PHÒNG GD & ĐT CÁT TIÊN ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO KHỐI THCS – VÒNG HUYỆN Năm học : 2010 – 2011 Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian phát đề ) Câu 1: ( 6 điểm) 1.1> Tính giá trị của biểu thức (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 3 ) A = 321930 291945 2171954 3041975+ + + ( 1 điểm ) 1.2> : Thực hiện phép tính .(Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 5 ) 1 5 3 3 1 1 6 4 1 4 7 3 1 1 8 5 9 B = + − + + + + + + ( 1 điểm ) 1.3> : Tính 1 1 1 1 C = + + + + 1.4 4.7 7.10 2008.2011 (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 5 ) = 1 1 . 1 3 2011 − ÷ ≈ 0,33317 ( 2 điểm ) 1.4> Cho A = 1193984; B = 157993 a) ƯCLN (A; B) = 583 ( 1 điểm ) b) BCNN (A; B) = 323569664 ( 1 điểm ) Câu 2 : x 3 + 4x 2 – 30x + 27 = 0 ⇔ (x – 3) ( x 2 + 7x – 9 ) = 0 ⇔ 1 2 3 3 7 85 2 7 85 2 x x x = − + = − − = ( 3 điểm ) Câu 3 ( 6 điểm ) : Cho P(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d có P(0) = 12; P(1) = 12; P(2) = 0; P(4) = 60 a) Xác định các hệ số a, b, c , d của P(x) Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vào đa thức P(x) ta có hệ phương trình P(0) = d P(1) =1+a + b +c + d P(2) =16 +8a + 4b + 2c + d P(4) = 256 +64a +16b + 4c + d 12 12 1 2 8 4 2 28 7 64 16 4 208 8 d d a b c a a b c b a b c c = = + + = − = − ⇔ ⇔ + + = − = − + + = − = ( 3 điểm ) Vậy đa thức P(x) = x 4 – 2x 3 – 7x 2 + 8x + 12 b) P(2010) = 4 3 2 2010 2.2010 7.2010 8.2010 12 16 306 138 543 392− − + + = ( 2 điểm ) c) Tìm số dư trong phép chia đa thức P(x) cho (5x – 6) 4 3 2 6 6 6 6 6 2. 7. 8. 12 10,1376 5 5 5 5 5 r P = = − − + + = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ( 1 điểm ) 1 B = 2,86993 A = 567,866 D 2 1 A B E C Cõu 4 ( 5 im ) : Cho x + y = 12,12 v 2 2 x + y = 84,8484 . Tớnh x 3 + y 3 Ta cú (x + y) 2 = 12,12 2 x 2 + y 2 + 2xy = 146,8944 Suy ra 2xy = 146,8944 84,8484 xy = 31,023 li cú x 3 + y 3 = ( x + y) (x 2 xy + y 2 ) = 12,12 . ( 84,8484 31,023) = 652,363848 Cõu 5 ( 4 im ) : Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, cú AB = 0,9 dm. AC = 1,2 dm. Tớnh di hỡnh chiu ca cnh AB lờn cnh huyn. Ta cú BC 2 = AB 2 + AC 2 BC = 1,5 ( dm) M AB 2 = BH . BC Suy ra BH = 0,9 2 : 1,5 = 0,54 (dm) Cõu 6 ( 4 im ) : Cho hm s f(x) cú tớnh cht f(2) = 2008 f(a + b) = f(a) +f(b) vi a, b tựy ý . Tớnh f(2010). f(2010) = f(2 + 2008) = f(2) + f(2008) = f(2) + f(2) + f(2006) ( 2 im ) suy ra f(2010) = f(2) + f(2) + . . . + f(2) = 1005 . 2008 = 2 018 040 ( 2 im ) Cõu 7 ( 5 im ) : Tỡm a, b, c bit : 2 2 5x + 3x -25 a b c = + + (x -1)(x + 2) x-1 x + 2 x +1 Quy ng mu v dựng ng nht thc ta cú : 5x 2 + 3x 25 = a ( x +2) (x + 1) + b(x 2 1) + c (x 1) ( x + 2) ( 1 im ) 5x 2 + 3x 25 = ( a + b + c) x 2 + ( 3a + c) x + ( 2a b 2c ) ( 2 im ) 5 3 3 2 2 25 a b c a c a b c + + = + = = 17 6 11 3 23 2 a b c = = = ( 2 im ) Cõu 8 ( 5 im ) : Cho tam giỏc ABC cú AB = 4,56cm; AC = 6,78cm; BC = 5,46cm. ng phõn giỏc AD cua tam giỏc ABC ng vi gúc trong A (D BC ). a/ Chng minh : 2 AD = AB .AC- DB.DC Ly im E trờn tia AD sao cho à à E C= Xột Tam giỏc ABE v ADC cú : à ả à à 1 2 ( ) ( ) ( ) A A gt ABE ADC gg E C = = caựch dửùng ( 1 im ) . . AB AE AB AC AE AD AD AC = = ( 1 ) Xột BDE v ADC cú : ã ã à à ( ) ( ) BDE ADC BDE ADC E C = = ủoỏi ủổnh caựch dửùng ( gg) ( 1 im ) . . BD DE BD DC AD DE AD DC = = ( 2) Tr v cho v (1) v ( 2) ta c AB.AC BD. DC = AD.AE AD.DE = AD( AE DE )= AD 2 . Hay AD 2 = AB. AC- DB.DC ( 1 im ) 2 B A C H 1005 s hng b/ Tính AD ? Ta có 4,56 6,78 DB AB DC AC = = ( AD là phân giác ) Suy ra 4,56 6,78 DB DC= ( 1 điểm ) Mà : 5,465DB DC BC+ = = 4,56 5,46 3,264444444( ); 2,195555556( ) 6,78 DC DC DC cm DB cm+ = ⇒ = = . . 4,87334904( )AD AB AC DB DC cm= − = ( 1 điểm ) Câu 9 : Cho tam giác đều có độ dài một cạnh là a = 2010,2011 ( cm ). Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác đó. ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ 5 ) Gọi h là chiều cao của tam giác đều. Khi đó h = 3 1005,10055 3 2 a = ( cm ) ( 2 điểm ) r = 1 1 .1005,10055 3 3 3 =h ≈ 580,29507 ( cm ) ( 1,5 điểm ) R = 2 2 .1005,10055 3 3 3 =h = 1160,59015 ( cm ) ( 1,5 điểm ) Câu 10 ( 7 điểm ) Cho dãy số với số hạng tổng quát sau : n n n (10 + 3) -(10 - 3) U = 2 3 với n = 1, 2, 3, … , k a) Tính các giá trị U 1 , U 2 , U 3 , U 4 U 1 = 1; U 2 = 20; U 3 = 303; U 4 = 4120 ( 3 điểm ) b) Lập công thức truy hồi tính U n+2 theo U n+1 và U n Giả sử U n+2 = a U n+1 + b U n + c Thay n = 0; 1; 2 vào công thức ta có : 2 1 0 3 2 1 4 3 2 U aU bU c U aU bU c U aU bU c = + + = + + = + + ⇔ 20 .1 .0 303 .20 .1 4120 .303 .20 a b c a b c a b c = + + = + + = + + ⇔ 20 20 303 303 20 4120 a c a b c a b c + = + + = + + = ⇔ 20 97 0 a b c = = − = ( 2 điểm ) Vậy U n+2 = 20 U n+1 -97 U n c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính U n+2 theo U n+1 và U n rồi tính U 5 , U 6 , . . ., U 10 Quy trình bấm phím : Ấn 20 SHIFT STO A x 20 – 97 x 1 SHIFT STO B Lặp đi lặp lại dãy phím x 20 – 97 x ALPHA A SHIFT STO A x 20 – 97 x ALPHA B SHIFT STO B U 5 = 53009 ; U 6 = 660540 ; U 7 = 8068927 ; U 8 = 97306160; U 9 = 1163437281; U 10 = 1,38300481 x 10 10 ( 2 điểm ) 3 . AC AE AD AD AC = = ( 1 ) Xột BDE v ADC cú : ã ã à à ( ) ( ) BDE ADC BDE ADC E C = = ủoỏi ủổnh caựch dửùng ( gg) ( 1 im ) . . BD DE BD DC AD DE AD DC = = ( 2) Tr v cho v. . BD DE BD DC AD DE AD DC = = ( 2) Tr v cho v (1) v ( 2) ta c AB.AC BD. DC = AD.AE AD .DE = AD( AE DE )= AD 2 . Hay AD 2 = AB. AC- DB.DC ( 1 im ) 2 B A C H 1005 s hng b/ Tính AD ? Ta có. PHÒNG GD & ĐT CÁT TIÊN ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO KHỐI THCS – VÒNG HUYỆN Năm học : 2010 – 2011 Thời