22 de thi HKIIToan 6 co dap an + MTi.doc

®Ị sè Mơn : Tốn Năm học : 2009 – 2010 Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề Bài : Tìm số nguyên x, y: x = x > y > y Bài : Cho hai số x, y trái dấu: a) b) −2 y = x < < y x Tính x - y, biết x + y = 2010 Bài : Một vòi nước chảy vào bể sau 60 phút đầy bể Vịi thứ hai lấy nước dùng sau 90 phút dùng hết Người ta dọn bể tháo nước Rồi người ta mở vòi thứ chảy vào bể, sau 15 phút đồng thời người ta mở vòi thứ hai lấy nước dùng Hỏi sau bể đầy ? Bài : a) Cho 10m -  19 Chứng tỏ : 102m + 18  19 b) Chứng minh : + 32 + 33 + 34 + …… + 325 không chia hết cho 39 Bài : Cho đoạn thẳng AB Trên tia đối tia AB lấy điểm O Gọi M trung điểm OA, N trung điểm OB K trung điểm AB a) Biết AB = Tính độ dài đoạn thẳng MN b) So sánh OM ON HD Bài 2: Xét TH x>0 ,y b ) Vẽ tia Ot phân giác xOn : a) Tính số đo mOt theo a b hai trường hợp ( tia On nằm hai tia Ox Om ; tia Om nằm hai tia Ox On ) ? b) Trên nửa mặt phẳng bờ xy có chứa tia Ot vẽ tia Ot’ vng góc với tia Ot Chứng tỏ hai trường hợp ta có tia Ot’ tia phân giác nOy ? Bài ( 1,0 điểm ) Chứng minh tích số phương số đứng trước chia hết cho 12 ®Ị sè KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN - LỚP ( Thời gian làm : 90 phút, không kể thời gian giao đề ) Bài ( 2,5 điểm ) : 6 6 + + + + chứng tỏ tổng S < ? 2.5 5.8 8.11 29.32 a −1 b +1 b) So sánh hai phân số ( với a ; b số nguyên dấu a ; b ≠ ) a b Bài ( 2,5 điểm ) : b) Cho x tổng tất số nguyên có chữ số, y số nguyên âm lớn Hãy tính giá trị biểu thức A = 2009 x2006 - 2008 y2007 a) Tính tổng S = b) Tìm x biết − 33 3333 333333 33333333 x.( + + + ) = 22 12 2020 303030 42424242 Bài ( 2,0 điểm ) : Tìm phân số tối giản, biết cộng mẫu số vào tử số cộng mẫu số vào mẫu số phân số phân số mới, lớn gấp lần phân số ban đầu ? Bài ( 3,0 điểm ) : Trên đường thẳng xy lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng xy ta kẻ tia Om On cho mOx = a0 ; mOn = b0 ( a > b ) Vẽ tia Ot phân giác xOn : c) Tính số đo mOt theo a b hai trường hợp ( tia On nằm hai tia Ox Om ; tia Om nằm hai tia Ox On ) ? d) Trên nửa mặt phẳng bờ xy có chứa tia Ot vẽ tia Ot’ vng góc với tia Ot Chứng tỏ hai trường hợp ta có tia Ot’ tia phân giác nOy Bài ( 1,0 điểm ) Chứng minh tích số phương số đứng trước chia hết cho 12 ĐÁP ÁN Bài ( 2,0 điểm ) a) 1,0 điểm 3   + + +  S =  0,25đ 29.32   2.5 5.8 8.11 1  1 1 1 −  0,25đ S =  − + − + − + + 29 32   5 8 11  1  30 S =  −  = 0,25đ  32  32 Vì 30 < 32 nên S < 0,25đ b) 1,5 điểm a −1 b +1 Có =1và =1+ 0,5đ a a b b 1 * Nếu a > b > > > 0,25đ a b 1 a −1 b +1 ⇒1< 1+ hay < 0,25đ a b a b 1 * Nếu a < b < < < 0,25đ a b 1 a −1 b +1 ⇒1> 1+ hay > 0,25đ a b a b Bài ( 2,0 điểm ) a) 1,0 điểm Theo ta có x = - 99 + ( - 98 ) + + ( -11 ) + ( - 10 ) + 10 + 11 + + 98 + 99 0,25đ x = ( - 99 + 99 ) + ( - 98 + 98 ) + + ( -11 + 11 ) + ( - 10 + 10 ) .0,25đ 2006 x=0 ⇒ x =0 y = - ⇒ y2007 = ( - )2007 = - 0,25đ Do ta có A = 2009 x2006 - 2008 y2007 = - 2008.( -1 ) = 2008 .0,25đ b) 1,5 điểm 33 3333 333333 33333333 + + ) = 22 Ta có − x.( + 12 2020 303030 42424242 33 33 33 33 + + ) = 22 0,25đ ⇒ − x.( + 12 20 30 42 1 1 + + ) = 22 0,25đ ⇒ − x.33.( + 12 20 30 42 1 1 1 1 ⇒ − x.33.( − + − + − + − ) = 22 0,25đ 4 5 6 7 1 ⇒ − x.33.( − ) = 22 ⇒ − x.33 = 22 .0,5đ 21 ⇒ -11.x = 22 ⇒ x = - 0,25đ Bài ( 2,0 điểm ) a a a = Gọi phân số tối giản lúc đầu Nếu cộng mẫu số vào mẫu số ta phân số ; phân số b b + b 2b a nhỏ phân số lần .0,5đ b a+b gấp lần phân số lúc đầu a + b phải lần a 0,5đ 2b ⇒ Mẫu số b phải gấp lần tử số a .0,5đ Phân số tối giản thoả mãn điều kiện 0,5đ Bài ( 3,0 điểm ) m t’ a) 2,0 điểm Xét đủ hai trường hợp : n * Khi tia On nằm hai tia Ox Om t + Vì tia On nằm hai tia Om Ox ⇒ xOn = a0 - b0 0,25đ x y O 0 a −b + Vì Ot phân giác xOn nên nOt = xOn = 0,25đ 2 a0 − b0 a0 + b0 + Số đo mOt : mOt = mOn + nOt = b + = 0,5đ 2 Để * tia Om nằm hai tia Ox On + Vì tia Om nằm hai tia Ox On ⇒ xOn = xOm + mOn = a0 + b0 0,25đ + Vì Ot phân giác xOn nên a0 + b0 xOt = xOn = 0,25đ 2 m n t’ t x O a0 + b0 a0 − b0 + Số đo mOt : mOt = xOm - xOt = a − = 0,5đ 2 b) 1,0 điểm Trong hai trường hợp trên, ta có : tOn + nOt’ = xOt + t’Oy = 900 0,5đ Mà tOn = xOt ( Ot phân giác xOn ) 0,25đ ⇒ nOt’ = t’Oy hay Ot’ phân giác nOy 0,25đ Bài ( 1,0 điểm ) Ỵ Z) số đứng trước n2-1 Số phương n (n Ta có (n2-1)n2 =(n+1)(n-1)n2= (n-1)n.n(n+1) Tích có số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Mặt khác (n-1)n hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Và n (n+1) chia hết cho Nên (n-1)n.n(n+1) chia hết cho Mà (3;4) = nên (n-1)n.n(n+1) chia hết cho 12 Vậy (n2-1)n2 chia hết cho 12 Hết y ®Ị sè thi Ô-lim -pic huyện Môn Toán Lớp Năm học 2007-2008 Bài Cho số a, b, c H·y chøng tá r»ng nÕu 4a + 5b + 7c chia hÕt cho 11 th× 5a + 9b + 6c chia hết cho 11 (4điểm) Giải: Theo ta cã: (4a + 5b + 7c) M => 7(4a + 5b + 7c) M 11 11 XÐt tæng: 28a + 35b + 49c + 5a + 9b + 6c = 11(3a + 4b + 5c) M => 5a + 9b + 6c M 11 11 Bµi Cho mét số có ba chữ số mà chữ số cuối lớn chữ số đầu Nếu viết chữ số cuối lên trớc chữ số đầu đợc số lớn số đà cho 783 Tìm số đà cho? (3điểm) Giải: Số đà cho biểu diễn dới dạng: abc Trong ®ã a, b, c ∈ N; (0 ≤ b, c ≤ 9); < a ≤ Sè míi biĨu diƠn díi d¹ng: cab Ta cã: 100c + 10a + b – 100a – 10b – c = 783 => 99c – 90a – 9b = 783 => 11c – 10a – b = 87 => 11c > 87 => c = hc c = NÕu c = => 10a + b = => a = (lo¹i) NÕu c = => 10a + b = 12 => a = 1, b = Thư l¹i: 912 – 129 = 783 VËy sè phải tìm 129 Bài a) T×m x: − (3 + x − ) : = (2®iĨm) 24 27 129 27 129 81 − 129 Gi¶i: − ( + x − ) = => ( + x − ).3 = 23 => ( + x).3 = 23 24 23 24 24 (x − 2).3 = 23 => 3x = 23 + => x = b)Tìm tất số nguyên a b, cho ƯCLN (a, b) = 10, BCNN [ a, b ] = 100 (4®iĨm) ab => a.b = 100.10 = 103 Gi¶ sư a = 10a,, b = 10b,, víi (a,, b, ) = => a,b, =10 (a, b) a , = a , = a , = 10 a , = a = 10 a = 20 a = 50 a = 100     VËy  , ,  , ,  , ,  , =>  ,  ,  ,   b = 10  b =  b = b =  b = 100  b = 50  b = 20  b = 10     Bài Chu vi hình chữ nhật 60m Nếu giảm chiều dài 10% tăng chiều rộng 20% chu vi không đổi Tính diện tích hình chữ nhật? (4 điểm) Giải: Tổng chiều dài chiều rộng hình chữ nhật lµ 60 : = 30 (m) Tỉng cđa 0,9 chiỊu dµi vµ 1,2 chiỊu réng cịng b»ng 30m, tøc 0,1 chiỊu dµi b»ng 0,2 chiỊu réng 0,1 = Nghĩa tỷ số chiều rộng chiều dài hình chữ nhật Vậy: 0, 2 Chiều dài hình chữ nhật 30 : (1 + 2) = 20 (m) ChiỊu réng cđa h×nh chữ nhật 30 20 = 10 (m) Diện tích hình chữ nhật 10 20 = 200 (m2) Bài Cho tia Oc nằm hai tia Oa Ob, tia Om nằm hai tia Oa Oc, tia On nằm hai tia Oc Ob Chứng tỏ tia Oc nằm hai tia Om On (3điểm) Giải: Gọi mặt phẳng bờ Oc chứa tia Oa P, mặt phẳng ®èi cđa nã lµ Q, nh vËy tia Ob thc Q Tia Om nằm hai tia Oa Oc nên tia Om, Oa thuộc mặt phẳng có bờ Oc, tia Om thuộc P Tia On nằm hai tia Oc, Ob nên tia On, Ob thuộc mặt phẳng có bờ Oc, tia On thuộc Q n Các tia Om, On thuộc hai mặt phẳng đối cã bê Oc (1) b · · Ta l¹i cã cOm < cOa (vì tia Om nằm hai tia Oc Oa), c à à cOn < cOb (vì tia On nằm hai tia Oc Ob) m · · · · · nªn cOm + cOn < cOa + cOb = aOb ≤ 1800 , Q · · tøc lµ cOm + cOn ≤ 1800 (2) Tõ (1) vµ (2) a O suy tia Oc n»m hai tia Om On đề số Đề thi học sinh giỏi khối P Môn: toán Thòi gian 120 phút Đề Bài 1: Chứng minh ( 210 + 211 + 212 ) chi hÕt cho Giải: Ta có [ a, b ] = Bài 2: Viết 32 thành tổng lũy thừa số với số mũ số tự nhiên liên tiếp 1 118 Bài 3: TÝnh A = × × − × − × + 117 119 117 119 117 119 39 Bµi 4: Cho biĨu thøc 1 432 A= ×2 − × − 229 433 229 433 229 ì 433 1 a)Bằng cách đặt a= ,b= 229 433 Rót gän biĨu thøc A theo a vµ b b)Tính giá trị biểu thức A Bài 5: Chứng minh r»ng (19 45 + 1930 ) chi hÕt cho 20 Bài 6: Tìm số d chia 1963 1964 cho Bài 7: Một xí nghiệp đà làm số dụng cụ đợt Đợt đà làm đợc tỉng sè dơng tỉng sè dơng cụ làm thêm 25 Đợt xí nghiệp lµm nèt 25 dơng TÝnh tỉng sè dơng cụ Đợt làm đợc Đáp án toán Câu 1: (3 điểm) Chơng minh: ( 210 + 211 + 212 ) chi hÕt cho Ta cã ( 210 + 211 + 212 ) = 10 (1 + + 2 ) (1 đ) mà (1 + + 2 ) chia hÕt cho (1 ®) vËy 10 (1 + + 2 ) chia hÕt cho Do ®ã ( 210 + 211 + 212 ) chia hÕt cho (1 đ) Câu 2: (3 điểm) Đặt số tự nhiên thứ a số a + 1, a + Ta cã: 32 = a + a+1 + a+2 = 2a +2a + 2a 22 = 2a (1 + + 22 ) = 2a (1,5 ®) a ⇒ 32 = 2a ⇒ a = 32 = (1 ®) VËy 32 = + + 1 118 Câu 3: Tính A= ì × − × + 117 119 117 119 117 119 39 1 đặt a = , b= (1 đ) 117 119 1 118 Ta cã: × × − ×5 − × + 117 119 117 119 117 119 39 = 3ab – 4a (5 + - b) – 5ab + (0,5 ®) 39 = 3ab – 24 a + 4ab – 5ab + (0,5 ®) 39 = 2ab – 24a + (0,5 ®) 39 1 Thay a = , b= 117 119 1 ta cã A = × × − 24 × + 117 119 117 39 = 24 × 119 24 × 119 = − + 117 × 119 117 × 119 117 ì 119 117 ì 119 (0,5 đ) 1 432 ×2 − × − 229 433 229 433 229 ì 433 1 a) đặt a= ,b= 229 433 Ta cã: A = 3a(2 + b) – a (1 - b) – 4ab = 5a b) A = 5a = = 229 229 C©u 5: Chøng minh r»ng (19 45 + 1930 ) chi hÕt cho 20 C¸ch 1: ta cã (19 45 + 1930 ) = 1930 (1915 +1) Mµ (1915 +1) = BS (19 + 1) chia hÕt cho 20 Do ®ã: 1930 (1915 +1) chia hÕt cho 20 Nªn (19 45 + 1930 ) chia hÕt cho 20 C©u 6: Ta thÊy 1963 chia cho d Do ®ã 19631964 = (BS +3)1964 = BS + 31964 XÐt sè 31964 = 32 (33)654 = (28 – )654 = (BS + ) = BS + VËy 31964 chia cho d 19631964 chia cho d Câu 7: Đặt tổng số dụng cụ xí nghiệp sản xuất lµ a 1 Ta cã: a + + 15 + 25 = a 4a 1 + 40 = a a + 4a 1 - a = -40 a + 4a 1 a ( + − ) = - 40 4 + − 12 a( ) = - 40 12 5 − a = - 40 ⇒a = (- 40): ( ) =96 12 12 Đáp số: 96 dụng cụ Câu 4: A = đề số (1,5 ®) (1 ®) (1 ®) (1 ®) (1 ®) (0,5 ®) (1 ®) (1,5®) (0,5 ®) (0,25 ®) (0,25 ®) (0,5 ®) (0,5 ®) Đề thi học sinh giỏi Mơn toán Lớp Năm học 2008 - 2009 Thời gian làm 120 phút Bài (2 điểm) Tính nhanh: a/ (-47) + 74 - ( 53 - 26) (1,5 ®) b/ 2008.2009 + 4018 2010.2011 − 4020 Bài (3 điểm) a/ Tìm số tự nhiên n biết chia 147 193 cho n có số dư 17 11 b/ Khi cộng vào tử mẫu phân số với số nguyên x phân số có giá Tìm số ngun x? c/ Cho a, b, c số nguyên dương trị Chứng tỏ P = a b c số nguyên + + a+b b+c c+a Bài (2,5 điểm) Bài kiểm tra chất lượng học kỳ I mơn Tốn lớp 6A khơng có bạn bị điểm trung bình Số học sinh đạt điểm loại trung bình 60% số học sinh lớp; số học sinh đạt điểm loại số học sinh lớp Biết rằng, lớp 6A có khoảng từ 30 đến 40 bạn tất bạn tham gia kiểm tra Hỏi kiểm tra có học sinh đạt điểm loại giỏi ? Bài (2,5 điểm) Trên tia Ox lấy điểm A B cho OA = 2cm, AB = 6cm a/ Tính khoảng cách trung điểm I đoạn thẳng OA trung điểm K đoạn thẳng AB · · AMB , tính số đo · b/ M điểm nằm đường thẳng AB Biết OMB = 100O OMA = · AMB ================Hết================ HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN Bài a (2đ) b Nội dung = - 47 + 74 - 53 + 26 = -(47 +53) +(74 + 26) = -100 +100 = 2008.2009 + 4018 = 2008.2009 + 2.2009 = 2009.(2008+2) = 2009.2010 2010.2011-4020 = 2010.2011-2.2010 = 2010.(2011-2) = 2010.2009 2008.2009 + 4018 = ⇒ 2010.2011 − 4020 §iĨm 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 (3®) a c 0.25 0.25 0.25 0.25 ⇒P = b 147 chia cho n d 17; n N nên n > 17 147 -17 M hay 130 M n n ⇒ n ∈ ¦C(130,182) 193 cho n d 11 nªn 193 - 11M hay 182 M n n ¦C(130,182) = { ±1; ±2; ±13; ±26} n > 17 nªn n = 26 3+ x Từ đề suy = 7+ x ⇒ 3(3+x) = 7+x ⇒ +3x = 7+x ⇒ 3x - x = - ⇒ 2x = -2 ⇒ x = -1 b > b ; c > c a a Do a, b, c d¬ng nªn > ; a+b a+b+c b + c a+b+c c + a a+b+c 0.25 a b c > a b c =1 + + + + a+b b+c c+a a+b+c a+b+c a+b+c 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Do a, b, c có vai trò bình đẳng, không tính tổng quát, giả sử a b c Ta có a, b, c dơng a b c + a ≥ c + b ⇒ c c ≤ c+a c+b ⇒ 0.25 b c b c =1 ≤ + + b+c c+a b+c c+b a < 1⇒ a b c