TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục” 100 BÀI BẤT ĐẲNG THỨC 1. Cho a,b,c là các số thực dương .Chứng minh: 3 2 + + ≥ + + + a b c b c c a a b 2. Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: 2 2 2 3+ + =x y z . Chứng minh : 3+ + ≥ xy yz zx z x y 3. Cho x, y, z >0 thoả 1x y z+ + = . Chứng minh: 1 4 9 36+ + ≥ x y z 4. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh: ( )( )( )≥ + − + − + −xyz x y z y z x z x y 5. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 . Chứng minh : 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − + ≤ ÷ ÷ ÷ a b c b c a 6. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 . Chứng minh : 3 3 3 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2 + + ≥ + + +a b c b c a c a b 7. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: 2= + + +xyz x y z . Chứng minh : 3 2 + + ≤x y z xyz 8. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a 2 +b 2 +1≥ ab+a+b b) a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 ≥ a(b+c+d+e) c) a 3 +b 3 ≥ ab(a+b) d) a 4 +b 4 ≥ a 3 b+ab 3 9. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) (a+b+c) 2 ≥ 3(ab+bc+ca) b) a 2 (1+b 2 )+b 2 (1+c 2 )+c 2 (1+a 2 )≥ 6abc 10. a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b=2 . Chứng minh rằng: a 4 +b 4 ≥ a 3 +b 3 b) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3 . Chứng minh rằng: a 4 +b 4 +c 4 ≥ a 3 +b 3 + c 3 583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 3 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - 1 - GV: Nguyễn Văn Xê TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục” 11.Cho a,b,c là các số dương, Chứng minh rằng: a b c 1 2 a b b c a c < + + < + + + 12. Cho 4 số dương a,b, c . Chứng minh : a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b < + + + < + + + + + + + + 13. Chứng minh rằng với a,b,c > 0 thì: a) bc ac ab a b c a b c + + ≥ + + b) ab bc ca a b c a b b c c a 2 + + + + ≤ + + + c) 3 3 3 a b c ab bc ca b c a + + ≥ + + 14.Chứng minh rằng với a,b,c > 0 thì: a) 2 2 2 2 a b a b b a b a + ≥ + b) 2 2 2 a b c a b c b c a + + ≥ + + c) 2 2 2 a b c a b c b c c a a b 2 + + + + ≥ + + + 15. Cho , , 0x y z > và 1xyz = . Chứng minh: 3 3 3 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4 + + ≥ + + + + + + x y z y z z x x y 16. Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa 1+ + + =ab bc cd da . Chứng minh: 3 3 3 3 1 3 + + + ≥ + + + + + + + + a b c d b c d c d a a b d a b c 17. Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh: 2 1 1 1 27 ( ) ( ) ( ) 2( ) + + ≥ + + + + + + a a b b b c c c a a b c d 18. Cho ba số dương x, y, z thỏa 2 2 2 3.+ + =x y z Chứng minh: 3+ + ≥ xy yz zx z x y 583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 3 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - 2 - GV: Nguyễn Văn Xê TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục” 19. Cho các số dương x, y, x thỏa xyz = 1. Chứng minh: 5 5 5 5 5 5 1+ + ≤ + + + + + + xy yz zx x xy y y yz z z zx x 20. Cho , , 0.>a b c Chứng minh: 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 + + + ≤ + + + + + + + + + + + + a b c abcd b c d abcd c d a abcd d a b abcd abcd 21. Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh: 3 2( ) 1 1 1 2 + + + + + ≥ + ÷ ÷ ÷ x y z x y z y z x xyz 22. Cho ba số dương x ,y, z . Chứng minh: 3 3 3 + + ≥ + + x y z x y z yz zx zx 23.Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh 2 2 2 2( )+ + ≥ +a b c ab ac 24.Cho ba số dương a, b, c thỏa a + b + c = 3. Chứng minh: 2 2 2 3 2 1 1 1 + + ≥ + + + a b c b c a . 25. Chøng minh r»ng : a) 2 2 2 a b a b 2 2 + + ≥ ÷ ; b) 2 2 2 2 a b c a b c 3 3 + + + + ≥ ÷ 26. Chøng minh ∀m,n,p,q ta ®Òu cã m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1≥ m(n + p + q + 1) 27. Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc, Chøng minh r»ng a) 2 2 b a ab 4 + ≥ b) 2 2 a b 1 ab a b+ + ≥ + + c) ( ) 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e+ + + + ≥ + + + 28. Chøng minh r»ng: ( ) ( ) ( ) ( ) 10 10 2 2 8 8 4 4 a b a b a b a b+ + ≥ + + 583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 3 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - 3 - GV: Nguyễn Văn Xê TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục” 29. Cho x.y =1 vµ x.y = 1. Chøng minh 2 2 x y x y + − ≥ 2 2 30. Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc 31. Cho a>b>c>0 vµ 2 2 2 a b c 1+ + = . Chøng minh r»ng: 3 3 3 1 2 + + ≥ + + + a b c b c a c a b 32. Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 a b c d a b c b c d d c a 10+ + + + + + + + + ≥ 33. Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng: 2 2 2 2 2 2 (a c) (b d) a b c d+ + + ≤ + + + 34. Cho 0 <a,b,c <1 . Chøng minh r»ng: 3 3 3 2 2 2 2a 2b 2c 3 a b b c c a+ + < + + + 35. Cho a,b,c,d > 0 .Chøng minh r»ng a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b < + + + < + + + + + + + + 36. Cho a b < c d vµ b,d > 0 . Chøng minh r»ng: a b < 2 2 ab cd c d b d + < + 37. Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng 1 1 1 1 3 2 n 1 n 2 n n 4 < + + + < + + + 38. Chøng minh r»ng: ( ) 1 1 1 1 2 n 1 1 2 3 n + + + + > + − ( Víi n lµ sè nguyªn dương) 39. Cho a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c,chøng minh r»ng: a, a 2 +b 2 +c 2 < 2(ab+bc+ac) b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) 40. Cho a,b,c > 0 vµ a+b+c <1 Chøng minh r»ng 2 2 2 1 1 1 9 a 2bc b 2ac c 2ab + + ≥ + + + (1) 41. Chøng minh r»ng 2 2 2 1 1 1 1 2 n 1 2 n + + + < − ( 1; >∈∀ nNn ) 583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 3 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - 4 - GV: Nguyễn Văn Xê TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục” 42 . Cho Nn ∈ vµ a+b> 0 Chøng minh r»ng n a b 2 + ÷ ≤ n n a b 2 + (1) 43. Cho abc = 1 vµ 3 a 36> . Chøng minh r»ng: 2 a 3 + b 2 +c 2 > ab + bc + ac 44. Chøng minh r»ng a) 4 4 2 2 x y z 1 2x.(xy x z 1)+ + + ≥ − + + b) 2 2 a 5b 4ab 2a 6b 3 0+ − + − + > c) 2 2 a 2b 2ab 2a 4b 2 0+ − + − + ≥ 45. Cho x > y vµ xy =1 .Chøng minh r»ng ( ) ( ) 2 2 2 2 x y 8 x y + ≥ − 46. Cho xy ≥ 1 .Chøng minh r»ng 2 2 1 1 2 1 xy 1 x 1 y + ≥ + + + 47. Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b +c =1 Chøng minh r»ng 2 2 2 1 a b c 3 + + ≥ 48. Cho 0 < a, b,c <1 .Chøng minh r»ng: 3 3 3 2 2 2 2a 2b 2c 3 a b b c c a+ + < + + + 49. Cho a ,b ,c ,d > 0 .Chøng minh r»ng: 2 3 + + + + < + + + < + + + + + + + + a b b c c d d a a b c b c d c d a d a b 50. Cho a ,b,c lµ sè ®o ba c¹nh tam gi¸c Chøng minh r»ng: 1 2< + + < + + + a b c b c c a a b 51.Chøng minh: a) 1 1 1 1 1.3 3.5 (2 1).(2 1) 2 + + + < − +n n b) 1 1 1 1 2 1.2 1.2.3 1.2.3 + + + + < n 52.Chứng minh rằng: , , 0+ + ≥ + + ∀ > bc ca ab a b c a b c a b c 583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 3 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - 5 - GV: Nguyễn Văn Xê TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục” 53.Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 0 + + ≥ + + ∀ ≠ a b c b c a abc b c a a b c 54. Cho tam giác ∆ABC, a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác. CMR: a) ( ) ( ) ( ) 1 8 p a p b p c abc− − − ≤ ; b) 1 1 1 1 1 1 2 p a p c a c p b b ÷ ÷ + + ≥ + + − − − 55. Cho ∆ ABC, a, b, c là số đo ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) b c a c a b a b c abc+ − + − + − ≤ 56. Cho a>0, b>0. Chứng minh: 1 3 1 1 2 + + ≥ + + + a b a b b a 57.Chứng minh rằng: 2 2 2 , , 0 2 + + + + ≥ ∀ > + + + c a b a b c a b c a b b c c a 58. Cho , , (0;1)x y z ∈ và 1xy yz zx+ + = . Chứng minh: 2 2 2 3 3 2 1 1 1 + + ≥ − − − x y z x y z 59. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c a b c b c a c a b a b c ++ ≥ + + + − + − + − 60.Cho ∆ ABC. Chứng minh : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) ≤ abc 61. Cho ∆ABC. Chứng minh : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 p p a p b p c p a p c p b − − − − − − + + ≥ 62. Chứng minh rằng nếu a, b, c > 0 va abc = 1 thì: 1 1 1 1 2 2 2a b c + + ≤ + + + 63. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh 3 3 3 2 2 2 + + ≥ + + a b c a b c b c a 64.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh: 4 4 4 3 3 3 2 2 2 + + ≥ + + a b c a b c b c a b c a 583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 3 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - 6 - GV: Nguyễn Văn Xê TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục” 65. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh: 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + a b c a b b c c a 66.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh: 4 4 4 3 3 3 1 1 1 + + ≥ + + a b c b b c a b c 67.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh: 2 2 2 5 5 5 4 4 4 + + ≥ + + a b c a b c b c a b c a 68.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh: 2 2 2 5 5 5 3 3 3 1 1 1a b c b c a a b c + + ≥ + + 69.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh: 2 2 2 1 1 1a b c b c a a b c + + ≥ + + 70.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh: ( ) 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2( ) 3 + + + + + + ≥ + ÷ a b c a b c a b c abc 71.Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh ( ) ( ) ( ) 4 4 4 ( ) ( ) ( ) + − + − + − = + + ≥ + + + − + − + − b c a c a b a b c f ab bc ca a a b c b b c a c c a b 72.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh: 3 3 3 2 2 2 + + ≥ + +a b c ab bc ca 73.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh: 4 4 4 3 3 3 + + ≥ + +a b c ab bc ca 74.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh: 5 5 5 3 2 3 2 3 2 + + ≥ + + a b c a b b c c a 75.Cho a>0, b>0, c>0. Cho n,k là các số nguyên dương. Chứng minh: + + + + + ≥ + + n k n k n k n k n k n k a b c a b b c c a 76.Cho a>0, b>0. Chứng minh: 4 4 4 2 2 + + ≥ ÷ a b a b 583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 3 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - 7 - GV: Nguyễn Văn Xê TRUNG TM BI DNG VN HểA & LUYN THI THNH T Vỡ cht lng tht trong giỏo dc 77.Cho a>0, b>0, c>0. Chng minh: 2 2 2 2 3 3 + + + + ữ a b c a b c 78.Cho a>0, b>0, c>0. Chng minh: 3 3 + + + + ữ n n n n a b c a b c 79. Cho a, b, c l ba s dng. Chng minh rng 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b b c c a 9 2abc 2 c ab a bc b ac + + + + + + + + + + + 80. Cho x, y, z là 3 số thực dơng thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + +x y y z z x 81. Cho x, y, z laứ ba soỏ thoỷa x + y + z = 0. Chng minh raống : 3 4 3 4 3 4 6 + + + + + x y z 82. Cho a, b, c l cỏc s thc khụng õm tha món 1a b c+ + = . Chng minh rng: 7 2 27 + + ab bc ca abc . 83. Cho x , y , z l ba s thc tha món : 5 -x + 5 -y +5 -z = 1 .Chng minh rng: + + + + + + + + 25 25 25 25 5 5 5 5 5 x y z x y z y z x z x y + + 5 5 5 4 x y z 84. Cho a, b, c l cỏc s thc dng. Chng minh rng: 4 4 3 2 2 c a b a b b c c a + + + + + 85. Cho a,b,c l ba s thc dng. Chng minh: ( ) 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 2 + + + + + + + + + ữ ữ b c c a a b a b c a b c a b c 86. Cho a,b,c l cỏc s dng tha món a + b + c = 1. Chng minh rng: 3 + + + + + + + + a b b c c a ab c bc a ca b 87. Cho cỏc s thc dng , ,x y z . Chng minh rng: 5 5 5 3 3 3 2 2 2 + + + + x y z x y z y z x . 88. Chng minh rng vi mi s thc dng , ,a b c tha món 2 2 2 1a b c+ + = , ta cú: 583 -727 -TRN CAO VN - NNG*T: 3 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - 8 - GV: Nguyn Vn Xờ TRUNG TM BI DNG VN HểA & LUYN THI THNH T Vỡ cht lng tht trong giỏo dc 5 3 5 3 5 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 + + + + + + + + a a a b b b c c c b c c a a b . 89. Cho a, b, c l các s thc dng tho mãn abc = 1. Chứng minh rằng : 3 3 3 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2a b c b c a c a b + + + + + 90. Cho ba s thc dng a, b, c tha món ab + bc + ca = 3. Chng minh rng: 3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 4 a b c b c a + + + + + . 91. Cho x, y, z > 0. Chng minh rng: 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 y x z x y y z z x x y z + + + + + + + 92. Cho a, b,c l cỏc s khụng õm. Chng minh rng 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + a b c a b c b c a c a b 93. Cho cỏc s dng , , : 3.+ + =a b c ab bc ca Chng minh rng: 2 2 2 1 1 1 1 . 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) + + + + + + + +a b c b c a c a b abc 94. Cho các số thực dơng a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1. Chng minh rng : 2 2 2 2 2 2 2. + + + + + + + + a b b c c a b c c a a b 95. Cho 3 s dng a,b,c tho món: ab + bc + ca = abc. Chng minh: + + 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 2a a b b c c 96 . Cho x, y, z > 0. Chng minh rng: 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 + + + + + + + y x z x y y z z x x y z 97.Cho ba s thc dng a, b, c tha món abc = 1. Chng minh rng: + + + + + 3 3 3 1 8 1 8 1 8 1 a b c c a b 98. Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 2 -x + 2 -y +2 -z = 1.Chứng minh rằng : 583 -727 -TRN CAO VN - NNG*T: 3 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - 9 - GV: Nguyn Vn Xờ TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục” 4 4 4 2 2 2 2 2 2 x y z x y z y z x z x y + + + + + + + + ≥ 2 2 2 4 x y z + + 99. Cho a, b, c lµ nh÷ng sè d¬ng tho¶ m·n a + b + c = 1 Chøng minh r»ng 10a 3b 2009 3 3b 2009c 2009c 10a 10a 3b 2 + + ≥ + + + 100. Cho ba số dương , ,x y z . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 36 9 + + ≥ + + + x y z x y y z x z CHÚC CÁC EM THÀNH ĐẠT ! 583 -727 -TRẦN CAO VÂN - ĐÀ NẴNG*ĐT: 3 759 389 -3 711 165 thanhdat.edu.vn - 10 - GV: Nguyễn Văn Xê