Luyện thi vào 10 Chuyên đề Hệ thức lượng

Tính độ dài cạnh BC nhập kết quả dưới dạng số thập phân Bài giải sơ lược Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A; BD là phân giác.. Hãy tính các cạnh góc của tam giác này.. HD: Theo tính ch

c b

a B

A

C H

HB

c = b.TgC = b.CotgB

- Nếu biết 1 góc nhọn α thì góc còn lại là 900 - α

- Nếu biết 2 cạnh thì tìm 1 tỉ số LG của góc ⇒ Tìm góc đó bằng cách tra bảng

- Dùng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuôn

16B

A

CH

B

A

CH

⇒ AH =

BC

AC AB.

= 10

8.6 = 4,8

82 = 6,4

162 = 10,24

Ví dụ6:

Cho ∆ ABC ( Aˆ = 1v) ; AB = 3 ; AC = 4

a) Tính tỉ số lượng giác của Cˆ

b) Từ KQ ( a) ⇒ các tỉ số lượng giác của góc B

BC

AC

= 5

4 ; tgC =

AC

AB

= ; 4

3CotgC =

AB

AC

= 34

Do Bˆ và Cˆ là hai góc phụ nhau

SinB = cosC =

5

4 ; cosB = sinC =

43

gB = cotgC =

3

4 ; cotgB = tgC =

43

Ví dụ7: Cho ∆ ABC ( Aˆ= 1v) ; AB = 6 ; Bˆ= α tgα =

12

5 Tính a) AC = ?

⇒ AC =

AC

AB

.5 = 12

5.6 = 2,5 (cm)b) Pi ta go ∆ABC ( Aˆ= 1v)

BC = AB2 +AC2 = 62 +(2,5)2 = 42,25

= 6,5 (cm) Bài tập về nhà : Đơn giản biểu thức

1) 1 – Sin2 α = ?

2) (1 - cosα ).(1+ cosα) = ?

3) 1+ sin2 α + cos2 α = ?

4) sinα - sinα .cos2 α = ?

5) sin4 α + cos4α + 2sin2 α .cos2α = ?

6).Không dùng bảng số và máy tinh Hãy so sánh các tỉ số LG theo thứ tự từ lớn đến nhỏ: Cotg250 ; tg320 ; cotg180 ; tg440 ; cotg620

Gợi ý

a) sin2 α + cos2α = 1 thay vào và thu gọn Đs : cos2α

b) Dùng A2-B2 và gợi ý phần a) Đs : = sin2 α

c) Đs : = 2d) đặt thừa số chung Đs : sin3 α

1812( +

? 9 20

A

HỆ THỨC LƯỢNG CÁC BÀI TOÁN HAY GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ

(Đề sưu tầm từ các vòng thi Olypic đầu tiên- lớp 9)

Bài 1:Cho tam giác ABC vuông ở A, đương cao AH Biết AB = 20cm, HC = 9cm.

Tính độ dài AH

Lời giải sơ lược:

Đặt BH = x Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác

ABC vuông ở A, có đường cao AH ta được:

AB2 = BH BC hay 202 = x(x + 9)

Thu gọn ta được phương trình : x2 + 9x – 400 = 0Giải phương trình này ta được x1 = 16; x2 = –25 (loại)Dùng định lý Pitago tính được AH = 12cm

Lưu ý : Giải PT bậc 2 nên dùng máy tính để giải cho nhanh

Thuộc một số bộ ba số Pitago càng tốt để mau chóng ghi kết qu

Bài 2: Cho tam giác ABC , Bµ =600, BC = 8cm; AB + AC = 12cm Tính độ dài cạnh AB

Lời giải sơ lược:

AB = 2.2,5 = 5cm

Chú ý: Ta cũng tính được chu vi tam giác ABC = 20cm

Diện tích tam giác ABC = 10 3cm

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác Biết rằng AD = 1cm;

BD = 10cm Tính độ dài cạnh BC (nhập kết quả dưới dạng số thập phân)

Bài giải sơ lược

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A; BD là phân giác Biết AD = 4cm;

BD = 4 10cm Tính diện tích tam giác ABC

(Nhập kết quả dưới dạng phân số)

- Hướng dẫn: Giải giống như bài 3 Chú ý nhập kết quả

theo yêu cầu

Bài 5: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường

2x 12 15,6

2

x

−

= 102

Vậy : AH = 2 5

Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài

15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm Tính độ dài cạnh đáy BC

Bài giải sơ lược:

Đặt BC = 2x, từ tính chất của tam giác cân ta suy ra CH = x

Đưa về phương trình 15,62 + x2 = 6,76x2

Giải phương trình trên ta được nghiệm dương x = 6,5

Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm)

Bài 7: Tính giá trị của biểu thức :

A = cos2 10 + cos2 20 + cos2 30 + + cos2 870 + cos2 880 + cos2 890 – 1

2Hướng dẫn: α + β = 900 ⇒ sinα = cosβ; cosα = sinβ; và cos450 = 2

2 ta được:

A = cos2 10 + cos2 20 + cos2 30 + + cos2 870 + cos2 880 + cos2 890 – 1

2 = (cos2 10 + cos2890) + (cos220 + cos2880) + +(cos2 440 + cos2460)+cos2450 – 1

2 = (cos2 10 + sin210) + (cos2 20 + sin220) + + (cos2 440 + sin2440) +

222

Bài tập tương tự: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) B = sin2 10 + sin2 20 + sin2 30 + + sin2 870 + sin2 880 + sin2 890 – 1

2 b) C = tg210 tg220 tg230 tg2870 tg2880 tg2890

c) D = (tg2 10 : cotg2 890) + (tg2 20 : cotg2 880) + + (tg2 440 : cotg2 460) + tg2 450

Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 108cm2 Biết AB – BC = 3cm Tính chu vi

của hình chữ nhật ABCD ?

b c

a //

//

2 1 1 M

D I

C B

A

Hướng dẫn: Đặt AB = x (cm) và BC = y(cm) với x >y Tính x và y rồi suy

ra chu vi của hình chữ nhật bằng 2(x + y)

Cách 1: Ta có SABCD = x.y hay x.y = 108

Từ x – y = 3 Suy ra (x – y)2 = 9 hay (x + y)2 – 4xy = 9 (1)

Thay xy = 108 vào (1) ta được (x + y)2 = 441 ⇒ x + y = 21

Kết hợp với giả thiết x – y = 3 ta được kết quả x = 12 và y = 9 Vậy chu vi của hình chữ nhật là 2(12 + 9) = 42 cm

Cách 2: Từ x – y = 3 ⇒ y = x – 3 thay vào đẳng thức x y = 108 ta được phương trình:

x (x – 3) = 108 ⇔x2 – 3x – 108 = 0 (1) ⇔x2 – 12x + 9x – 108 = 0

⇔( x – 12)(x + 9) = 0

Nghiệm dương của phương trình x = 9 Từ đó tìm y và trả lời kết quả

Lưu ý: Giải phương trình (1) trên máy tính để đưa ra kết quả nhanh hơn

Bài tập tương tự: Cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích 504 dm2

Biết AB – AC = 47dm

Tính độ dài AB và AC

Hướng dẫn: AB = x ; AC = y ta có: x – y = 47 và x.y = 1008 Từ đó ta được phương trình:

x2 – 47x – 1008 = 0 Nghiệm dương trên máy tính x = 63 Trả lời: AB = 63 cm ; AC = 16cm

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 3 5cm Hình vuông ADEF cạnh bằng 2 cm có

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB < AC; Gọi I là giao điểm các đường phân giác ,

M là trung điểm BC Cho biết BIM· =900

DIC= , từ đó chứng minh được BC = 2CD

và AB = 2AD Xử dụng tính chất đường phân giác BDkết hợp với định lý pitago ta tìm được mối quan hệ giữa

2 = (do BI và CI là phân giác của các góc B và C và ∆ABC

vuông ở A); kết hợp với giả thiết ·BIM =900ta được µ 0

1 45

I = Vậy ∆CIM = ∆CID (g.c.g)

Do đó : CM = CD mà BC = 2CM nên BC = 2CD hay a = 2CD (1)

/ /

//

//

6 9

Vậy AB = 2AD hay c = 2AD (2)

Từ (1) và (2) ta được a + c = 2CD + 2AD = 2(CD + AD) = 2AC = 2b (3)

Mà a2 – c2 = b2 hay (a – c)(a + c) = b2 kết hợp với a + c = 2b ta được a – c =

2

b

(4) Cộng (3) và (4) vế theo vế ta được 2a = 5

Lưu ý: Bài toán này được trích từ Quyển “Nâng cao và phát triển Toán 9- Vũ Hữu Bình” có sửa

đổi để phù hợp với đề thi trắc nghiệm

Bài 11: Tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC vuông tại A có hai đường trung tuyến AM và

Thu gọn phương trình trên ta được phương trình : 3x2 = 180

Nghiệm dương của phương trình : x = 2 5

Trả lời: AB = 2 5 cm

Bài 12: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 13cm ; BC = 10cm Tính cos A

Hướng dẫn: Kẻ các đường cao AH và BK Từ tính chất của tam giác cân

169

CHUYÊN ĐỀ TỰ CHỌN NÂNG CAO HÌNH 9

CHỦ ĐỀ : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

• Hệ thức lượng trong tam giác vuông

A- Nhắc lại lí thuyết :

Cho tam giác ABC có Â = 900, gọi AB = c , AC = b , BC = a Ta có một số công thức như sau:

bc = ah

h2 = b'c'1

BT1 : ( SBT Toán 9 Tập 1 )Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông

là 1 cm và tổng của hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền 4cm Hãy tính các cạnh góc của tam giác này?

BT 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH Chu vi của tam giác ABH là 30 cm

và chu vi tam giác ACH là 40 cm Tính chu vi tam giác ABC

HD: Gọi chu vi ∆AHB CHA CAB,∆ ,∆ lần lượt là p 1 ,p 2 , p 3

Từ đó tính được chu vi ABC∆ bằng 50 cm

BT 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có dường phân giác trong AF Biết BD = 3cm, DC = 4

cm Tính các cạnh của tam giác ABC ?

HD: Theo tính chất của đường phân giác trong thì

BT 4: Cho tam giác ABC vuông tại A Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E Chứng minh:

CD 2 + BE 2 = CB 2 + DE 2

HD: Áp dụng Pytago cho các tam giác ADC, ABE

F E

H B

C A

CD2=AD2+AC2 & BE2= AB2+AE2

CD2+BE2=AD2+ AC2+AB2+AE2

ma AC2+AB2=BC2& AD2+AE2=DE2

C

E

D

BT 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với

AB, AC Chứng minh rằng:

3 2

AC CF BC

= ( 4) tỪ (3) VÀ (4) Ta có

BE CF =

3 3 4

+ S = pr (4) Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, r là bán kính đường tròn

nội tiếp tam giác

+ Nếu a 2 < b 2 + c 2 thì góc A nhọn ( HS tự chứng minh điều này như một bài tập )

+ a 2 = b 2 + c 2 – 2bc.cosA ; b 2 = a 2 + c 2 – 2ac.cosB ; c 2 = b 2 + a 2 – 2ba.cosC

+Chứng minh : Hệ thức (1) Vẽ thêm đường cao AH thì trong AHB∆ có AH = c.sin B

2ac.sinB Đối với các góc khác thì tương tự

c

b c

Giải phương trình này ta có c1 = 15 , c2 = 13 Từ đó tính được b

BT 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong AD và phân giác ngoài AE Chứng

minh:

BT 3: Cho tam giác nhọn ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c ( như cách gọi thông thường ) Tính

diện tích tam giác theo a,b,c ?

HD: Vẽ đường cao AH vuông góc BC, gọi BH = x thì HC = a – x Áp dụng Pytago cho tam giác AHB và AHC ta có :

b c

(HS có thể về nhà rút gọn đẹp hơn )

a

b c

A

Đây chính là công thức Heron

BT 4: Cho tam giác ABC có µC B− =µ 900 , AH là đường cao kẻ từ A Chứng minh AH2 = HB

BT 5: Cho tam giác ABC biết a = 3 + 3 , µB=450 ; µC =600

a) Tính độ dài đườnh cao AH?

b) Tính  ? độ dài cạnh b, c và diện tích tam giác ABC?

c) Từ các kết quả trên, tính cos 750 ?

HD:

60 45

C H

• Vận dụng hệ thức lượng vào tứ giác

Áp dụng cho hình thang Ta có thể vẽ thêm đường thẳng song song hoặc đường thẳng vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông hoặc chứng minh nó vuông

BT1 : ( Trích Đề thi của PGD Đức Phổ năm 2007 )Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy là

3cm và 14 cm Độ dài các đường chéo là 8cm và 15 cm Tính diện tích hình thang ABCD ?

A

C B

Lúc này ABEC là hình bình hành nên BE = AC = 15 cm; AB = CE = 3 cm , do đó DE=17

cm Áp dụng Pytago đảo thấy BDE∆ vuông tại B ( HS tự thử lại Lại ve thêm đường cao

BH, áp dụng hệ thức lượng cho BDE∆ thì BH == BD BE : DE = 8.15 : 17 = 120

BT 2 : Cho hình thang ABCD có AB // CD , đường cao bằng 4 cm, đường chéo BD = 5 cm, hai

đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.Tính diện tích hình thang ABCD ?

HD: Như bài trên , vẽ thêm BE // AC thì tam giác BDE vuông tại B

BT 3: Cho hình bình hành ABCD , AB = 25 cm, BC = 35 cm, góc BAD = 1250 Các đường phâb giác của góc A và B cắt nhau tại P, các đường phân giác của góc C và D cắt nhau tại Q

a) Chứng minh APB∆ và CQD∆ là những tam giác vuông?

A B+ = 900 , do đó APB∆ vuông tại P Tương tự CQD∆ vuông tại Q.

b) Trong APB∆ có AP = AB cos ·PAB = 25 cos 62030’= … (HS tự tính được )

và BP = AB sin ·PAB = 25 sin 62030’ =… ( HS tự tính được )

Vẽ thêm PH ⊥ AD ; PK ⊥ AB; PM ⊥ BC QL ⊥ BC , từ đó chứng minh được LC = AH =

AK , BM = BK

Ta có PQ = BC – ( MB + LC ) = BC – ( BK + KA ) = BC – AB = 35 – 25 = 10 cm

Đáp số : PA ≈ 11,54 cm; PB ≈22,17 cm ; PQ =10 cm

BT 4 : Một hình thang cân có đường chéo vuông góc với cạnh bên Tính chu vi và diện tích

hình thang biết đáy nhỏ dài 14 cm và đáy lớn dài 50 cm

A

Do tính chất hình thang cân , vẽ thêm AH vuông góc với CD; BK vuông góc với CD, ta có HD

= ( 50 – 14 ) : 2 = 18 cm

Ta tính tiếp được HC = 32 cm, AH = 24 cm, AD = 30 cm

ĐS: Chu vi hình thang bằng 124 cm, diện tích hình thang bằng 768cm 2

BT 5: Cho hình thang ABCD có AB // CD Gọi AB = a , CD = b, AD =d , BC = c Chứng

minh AC2 + BD2 = c2 + d2 + 2ab

HD : Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD Áp dụng tính chất trung tuyến của tam

Ngày soạn :……… /………./ 2009

Ngày giảng:…… /……… / 2009 CHỦ ĐỀ 2 :

Sự xác định đường tròn Đường kính và dây của đường tròn

*Vận dụng kt vào chứng minh bài tập về đường kính và dây của ( 0 )

*Rèn luyện kĩ năng vẽ hìng và chứng minh hình học

II/ Nội dung

*Tâm đối xứng : Là tâm đường tròn đó

* Trục đối xứng : Là đường kính

2) vị trí tương đối của hai đương tròn

1) Hai đường tròn cắt nhau: R-r < OO’ < R + r2) Hai đường tròn tiếp xúc nhau

a Tiếp xúc ngoài : OO’ = R + r

b Tiếp xúc trong : OO’ = R – r > 03) Hai đường tròn không giao nhau:

a Hai đường trong ở ngoài nhau: OO’ > R + r

b Hai đường tròn đựng nhau: OO’ < R – r

H 0 A

Vì O nằm trên trung trực của BC

Nên O nằm trên trung trực của AD

Vậy : AD là đường kính (O)

b) ∆ ACD có CO là trung tuyến ứng với cạnh AD ⇒ OC =

24 = 12

202 = 25

Ví dụ3 : Cho (O) có bán kính OA = 3cm ; Dây BC của đường tròn ⊥ OA tại trung điểm của

0 BA

Vẽ đường kính NOC Chứng minh rằng : MC//AO

Tính độ dài các cạnh ∆AMN biết OM = 3cm ; OA = 5 cm

Chứng minh:

a) Chứng minh: OA⊥ MN

∆AMN cân tại A ( vì MA = NA ; t/c t2 )

OA là p/giác Aˆ (t/c tiếp tuyến)

⇒ OA là đường cao nên OA⊥MN

A E

F C

Ví dụ 7: Cho nửa (O) Đường kính AB , qua C∈ nửa đường tròn Kẻ tiếp tuyến d của nửa

đường tròn Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d , gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB Chứng minh rằng

⇒ ˆA1= ˆA2 Nên AC là phân giác BAˆC

c) ∆CAE (Eˆ= 1v) và ∆CAH (Hˆ= 1v) có

Ví dụ 8: Cho (O) ; bán kính OA , dây CD là trung trực của OA

a) Tứ giác OCAD là hình gì ? tại sao ?

b) Kẻ tiếp tuyến với (O) tại C tiếp tuyến này cắt OA tại I Tính độ dài CI , biết OA = R

M N

Ví dụ 9: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB Vẽ các đường tròn (I ; IA) và (B ; BA)

a) (I) và (B) có các vị trí tương đối như thế nào ? vì sao ?

b) Kẻ một đường thẳng đi qua A , căt các (I) và (B) theo thứ tự tại M và N So sánh các độ dài

nên MI là đường trung tuyến của AB

⇒ ∆ AMB vuông tại M ⇒ AMB = 900

Mà ∆ ABN cân tại B ( BA = BN = R )

Có BM là đường cao , nên là đường trung tuyến ⇒ AM = MN

Ví dụ 10: (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Gọi CD là tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường

Nên ∆ OMO’ vuông tại M

Nên MA là đường cao

Theo hệ thức lượng :

MA2 = OA.O’A = 4,5 2 = 9

⇒ MA = 9 = 3

Vậy CD = 2.M = 2.3 = 6 (cm)

B i 1 à : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD Gọi H là

D C

B O

c) Gọi M là trung điểm BC Chứng minh 2OM = AH.

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AH cắt

đường tròn ở điểm D

a) AD có phải là đường kính của đường tròn (O) không ? Tại sao?

b) Chứng minh: BC2 = 4AH DH c) Cho BC = 24cm, AB = 20cm Tính bán kính của đường tròn (O).

Bài tập 3 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Gọi H là trung điểm OA Dây

CD vuông góc với OA tại H.

1 Tứ giác ACOD là hình gì? Tại sao?

2 Chứng minh các tam giác OAC và CBD là các tam giác đều.

3 Gọi M là trung điểm BC Chứng minh ba điểm D,O, M thẳng hàng.

4 Chứng minh đẳng thức CD2 = 4 AH HB

1 MH = MK.

2 MB= MD

3 Chứng minh tứ giác ABDC là hình thang cân.

Bài 5 Cho đường tròn đường kính 10 cm, một đường thẳng d cách tâm O một

khoảng bằng 3 cm

1 Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (O).

2 Đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại điểm A và B Tính độ dài dây AB.

3 Kẻ đường kính AC của đường tròn (O) Tính độ dài BC và số đo ·CAB (làm tròn đến độ).

4 Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt tia AB tại M Tính độ dài BM.

Bài 6 Cho tam giác ABC nhọn, đường tròn đường kính BC cắt AB ở N và cắt AC ở

M Gọi H là giao điểm của BM và CN.

1 Tính số đo các góc BMC và BNC.

2 Chứng minh AH vuông góc BC.

3 Chứng minh tiếp tuyến tại N đi qua trung điểm AH.

Bài 7 Cho đường tròn tâm (O;R) đường kính AB và điểm M trên đường tròn sao cho

060

ˆB=

A

M Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H.

1 Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến của đường tròn (B; BM):

2 Chứng minh MN2 = 4 AH HB

3 Chứng minh tam giác BMN là tam giác đều và điểm O là trọng tâm của nó.

4 Tia MO cắt đường tròn (O) tại E, tia MB cắt (B) tại F.

Chứng minh ba điểm N; E; F thẳng hàng

Bài 8 Cho đường tròn (O) và điểm A cách O một khoảng bằng 2R, kẻ tiếp tuyến AB tới

đường tròn (B là tiếp điểm).

1 Tính số đo các góc của tam giác OAB.

2 Gọi C là điểm đối xứng với B qua OA Chứng minh điểm C nằm trên

đường tròn O và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

3 AO cắt đường tròn (O) tại G Chứng minh G là trọng tâm tam giác ABC.