:  x2  m  - Vì (*) có nghiệm x    x   y  x2  x13   m   m3   m3  m    (m  1)(m2  m  2)  x  m  Trường hợp 1:  ta có: x   m  x2  x13   m  m3  18m2  108m  224   m3  18m2  109m  224   (m  7)(m2  11m  32) Câu 3: (5,0) điểm Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Đường thẳng OA cắt đường tròn (O) tai M (M khác A) Đường thẳng qua C vng góc với AB cắt đường tròn (O) N (N khác C) Gọi K giao điểm MN với BC Chứng minh tam giác KCN cân Chứng minh OK vng góc với BM Khi tam giác ABC cân A, hai tiếp tuyến đường tròn (O) M N cắt P Chứng minh ba điểm P, B, O thẳng hàng Hướng dẫn giải: Chứng minh tam giác KCN cân A Cách 1: - Ta có: MAC  MNC (cùng chắn cung CM) ABC  AMC  AC (1) N O - Mà MAC  AMC  NCB  ABC  90  NCB  MAC (vì MCA  900 góc chắn nửa B C đường tròn.và AB  NC ) (2) K - Từ (1) (2) suy ra: NCB  MNC M  NCK  KNC  ΔKCN cân K Cách 2: Lời giải giáo viên chuyên môn Công nghệ: Phan Lâm Trường thcs & thpt Tân Tiến  AB  MB - Vì   MB / / NC  NB  MC (vì ABM  900 chắn nửa đường tròn)  AB  NC  NCB  MNC  NCK  KNC  ΔKCN cân K Chứng minh OK vng góc với BM Cách 1: - Vì O K cách C N nên OK trung trực NC hay CN  OK Mà MB / / NC  OK  BM Cách 2: - Vì BC  MN  BC  MN  KM  KB (vì A ΔKCN cân K) (3) - Mặt khác OB  OM (bán kính đường tròn (O) (4) N - Từ (3) (4) suy O K cách đề hai điểm B M OK trung trực BM hay O OK  BM Khi tam giác ABC cân A, hai tiếp tuyến K đường tròn (O) M N cắt P Chứng C B minh ba điểm P, B, O thẳng hàng Cách 2: P M - Ta có AM phân giác góc BAC nên NCB  MNC  MAB  NB  BM  MC  NB  BM (căng hai cung nhau) (5) - Vì P giao điểm hai tiếp tuyến M N nên PN  PM OM  ON (bán kình đường tròn (O) (6) - Từ (5) (6) suy O, B, P cách M N nên O, B, P thuộc đường trung trực đoạn MN hay P, B, O thẳng hàng Cách 2: - Ta có AM phân giác góc BAC nên NCB  MNC  MAB  NB  BM  MC PNB  MNB hay NB đường phân giác góc PNM (7) - Tương tự ta có MB đường phân giác góc PMN (8) - Từ (7) (8) suy PB, NB, MB ba đường phân giác tam giác MBN - Suy PB đường phân giác góc tạo hai tiếp tuyến PM PN nên PB qua O, hay nói cách khác P, B, O thẳng hàng Câu 4: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D, E theo thứ tự thuộc cạnh AC, AB cho DHE  900 Tìm vị trí D, E để DE có độ dài nhỏ Hướng dẫn giải: A - Gọi M N hình chiếu H AC AB cho M MHN  900 E D - Khi D E di chuyển AB N AC HD  HM ; HE  HN (theo quan hệ đường xiên đường vng C B H góc) Lời giải giáo viên chuyên môn Công nghệ: Phan Lâm Trường thcs & thpt Tân Tiến - Theo định lí Py-ta go ta có ED2  HE  HD2  HM  HN  MN Do để D có độ dài nhỏ D trùng với M E trùng với N Khi tứ giác ADHE hình chữ nhật Câu 5: (3,0 điểm) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình x3  3xy  y  Tìm số nguyên tố x,y cho x  3xy  y số phương Hướng dẫn giải: Ta thấy x  2 nghiệm phương trình x3  3 - Với x  2 ta có: x  3xy  y   x   y( x  2)  y  x2  x 1    y   x  x      x    x2   Để phương trình có nghiệm nguyên ( x  2)  x  x    (*) x    Trường hợp 1: x    x  thỏa mãn (*)  y  Trường hợp 2: x   7  x  9 không thỏa mãn (*) Trường hợp 3: x    x  1 thỏa mãn (*)  y  Trường hợp 4: x   1  x  3 không thỏa mãn (*) Vậy nghiệm nguyên phương trình cho là: ( x; y) {(5;6); (1;0)} - Vì x  3xy  y số phương nên có dạng x  3xy  y  n2 , x, y  số nguyên tố - Ta có x2  3xy  y  n2  xy  n2  ( x  y)2  (n  x  y)(n  x  y) - Theo tính chất số nguyên tố xy  1.xy  x y , ta suy trường họp: n  x  y  xy - Trường hợp 1:   x  y  xy  không thỏa mãn n  x  y  n  x  y  n  x  y  - Trường hợp 2:    x( y  2)  y  n  x  y  xy 2 x  y  xy  - Dễ thấy y  không nghiệm Với y  ta có x  x   (x, y nguyên tố) x( y  2)  y   x    y  y  y2   n  x  y  x - Trường hợp  không thảo mãn n  x  y  y n  x  y  y n  x  y  y - Trường hợp  không thảo mãn n  x  y  x n  x  y  x  - Vậy giá trị thỏa mãn x,y ( x; y) {(3;7);(7;3)} Trong trình đánh máy có sai sót xin q đọc giả thơng cảm Lời giải giáo viên chuyên môn Công nghệ: Phan Lâm ... P  673 a  b  c  2 - Đề thi học sinh giỏi tỉnh danh giá mà: “max, min” lại chép quyền người ta sửa số 2009 thành 2018, chán với người đề - Chả lẻ tính sáng tạo thí sinh đọc trúng tài liệu... độ dài nhỏ Hướng dẫn giải: A - Gọi M N hình chi u H AC AB cho M MHN  900 E D - Khi D E di chuyển AB N AC HD  HM ; HE  HN (theo quan hệ đường xiên đường vng C B H góc) Lời giải giáo viên chuyên... thí sinh đọc trúng tài liệu chứa toán hay sao? Câu 2: (5,0 điểm) Giải phương trình: x  3x   ( x  3) x    x3  y  x y  x  Giải hệ phương trình:   y    x  x  x  11  Tìm m để đường