TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011 Môn thi: TOÁN - Khối A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: (2.0 điểm) Cho hàm số 23 2 − = − x y x (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B và diện tích tam giác OAB bằng 2. CâuII: (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: () 2 sin 2 sin 2 sinx 1 44 xx ππ ⎡⎤ ⎛⎞⎛⎞ + −−= + ⎜⎟⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦ 2. Giải hệ phương trình: 32 0 551 xy xy xy ⎧ −− = ⎪ ⎨ 4 − +−= ⎪ ⎩ CâuIII : (1,0 điểm) Tính tích phân: 2 2 6 cot x 1sin Id x π π = + ∫ x . Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Biết khoảng cách từ tâm của tam giác A’B’C’ đến mặt phẳng (AB’C’) bằng 6 a . Tính theo a thể tích của lăng trụ. Câu V: (1,0điểm) Cho 3 số thực dương x,y,z thoả mãn: 111 1 x yz + +=. Chứng minh rằng: 222 xxy4 x yzxy xyz yz z z + + ++≥ +++ II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A, hoặc B). A. Theo chương trình Chuẩn: Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho: A(1 ; 2), B(3 ; 0) . Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B và cắt trục Oy theo một dây cung có độ dài bằng 210 . 2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): x + y – 2z – 1 = 0 , ( β) : 3x + y – 5 = 0 và điểm A( 3 ; -1 ;0). Tìm toạ độ các điểm M thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (α), ( β) sao cho M cách đều A và mặt phẳng Oxz. Câu VII.a (1,0điểm) Tìm m để phương trình: ln 1 .ln 0xmx++ = có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; e 3 ]. B.Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ∆ABC có điểm C thuộc đường thẳng: x + y – 3 = 0, phương trình cạnh AB: 2x - 3y + 11 = 0, đường cao AH: 4x - 3y + 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích tam giác ABC bằng 17 2 và B có hoành độ âm. 2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x - 3) 2 + y 2 + (z + 2) 2 = 4. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa trục Oz và tiếp xúc với mặt cầu (S). Câu VII.b (1,0điểm) Tìm m để hàm số 2 1x y x m − = + có 2 điểm cực trị x 1 , x 2 thuộc khoảng (- ∞; 1). Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh : ; Số báo danh : Chữ kí giám thị 1 : ; Chữ kí giám thị 2 : Đ 011 Câu Hướng dẫn & Đáp án Điểm ÁP ÁN+THANG ĐIỂM CHẤM TOÁN THI THỬ ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2 1. (1,0 điểm) Học sinh khảo sát đầy đủ các bước và vẽ đúng chính xác đồ thị 1đ 2. (1,0 điểm) Ta có: 2x, 2x 3x2 0 ⎞ ⎛ − ;xM 0 0 0 ≠ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ − , () 2 0 0 2x 1 )x('y − − = Phương trình tiếp tuyến (∆) của ( C) tại M : () 0 0 2 0 0 23 1 () 2 2 x yxx x x − − =−+ − − 0,25đ Giao điểm A, B của (∆) với hai trục toạ độ: () () 2 2 00 00 2 0 266 2 6 6;0 ; 0; 2 xx Ax x B x ⎛⎞ − + −+ ⎜⎟ ⎜ − ⎝ ⎟ ⎠ ,25đ 0 S ∆OAB = 2 ⇔ OA .OB = 4 ⇔ () () 2 2 00 2 0 266 4 2 xx x −+ = − 0,25đ I Giải ra x 0 = 1. Kết luận : (∆) : y = - x + 2 0,25đ 1. (1,0 điểm) () 2 sin 2 sin 2 sinx 1 44 xx ππ ⎡⎤ ⎛⎞⎛⎞ +− − = + ⎜⎟⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦ ⇔ ( sin2x + cos2x) – ( sinx - cosx) = 2 (sinx + 1) ,25đ 0 ⇔ 2sinx.cosx – 2sin 2 x – 3sinx + cosx – 1 = 0 0,25đ ⇔ cosx(2sinx + 1) – sinx(2sinx + 1) – (2sinx +1) = 0 ⇔ (2sinx +1).( cosx – sinx – 1) = 0 0,25đ 7 2 2 2 2 66 2 x kx kxkx k π ππ π ππ π −+ ∨ = + ∨ = ∨ =−+ ⇔= ,25đ 0 2. (1,0 điểm) 3 2 0 (1) 5 5 1 4 (2) xy xy xy ⎧ −− = ⎪ ⎨ −+ −= ⎪ ⎩ ĐK: x ≥ 5 , y ≥ 1/5 (1) () () 2xy y⇔−− 0y x+ = ,25đ 0 ()() 30yxx y⇔+ − = ⇔ x = 9y 0,25đ Thay x = 9y vào (2) ta được: ()() 95 514 9551117yy yy−+ −= ⇔ − − = − y 0,25đ II 9 ( loại) . Kết luận: Nghiệm của hệ: (x ; y) = (9; 1) 0,25đ Giải ra được: y = 1 hoặc y = 2 (1,0 điểm) 2 2 6 cot x 1sin Idx x π π = + ∫ = 2 2 6 cos x sinx(1 sin ) dx x π π + ∫ = 1 2 1 2 dt (1 )tt+ ∫ ,5đ 0 = () 22 1 2 1 2 1- t dt (1 ) t tt + + ∫ = 1 2 1 2 1 dt 1 t tt ⎛⎞ − ⎜⎟ + ⎝⎠ ∫ ,25đ 0 III = 18 ln2 - ln 25 ,25đ 0 IV (1,0 điểm) ∆A’B’C’, M là trung điểm B’C’ )⊥mp(AB’C’). ∆ đồ ạng nên: Gọi G’ là tâm Chứng tỏ được B’C’⊥mp(AB’C’)→ mp(AB’C’ Dựng G’H ⊥ AM (H∈ AM)→ d(G’;(AB’C’)) = G’H = a /6 ∆AA’M & G’HM ng d '' ' A AGH A MGM = ⇒AA’= 6 4 a .V ABC.A’B’C’ = S ∆ABC . AA’= 3 32 16 a 0,25đ ,25đ ,25đ 0,25đ 0 0 G' M C' B' C B A A' H (1,0 điểm) * ĐK : 111 1 x yz ++= ⇔ xy + yz + xz = xyz *VT = 33 222 xyz xyz 3 xyz y xyz z ++ +++x 0,25đ = ()()()()() 33 x(z+y) xy xxyzxy yxyzxy zzy ++ ++ + ++ + ++ 3 z = ()()()()() 33 xyz xy xz yx yz zy ++ ++ ++ + 3 .(z + x) 0,25đ * Mà: ()() 3 3 .884 x xy xz x xy xz ++ ++≥ ++ ; Tương tự 0,25đ V Cộng vế theo vế, suy ra điều cần chứng minh. 0,25đ 1.(1,0 điểm) *Gọi I(a; b) là tâm đường tròn (C), d(I, Oy) = ⎢a⎥ Từ giả thiết suy ra: IA 2 = IB 2 = a 2 + 10 0,25đ Hay: ()( )() () 22 2 2 2 2 22 123 444 61 3 = a 10 abab ab ab ab ⎧ −+−=−+ − = ⎧ ⎪ ⇔ ⎨⎨ − += −+ + ⎩ ⎪ ⎩ 0,25đ 1; a = 0 b =7; a =8 b =− ⎡ ⇔ ⎢ ⎣ 0,25đ KL: (C 1 ): x 2 + (y + 1) 2 = 10, (C 2 ): (x - 8) 2 + (y - 7) 2 = 74 0,25đ 2.(1,0 điểm) * Gọi M(x; y; z) là điểm thoả đề bài , ta có: 210 350 (;(Ox)) xy z xy M AdM z +− −= ⎧ ⎪ +−= ⎨ ⎪ = ⎩ 0,25đ ()( ) 22 22 210 350 31 xy z xy x yzy ⎧ +− −= ⎪ ⎪ ⇔+−= ⎨ ⎪ −+−−+= ⎪ ⎩ 22 53 2 62 10 yx zx xxyz ⎧ =− ⎪ ⇔=− ⎨ ⎪ 0 − +++= ⎩ 0,5đ VIa 2 210 2 6 350 1 04 8120 xy z x x x y y hay y zz xx ⎧ +− −= = = ⎧⎧ ⎪⎪ ⇔+−= ⇔=− =− ⎨⎨ ⎪⎪ == −+= ⎩⎩ ⎩ 13 ⎪ ⎨ ⎪ − . KL: M 1 (2; -1; 0), M 2 (6; -13; - 4) 0,25đ (1,0 điểm) ln 1 .ln 0xmx + += (1) * Đặt : 3 ln 1, (x 1; t [1; 2] ) tx e ⎡⎤ =+∈ →∈ ⎣⎦ . Pt (1) trở thành: t + m(t 2 – 1) = 0 (2) 0,25đ VIIa * (2) ⇔ m = 2 1 t t− ( t = ± 1 không thoả (2) ).Xét sự biến thiên của f(t) = 2 1 t t− trên (1; 2] * f ’(t) = () 2 2 2 1 0, x (1; 2] 1 t t + >∀∈ − , *BBT: Dựa vào BBT, kết luận: m ≤ - ⅔ thì (1) có ít nhất một nghiệm thuộc đoan [1; 3] t 1 2 f’(t) + f(t) - ∞ - ⅔ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 1.(1,0 điểm) * A = AB ∩ AH → A(2 ; 5) * B ∈AB : () 23 23 ; 52 52 xt B tt yt =+ ⎧ →+ + ⎨ =+ ⎩ 0,25đ * C ∈(d) : x + y - 3 = 0 → C(k ; 3 - k) * ( ) ( ) ABC 3324 22 17 BC AH & S 2 .( ; ) 17 kt kt AB d C AB ∆ − −− = −−− ⎧ ⎪ ⊥=⇔ ⎨ = ⎪ ⎩ 0,25đ () 17 14 0 5217 kt tk + += ⎧ ⎪ ⇔ ⎨ + = ⎪ ⎩ 0,25đ VIb 2 2 1 85 68 17 0 ( ) 1 (loai) 85 68 17 0 5 t tt VN t tt =− ⎡ ⎡ ++= ⎢ ⇔⇔ ⎢ ⎢ = +−= ⎣ ⎣ → B(-1 ; 3) KL: Pt BC : 3x + 4y – 9 = 0 0,25đ 2.(1,0 điểm) *Mặt cầu (S) có tâm I(3 ; 0 ; - 2), bán kính R = 2 0,25đ * Mp(α) chứa trục Oz nên pt có dạng: ax + by = 0 (a 2 + b 2 ≠ 0) 0,25đ * Mp(α) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên: d(I,(α)) = R 22 22 3 25 4 a ab ab ⇔=⇔= + 0,25đ * Lập luận để chọn b = 52a→=±. KL: PT mp(α) : 2x + 5 y = 0 hay – 2x + 5 y = 0 0,25đ .(1,0 điểm) 2 1x y x m − = + (1) ( x ≠ - m), () 2 2 21 ' x mx y xm + + = + 0,25đ y’ = 0 ⇔ x 2 + 2mx + 1 = 0 (2) ( x ≠ - m). Hàm số (1) có hai điểm cực trị thuộc (- ∞ ; 1) khi: Pt (2) có hai nghiệm x 1 , x 2 khác –m và x 1 < x 2 < 1 hay: . ()() ' 12 12 22 0 11 2 210 xx xx mm ⎧ ∆> ⎪ −−> ⎪ ⎨ +< ⎪ ⎪ −+≠ ⎩ 0 0,25đ 2 10 1(2)1 0 22 m m m ⎧ −> ⎪ ⇔−− +> ⎨ ⎪ −< ⎩ 0,25đ VIIb 1 m > 1 2 2 0 1 22 m mm m <− ∨ ⎧ ⎪ ⇔+> ⇔> ⎨ ⎪ −< ⎩ 0,25đ (Học sinh giải theo cách khác, quý Thầy Cô tự xem xét và phân theo thang điểm thích hợp) . x sinx (1 sin ) dx x π π + ∫ = 1 2 1 2 dt (1 )tt+ ∫ ,5đ 0 = () 22 1 2 1 2 1- t dt (1 ) t tt + + ∫ = 1 2 1 2 1 dt 1 t tt ⎛⎞ − ⎜⎟ + ⎝⎠ ∫ ,25đ 0 III = 18 ln2 - ln 25 ,25đ 0 IV (1, 0. =− ⎨⎨ ⎪⎪ == −+= ⎩⎩ ⎩ 13 ⎪ ⎨ ⎪ − . KL: M 1 (2; -1; 0), M 2 (6; -13 ; - 4) 0,25đ (1, 0 điểm) ln 1 .ln 0xmx + += (1) * Đặt : 3 ln 1, (x 1; t [1; 2] ) tx e ⎡⎤ =+∈ →∈ ⎣⎦ . Pt (1) trở thành: t + m(t 2 – 1) =. TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2 011 Môn thi: TOÁN - Khối A Thời gian làm bài: 18 0 phút, không kể thời gian giao đề. I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ