Toán 12 - cuối năm 2010-2011

SỞ GD – ĐT NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT GIAO THUỶ B ĐỀ THI CHẤT LƯỢNG TOÁN 12 CUỐI NĂM HỌC 2010 – 2011 Thời gian làm bài: 120 phút Phần chung : ( 7 điểm ) Câu1: ( 3 điểm ) Cho hàm số y = – x 4 + 2x 2 – 1 a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số b. Dùng đồ thị để biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2x 4 – 4x 2 + m = 0 Câu 2: (3 điểm ) a. Giải phương trình 3 ln x +2 – 5ln 2 3 + x +2 = 0 b. Tính tích phân I= ∫ − − 1 0 )( dxxee xx c. Tìm tất cả các nghiệm trên khoảng( ) 2 ;0 π của phương trình sin 2x – 1 = log 2 (sinx) + cosx Câu 3: (1 điểm ) Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a cạnh bên tạo với mặt đáy góc 30 0 .Gọi O là hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy (ABC). Quay khối chóp S.ABC quanh trục SO ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích của khối tròn xoay đó. Phần riêng : ( 3 điểm ) Thí sinh chỉ được chọn làm một trong 2 phần sau. Phần1: Câu 4a. ( 2 điểm ) Trong hệ trục Oxyz cho hai điểm A( 1; –3; –1), B(– 2; 1; 3). a. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng AB. Tìm toạ độ điểm M thuộc Oz sao cho tam giác ABM vuông tại M. b. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( P) biết (P) qua A, B và vuông góc với mp(Oxy). Câu 5a. ( 1điểm ) Tìm z biết z là nghiệm của phương trình z + 6 = z i i . 1 42 − + Phần 2: Câu 4b. ( 2 điểm ) Trong hệ trục Oxyz cho tam giác ABC có A(1 ; 2; –3), B( 0; 1; 1) và C ( –1;–1; 0) a. Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tính diện tích tam giác ABC. b. Viết phương trình đường thẳng d với d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB lên mp(Oxz). Câu 5b. ( 1 điểm ) Giải phương trình trên tập số phức z 2 – 5z +7 = 0 ––––––––––––––––HÕt–––––––––––––––––– Hä vµ tªn thÝ sinh: Sè b¸o danh…………………………… ……………………………… Ch÷ kÝ cña gi¸m thÞ 1: Ch÷ kÝ cña gi¸m thÞ 2……………………… ……………………… Đáp án : Câu 1 3 điểm a– 2điểm b. 1 điểm a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số * TXĐ: R * lim ±∞→x y = ∞± ĐT hàm số không có tiệm cận đứng và ngang. * y’ = –4x 3 +4x ; y’ =0  x= 0; x=1; x=–1 * BBT * Hàm số đồng biến, nghịch biến * Cực trị hàm số * Giao điểm với các trục Ox, Oy và trục đối xứng. *Vẽ b. PT  –x 4 +2x 2 –1 = 1 2 − m Số nghiệm của pt bằng số giao điểm của (C) và đường thẳng y= 1 2 − m ( đt y= 1 2 − m song song hoặc trùng với ox) dựa và hình vẽ ta có PT có vô nghiệm  m > 2 PT có chỉ 3 nghiệm  m= 0 PT chỉ có 2 nghiệm  m=2 ; m < 0 PT có 4 nghiệm phân biệt 0< m < 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0.25 Câu 2 a. 1 điểm b. 1 điểm a. giải PT Đk x>0 * PT  3 ln x +2 – 3. 3 2( ln x+2) + 2=0 * Đặt t= 3 ln x +2 ( t >0) * PTTT: –3t 2 +t +2 =0  t= 1 (tm) ; t= 3 2− ( loại) * t=1 =>3 ln x +2 =1  ln x+2= 0  x= e –2 KL b. Tính tích phân *I= ∫ − − 1 0 )( dxxee xx = ∫ − − 1 0 1 0 | dxxee xx * Đặt u =x => du =dx dv = e –x dx => V= –e –x * I = e–1 +xe –x 1 0 | – ∫ − 1 0 dxe x 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 `0,25 0,25 c. 1 điểm * I= e–1 +e –1 + e –x 1 0 | = e + e –1 –2 Câu c. Vì x thuộc ( ) 2 ;0 π ta có sin 2x > 0; sinx > 0 ,cosx>0 Và sin2x, cosx thuộc ( 0; 1] PT  sin2x –1 = log 2 x x cos2 2sin +cosx  sin2x –1 = log 2 sin2x – log 2 cosx –1 + cosx  sin2x – log 2 sin 2x = cosx – log 2 cosx (1) Xét hàm số f(t) = t– log 2 t với t thuộc ( 0; 1] Ta có f’(t) = 1– 2ln 1 t = 2ln 12ln t t − < 0 với mọi t thuộc( 0; 1]  f(t) nghịch biến trên ( 0; 1] PT (1)  f (sin2x)= f (cosx)  sin2x = cosx  sinx = 2 1  x= 6 π 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 3: 1 điểm Quay khối chóp đều S.ABC quanh trục SO ta được một khối nón tròn xoay có độ dài của SO là chiều cao, cạnh bên SA là đường sinh và OA là bán kính đường tròn đáy Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều ta có ABC là tam giác đều cạnh a AD định lí sin ta có : 0 60sin a = 2OA => OA= a 3 3 Vì SA tạo với mặt đáy góc 30 0 => góc SAO bằng 30 0 Ta có SO = AO tan 30 0 = 3 a Ta có thể tích của khối nón là: V= SOOA 3 1 2 π = 27 . 3 a π (đvtt) 0,25 0,25 0,25 0,25 Phần1 Câu 4 a– 1,25điểm Câu 4.a a. 1,25điểm + Ta có AB ( –3; 4; 4) là VTCP của đường thẳng AB. Ta có PTchính tắc của AB là : 4 1 4 3 3 1 + = + = − − zyx 0,25 0,25 b– 0,75 Câu 5a 1 điểm + Vì M thuộc oz ta có M( 0; 0; a) Ta có MA ( 1; –3; –1–a); MB =(–2; 1; 3–a) Vì tam giác ABM vuông tại M ta có MA MB =0  –2–3 +( 1+a)(a–3)=0  a= –2 =>M ( 0; 0; –2) a= 4 => M( 0; 0; 4) b. 0,75 điểm mp(Oxy) có vtpt là j ( 0; 0; 1) không cùng phương với AB Vì mp(P) qua AB và (P) vuông góc với mp(Oxy) nên mp(P) nhận véctơ [ AB , j ] là vtpt Ta có [ AB , j ] = ( 4; 3; 0)  PTTQ của mp(P) là : 4x +3y+ 5 = 0 Câu 5.a( 1 điểm) Gọi z = a+bi ( a,b thuộc R) => z = a – bi PTTT: a+bi +6 = i i − + 1 42 ( a–bi)  a+ 6+ bi = ( 3i–1) ( a–bi)  a+ 6+ bi = 3b–a + ( b+ 3a) i  a+6= 3b–a  a = 0; b = 2 b= b+3a => z = 2i. 0,25 0,25 0.25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Phần2 4a. 1 điểm 4.b 1 điểm Câu 4b. a.( 1 điểm) Ta có AB ( –1; –1; 4) AC ( –2; –3; 3) [ AB , AC ] = ( 9; – 5 ; 1) • mp(ABC) nhận [ AB , AC ] là VTPT  PT mp( P): 9( x–1) –5( y–2) +x+3=0 PTTQ của (P): 9x –5y +z+ 4=0 Ta có S ABC = 2 1 |[ AB , AC ]| = 159 2 1 22 ++ b.( 1 điểm) Gọi A’ là hình chiếu vg của A lên mp(Oxz) A’( 1; 0;–3) Gọi B’ là hình chiếu vg của B lên mp(Oxz) B’( 0; 0;1) Ta có đường thẳng A’B’ là hình chiếu vuông góc của AB lên mpOxz. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 5. 1 điểm Ta có ''BA ( –1; 0; 4) là vtcp của đường thẳng A’B’ PTTS của A’B’ là : x= 1 –t y= 0 z= –3+ 4t Câu 5. b PT có ∆ = –3 PT đã cho có 2 nghiệm phức là : z 1 = 2 3 2 5 i − ; z 2 = 2 3 2 5 i + 0,25 0,5 0,5 . SỞ GD – ĐT NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT GIAO THUỶ B ĐỀ THI CHẤT LƯỢNG TOÁN 12 CUỐI NĂM HỌC 2010 – 2011 Thời gian làm bài: 120 phút Phần chung : ( 7 điểm ) Câu1: ( 3 điểm ) Cho hàm số y = –. log 2 cosx (1) Xét hàm số f(t) = t– log 2 t với t thuộc ( 0; 1] Ta có f’(t) = 1– 2ln 1 t = 2ln 12ln t t − < 0 với mọi t thuộc( 0; 1]  f(t) nghịch biến trên ( 0; 1] PT (1)  f (sin2x)= f (cosx)