Luyện thi vào 10 Chuyên đề Hệ thức lượng

c b a B A C c b a h B A C H H B A C CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG I. Kiến thức cơ bản: 1) Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông - Định lí 1: b 2 = a. c’ ; c 2 = a .c’ - Định lí 2: h 2 = b’ .c’ - Định lí 3: b.c = a.h ` - Định lí 4: 2 1 h = 2 1 b + 2 1 c 2) Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông b = a.SinB = a.CosC c = a.SinC = a.CosB b= c.TgB= c.CotgC c = b.TgC = b.CotgB - Nếu biết 1 góc nhọn α thì góc còn lại là 90 0 - α - Nếu biết 2 cạnh thì tìm 1 tỉ số LG của góc ⇒ Tìm góc đó bằng cách tra bảng - Dùng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuôn - Từ hệ thức : b = a.SinB = a . CosC ⇒ a = SinB b = CosC b c = a. SinC = a . CosB ⇒ a = SinC C = CosB C 30 Ví dụ minh hoạ Ví dụ1: Cho ∆ vuông với các cạnh góc vuông có độ dài 3 và 4. Khi đó độ dài các cạnh huyền là A. 4 B. 5 C. 6 D. một gía trị khác Ví dụ2: Với đề bài như bài tập 1 và kẻ đường cao ứng với cạnh huyền . Khi đó độ dài đường cao là A. 1,3 B. 2 C. 2,4 D. 1 giá trị khác Ví dụ3: Cho ∆ có các độ dài các cạnh như sau. ∆ nào là ∆ vuông ? A. ( 2,3,4) B. ( 6,9,10) C. ( 7,24,25) D. ( 3,5,6 ) Ví dụ4: Cho ∆ ABC ( A ˆ = 1v), AH ⊥ BC ; AB = 6, AC = 8 Tính AH = ? HB = ? HC = ? Theo pi ta go : ∆ ABC ( A ˆ = 1v) BC = 22 ACAB + = 22 86 + = 100 = 10 - Từ đ/lí 3: AH. BC = AB . AC 1 25 16 B A C H 3 4 B A C H ⇒ AH = BC ACAB. = 10 8.6 = 4,8 Từ đ/lí 1: AB 2 = BC. HB ⇒ HB = BC AB 2 = 10 6 2 = 3,6 AC 2 = BC . HC ⇒ HC = BC AC 2 = 10 8 2 = 6,4 Ví dụ5: ∆ ABC( A ˆ = 1v) ; AH ⊥ BC GT AH = 16 ; HC = 25 KL AB = ? ; AC = ? ; BC = ? ; HB = ? Hướng Dẫn - Pi ta go ∆ AHC ( H ˆ = 1v) AC = 22 HCAH + = 22 2516 + = 881 = 29,68 Từ đ/lí 1: AC 2 = BC.HC BC = HC AC 2 = 25 )68,29( 2 ≈ 35,24 Pi ta go ∆ ABC ( A ˆ = 1v) AB = 22 ACBC − = 22 68,2924,35 − ≈ 18,99 Từ đ/lí 2: AH 2 = HB.HC ⇒ HB = HC AH 2 = 25 16 2 = 10,24 Ví dụ6: Cho ∆ ABC ( A ˆ = 1v) ; AB = 3 ; AC = 4 a) Tính tỉ số lượng giác của C ˆ b) Từ KQ ( a) ⇒ các tỉ số lượng giác của góc B Hướng Dẫn a. Theo Pi ta go ∆ ABC ( A ˆ = 1v) BC = 22 ACAB + = 22 43 + = 25 = 5 SinC = BC AB = 5 3 ; CosC = BC AC = 5 4 ; tgC = AC AB = ; 4 3 CotgC = AB AC = 3 4 Do B ˆ và C ˆ là hai góc phụ nhau SinB = cosC = 5 4 ; cosB = sinC = 4 3 gB = cotgC = 3 4 ; cotgB = tgC = 4 3 Ví dụ7: Cho ∆ ABC ( A ˆ = 1v) ; AB = 6 ; B ˆ = α tg α = 12 5 . Tính a) AC = ? 2 6 α C A B C D A B H K b) BC = ? a. tg α = AB AC = 12 5 ⇒ AC = AC AB.5 = 12 5.6 = 2,5 (cm) b) Pi ta go ∆ ABC ( A ˆ = 1v) BC = 22 ACAB + = 22 )5,2(6 + = 25,42 = 6,5 (cm) Bài tập về nhà : Đơn giản biểu thức 1). 1 – Sin 2 α = ? 2). (1 - cos α ).(1+ cos α ) = ? 3). 1+ sin 2 α + cos 2 α = ? 4). sin α - sin α .cos 2 α = ? 5). sin 4 α + cos 4 α + 2sin 2 α .cos 2 α = ? 6).Không dùng bảng số và máy tinh. Hãy so sánh các tỉ số LG theo thứ tự từ lớn đến nhỏ: Cotg25 0 ; tg32 0 ; cotg18 0 ; tg44 0 ; cotg62 0 Gợi ý a) sin 2 α + cos 2 α = 1 thay vào và thu gọn Đs : cos 2 α b) Dùng A 2 -B 2 và gợi ý phần a) Đs : = sin 2 α c) Đs : = 2 d) đặt thừa số chung Đs : sin 3 α e) HĐT : ( A+B ) 2 Đs: = 1 Ví dụ8: Tính S hình thang cân . Biết hai cạnh đáy là 12cm và 18cm . góc ở đáy bằng 75 0 Hướng Dẫn Kẻ AH ; BK ⊥ CD Ta có : AB = KH = 12 (cm) ⇒ DH + KC = DC – HK = 18 – 12 = 6 DH = 2 6 = 3 (cm) AH = DH.tgD = 3 . 3,732 = 11,196 S ABCD = 2 ).( AHDCAB + = 2 196,11).1812( + = 167,94 (cm) Ví dụ9: Cho ∆ ABC có góc A = 20 0 ; B ˆ = 30 0 ; AB = 60cm . Đường cao kẻ từ C đến AB cắt AB tại P ( hình vẽ) . Hãy tìm a) AP ? ; BP ? b) CP ? Hướng Dẫn 3 60 C B A P H a) Kẻ AH ⊥ BC ; ∆ AHB ⊥ tại H ⇒ AH = AB . SinB = 60.Sin30 0 = 60. 2 1 = 30 ∆ AHC ( H ˆ = 1v) AH = AC. Cos40 0 ⇒ AC = 0 40Cos AH = 7660,0 30 = 39,164 ∆ APC có ( P ˆ = 1v) AP = AC.Cos 20 0 = 39,164 . 0,9397 = 36,802 PB = AB – AP = 60 – 36,802 = 23, 198 b) ∆ APC ( P ˆ = 1v) CP = AC. Sin20 0 = 39,164 . 0,342 = 13, 394 4 60 C B A P x ? 9 20 H C B A x 2x 8cm 60 ° H C B A 10 cm 1cm D C B A x 4 10 4 D C B A HỆ THỨC LƯỢNG CÁC BÀI TOÁN HAY GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ (Đề sưu tầm từ các vòng thi Olypic đầu tiên- lớp 9) Bài 1:Cho tam giác ABC vuông ở A, đương cao AH. Biết AB = 20cm, HC = 9cm. Tính độ dài AH. Lời giải sơ lược: Đặt BH = x. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông ở A, có đường cao AH ta được: AB 2 = BH. BC hay 20 2 = x(x + 9). Thu gọn ta được phương trình : x 2 + 9x – 400 = 0 Giải phương trình này ta được x 1 = 16; x 2 = –25 (loại) Dùng định lý Pitago tính được AH = 12cm Lưu ý : Giải PT bậc 2 nên dùng máy tính để giải cho nhanh. Thuộc một số bộ ba số Pitago càng tốt để mau chóng ghi kết qu Bài 2: Cho tam giác ABC , µ 0 60B = , BC = 8cm; AB + AC = 12cm . Tính độ dài cạnh AB. Lời giải sơ lược: Kẻ AH ⊥ BC. Đặt AB = 2x. Từ đó tính được BH = x và AH = x 3 ; HC = 8 – x Áp dụng định lí Pitago ta cho tam giác AHC vuông tại H Ta có: AC = ( ) ( ) 2 2 3 8x x+ − = 2 4 16 64x x− + Do AB + AC = 12 nên 2x + 2 4 16 64x x− + = 12 Giải PT trên ta được : x = 2,5 AB = 2.2,5 = 5cm Chú ý: Ta cũng tính được chu vi tam giác ABC = 20cm . Diện tích tam giác ABC = 10 3 cm. Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác. Biết rằng AD = 1cm; BD = 10 cm. Tính độ dài cạnh BC (nhập kết quả dưới dạng số thập phân) Bài giải sơ lược Áp dụng định lí Pitago tính được AB = 3cm. Đặt BC = x , dùng Pitago tính được AC = 2 9x − . Do AD = 1 nên DC = 2 9x − – 1 x Tam giác ABC có BD là phân giác góc ABC nên : AB AD BC DC = hay 2 3 1 9 1 x x = − − . Từ đó ta được phương trình 8x 2 – 6x – 90 = 0 Xử dụng máy tính tìm được x = 3,75cm Trả lời : BC = 3,75cm Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A; BD là phân giác . Biết AD = 4cm; BD = 4 10 cm . Tính diện tích tam giác ABC. (Nhập kết quả dưới dạng phân số) - Hướng dẫn: Giải giống như bài 3. Chú ý nhập kết quả theo yêu cầu. Bài 5: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường 5 10cm X X H K D C B A 2x 12 15,6 // // K H C B A cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên . Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó. Bài giải sơ lược: Kẻ AH ⊥ CD ; BK ⊥ CD. Đặt AH = AB = x ⇒ HK = x ∆ AHD = ∆ BKC (cạnh huyền- góc nhọn) Suy ra : DH = CK = 10 2 x− . Vậy HC = HK + CK = x + 10 2 x− = 10 2 x + Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vuông ở A có đường cao AH Ta có : AH 2 = DH . CH hay 2 10 10 . 2 2 x x x − + = ⇔ 5x 2 = 100 Giải phương trình trên ta được x = 2 5 và x = – 2 5 (loại) Vậy : AH = 2 5 Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm. Tính độ dài cạnh đáy BC. Bài giải sơ lược: Đặt BC = 2x, từ tính chất của tam giác cân ta suy ra CH = x Áp dụng định lí Pitago tính được AC = 2 2 15,6 x+ Từ hai tam giác vuông KBC và HAC đồng dạng ta được: BC KB AC AH = hay 2 2 2 12 15,6 15,6 x x = + Đưa về phương trình 15,6 2 + x 2 = 6,76x 2 Giải phương trình trên ta được nghiệm dương x = 6,5 Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm) Bài 7: Tính giá trị của biểu thức : A = cos 2 1 0 + cos 2 2 0 + cos 2 3 0 + . . . . + cos 2 87 0 + cos 2 88 0 + cos 2 89 0 – 1 2 Hướng dẫn: α + β = 90 0 ⇒ sin α = cos β ; cos α = sin β ; và cos45 0 = 2 2 ta được: A = cos 2 1 0 + cos 2 2 0 + cos 2 3 0 + . . . . + cos 2 87 0 + cos 2 88 0 + cos 2 89 0 – 1 2 = (cos 2 1 0 + cos 2 89 0 ) + (cos 2 2 0 + cos 2 88 0 ) + +(cos 2 44 0 + cos 2 46 0 )+cos 2 45 0 – 1 2 = (cos 2 1 0 + sin 2 1 0 ) + (cos 2 2 0 + sin 2 2 0 ) + + (cos 2 44 0 + sin 2 44 0 ) + 2 2 2    ÷  ÷   – 1 2 = 1.44 = 44 Bài tập tương tự: Tính giá trị các biểu thức sau: a) B = sin 2 1 0 + sin 2 2 0 + sin 2 3 0 + . . . . + sin 2 87 0 + sin 2 88 0 + sin 2 89 0 – 1 2 . b) C = tg 2 1 0 . tg 2 2 0 . tg 2 3 0 . . . . tg 2 87 0 . tg 2 88 0 . tg 2 89 0 . c) D = (tg 2 1 0 : cotg 2 89 0 ) + (tg 2 2 0 : cotg 2 88 0 ) + . . . . + (tg 2 44 0 : cotg 2 46 0 ) + tg 2 45 0 . Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 108cm 2 . Biết AB – BC = 3cm. Tính chu vi của hình chữ nhật ABCD ? 6 y x 108 cm 2 108cm 2 D C B A = = // // F E D C B A b c a // // 2 1 1 M D I C B A Hướng dẫn: Đặt AB = x (cm) và BC = y(cm) với x >y. Tính x và y rồi suy ra chu vi của hình chữ nhật bằng 2(x + y) Cách 1: Ta có S ABCD = x.y hay x.y = 108 Từ x – y = 3 . Suy ra (x – y) 2 = 9 hay (x + y) 2 – 4xy = 9 (1) Thay xy = 108 vào (1) ta được (x + y) 2 = 441 ⇒ x + y = 21 Kết hợp với giả thiết x – y = 3 ta được kết quả x = 12 và y = 9 Vậy chu vi của hình chữ nhật là 2(12 + 9) = 42 cm Cách 2: Từ x – y = 3 ⇒ y = x – 3 thay vào đẳng thức x. y = 108 ta được phương trình: x (x – 3) = 108 ⇔ x 2 – 3x – 108 = 0 (1) ⇔ x 2 – 12x + 9x – 108 = 0 ⇔ ( x – 12)(x + 9) = 0 Nghiệm dương của phương trình x = 9. Từ đó tìm y và trả lời kết quả. Lưu ý: Giải phương trình (1) trên máy tính để đưa ra kết quả nhanh hơn. Bài tập tương tự: Cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích 504 dm 2 . Biết AB – AC = 47dm. Tính độ dài AB và AC. Hướng dẫn: AB = x ; AC = y ta có: x – y = 47 và x.y = 1008 . Từ đó ta được phương trình: x 2 – 47x – 1008 = 0. Nghiệm dương trên máy tính x = 63 Trả lời: AB = 63 cm ; AC = 16cm Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 3 5 cm. Hình vuông ADEF cạnh bằng 2 cm có D ∈ AB , E ∈ BC , F ∈ AC. Biết AB > AC và 4 9 ADEF ABC S S= . Tính AB ; AC. Hướng dẫn: Đặt AB = x , AC = y( x > y > 0). Ta có x 2 + y 2 = ( ) 2 3 5 = 45. (1) Hình vuông ADEF có cạnh bằng 2 nên 4 ADEF S = Mà 4 9 ADEF ABC S S= nên S ABC = 9.Do đó: x.y = 18 hay 2xy =36(2) Từ (1) và (2) suy ra: (x + y) 2 = 81 và (x – y) 2 = 9 Do x > y > 0 nên x + y = 9 và x – y = 3 Vậy x = 6 và y = 3. Trả lời: AB = 6 (cm) và AC = 3 (cm) Bài 10: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB < AC; Gọi I là giao điểm các đường phân giác , M là trung điểm BC. Cho biết · 0 90BIM = . Tính BC : AC : AB ? Hướng dẫn: Chú ý · 0 90BIM = ; I là giao điểm các đường phân giác ta tính được · 0 45DIC = , từ đó chứng minh được BC = 2CD và AB = 2AD. Xử dụng tính chất đường phân giác BD kết hợp với định lý pitago ta tìm được mối quan hệ giữa ba cạnh tam giác. Lời giải: Đặt BC = a ; AC = b ; AB =c ; D = BI I AC . µ µ µ 2 1 1 I B C= + (góc ngoài tam giác BIC) = · · ( ) 1 2 ABC ACB+ = 0 0 1 .90 45 2 = (do BI và CI là phân giác của các góc B và C và ∆ ABC vuông ở A); kết hợp với giả thiết · 0 90BIM = ta được µ 0 1 45I = . Vậy ∆ CIM = ∆ CID (g.c.g) Do đó : CM = CD mà BC = 2CM nên BC = 2CD hay a = 2CD. (1) 7 A / / // // 6 9 N M C B // // 10 13 K H C B A BD là phân giác của tam giác ABC nên AB AD BC DC = hay AB BC AD CD = = 2. Vậy AB = 2AD hay c = 2AD. (2) Từ (1) và (2) ta được a + c = 2CD + 2AD = 2(CD + AD) = 2AC = 2b (3) Mà a 2 – c 2 = b 2 hay (a – c)(a + c) = b 2 kết hợp với a + c = 2b ta được a – c = 2 b (4) Cộng (3) và (4) vế theo vế ta được 2a = 5 2 b . Vậy a = 5 4 b . Do đó c = 3 4 b . Vậy a : b : c = 5 3 : : 4 4 b b b = 5 3 :1: 4 4 = ( 5 .4 4 ): (1.4) : ( 3 4 .4) = 5 : 4 : 3 Trả lời: BC : AC : AB = 5 : 4 : 3 Lưu ý: Bài toán này được trích từ Quyển “Nâng cao và phát triển Toán 9- Vũ Hữu Bình” có sửa đổi để phù hợp với đề thi trắc nghiệm. Bài 11: Tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC vuông tại A có hai đường trung tuyến AM và BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm. Hướng dẫn: Đặt AB = x ; AN = y ⇒ AC = 2y. Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền ta được BC = 2AM = 2.6 = 12 cm Dùng định lí Pitago cho hai tam giác vuông ABC và ABN vuông tại A Ta được: x 2 + 4y 2 = 144 (1) và x 2 + y 2 = 81 ⇔ y 2 = 81 – x 2 (2) Thay (2) vào (1) ta được phương trình : x 2 + 4( 81 – x 2 ) = 144 Thu gọn phương trình trên ta được phương trình : 3x 2 = 180 Nghiệm dương của phương trình : x = 2 5 Trả lời: AB = 2 5 cm Bài 12: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 13cm ; BC = 10cm . Tính cos A . Hướng dẫn: Kẻ các đường cao AH và BK . Từ tính chất của tam giác cân và định lí Pi ta go ta tính được CH = 5cm ; AH = 12 cm Xử dụng cặp tam giác đồng dạng KCB và HCA ta tính được CK = 50 13 ⇒ AK = 119 13 Vậy cos A = AK AB = 119 13 : 13 = 119 169 Trả lời: cos A = 119 169 CHUYÊN ĐỀ TỰ CHỌN NÂNG CAO HÌNH 9 CHỦ ĐỀ : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG • Hệ thức lượng trong tam giác vuông A- Nhắc lại lí thuyết : Cho tam giác ABC có Â = 90 0 , gọi AB = c , AC = b , BC = a . Ta có một số công thức như sau: 8 c b c' h b' b 2 = ab' c 2 = ac' bc = ah h 2 = b'c' 1 h 2 = 1 b 2 + 1 c 2 H B C A B- Một số bài tập áp dụng: BT1 : ( SBT Toán 9 Tập 1 )Cạnh huyền của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông là 1 cm và tổng của hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyền 4cm. Hãy tính các cạnh góc của tam giác này? HD: b a c c-1=a;a+b-c=4; a 2 +b 2 =c 2 Suy ra b =5 ; Thay a = c-1 & b =5 → (c-1) 2 +5 2 =c 2 A B C Từ đó có c = 13cm và a = 12 cm BT 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Chu vi của tam giác ABH là 30 cm và chu vi tam giác ACH là 40 cm. Tính chu vi tam giác ABC HD: Gọi chu vi , ,AHB CHA CAB∆ ∆ ∆ lần lượt là p 1 ,p 2 , p 3 AHB ∼ CHA → p 1 p 2 = AB AC = 3 4 = = BC 5 Suy ra AB 3 = AC 4 = BC 5 & AHB ∼ CHA ∼ CAB H B C A Từ đó tính được chu vi ABC∆ bằng 50 cm. BT 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có dường phân giác trong AF. Biết BD = 3cm, DC = 4 cm. Tính các cạnh của tam giác ABC ? HD: Theo tính chất của đường phân giác trong thì 2 2 2 3 49 4 3 4 9 16 25 25 AB DB AB AC AB AC BC suyra AC DC = = = = = = = . Từ đó tính được AB, BC, AC . Đáp số AB = 4,2cm; AC = 5,6 cm; BC = 7 cm BT 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E . Chứng minh: CD 2 + BE 2 = CB 2 + DE 2 . HD: Áp dụng Pytago cho các tam giác ADC, ABE 9 F E H B C A CD 2 =AD 2 +AC 2 & BE 2 = AB 2 +AE 2 CD 2 +B E 2 =AD 2 + A C 2 +AB 2 +AE 2 ma A C 2 +A B 2 =B C 2 & A D 2 +AE 2 =DE 2 C A B E D BT 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng: a) 3 FB AB FC AC   =  ÷   b) BC . BE . CF = AH 3 HD: Hình vẽ bên a) Trong AHB∆ có HB2 = BE . BA (1) ; AHC∆ có HC2 = CF . CA (2 ) Từ (1) và (2) có : 2 2 . HB BE AB HC FC AC = . Trong ABC∆ có :AB2 = BH . BC và AC2 = HC . BC suy ra 2 4 2 2 HB AB HB AB HC AC HC AC     = ⇔ =  ÷  ÷     Vậy 3 EB AB FC AC   =  ÷   . b) BE BH ABC EBH BA BC ∆ ∆ → =: . Thay 2 3 2 AB AB BH BE BC BC = → = (3) Tương tự ta cũng có 3 2 AC CF BC = ( 4) . tỪ (3) VÀ (4) Ta có BE .CF = 3 3 4 .AB AC BC . Mà AB. AC = BC . AH nên BC . BE . CF = AH 3 • VẬN DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC KHÔNG VUÔNG. A- Lí thuyết Mọi tam giác nhọn đều có thể vẽ đường cao để tạo ra 2 tam giác vuông . Mọi tam giác tù cũng có thể kẻ đường cao để tạo ra 1 tam giác vuông hoặc 2 tam giác vuông . Một số công thức cho tam giác không vuông ( Các kí hiệu như trong tam giác vuông ) +S = 1 2 bc . sin A = 1 2 ca. sinB = 1 2 ab .sin C (1) +S = ( )( )( )p p a p b p c− − − (2) Công thức Heron ; p là nửa chu vi tam giác +S = 4 abc R (3) 10 [...]... BD2 Thay vào (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A +b +c +d = (b – a) + BD +AC Tđ BD2 + AC2 = c2 +d2 + 2ab Chú ý : Hệ thức về trung tuyến trong tam giác như sau: A A b c ma ma B H B b 2 + c 2 = 2ma 2 + M C H C M a a2 2 HS công nhận hệ thức này ( sẽ được chứng minh ở lớp 10 – sau khi học vectơ và độ dài đại số hệ thức Chasles ) 16 Ngày soạn :……… /………./ 2009 Ngày giảng:…… /……… / 2009 CHỦ ĐỀ 2 : Sự xác định đường... HS tự tính được ) Vẽ thêm PH ⊥ AD ; PK ⊥ AB; PM ⊥ BC QL ⊥ BC , từ đó chứng minh được LC = AH = AK , BM = BK Ta có PQ = BC – ( MB + LC ) = BC – ( BK + KA ) = BC – AB = 35 – 25 = 10 cm Đáp số : PA ≈ 11,54 cm; PB ≈ 22,17 cm ; PQ =10 cm a)Để ý rằng BT 4 : Một hình thang cân có đường chéo vuông góc với cạnh bên Tính chu vi và diện tích hình thang biết đáy nhỏ dài 14 cm và đáy lớn dài 50 cm HD: 14cm A D H... ⇔ 3+ 3 ) = ( 2 3) + ( 3 2 ) 2 2 Từ đó có cos750 = 2 ) − 2.3 2.2 3.cos750 18 − 6 3 3 − 3 = 12 6 2 6 Vận dụng hệ thức lượng vào tứ giác • Áp dụng cho hình thang Ta có thể vẽ thêm đường thẳng song song hoặc đường thẳng vuông góc nhằm tạo ra tam giác vuông hoặc chứng minh nó vuông BT1 : ( Trích Đề thi của PGD Đức Phổ năm 2007 )Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy là 3cm và 14 cm Độ dài các đường chéo là... đường tròn nội tiếp tam giác + Nếu a2 < b2 + c2 thì góc A nhọn ( HS tự chứng minh điều này như một bài tập ) + a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA ; b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB ; c2 = b2 + a2 – 2ba.cosC +Chứng minh : Hệ thức (1) Vẽ thêm đường cao AH thì trong ∆AHB có AH = c.sin B Do đó diện tích ∆ABC là : 1 1 1 S = AH BC = c.sinB a = ac sinB 2 2 2 1 Hay S = ac.sinB Đối với các góc khác thì tương tự 2 A b c C B H... B 15cm 14cm 3cm C E Lúc này ABEC là hình bình hành nên BE = AC = 15 cm; AB = CE = 3 cm , do đó DE=17 cm Áp dụng Pytago đảo thấy ∆BDE vuông tại B ( HS tự thử lại Lại ve thêm đường cao 120 BH, áp dụng hệ thức lượng cho ∆BDE thì BH == BD BE : DE = 8.15 : 17 = Từ đó 17 có diện tích hình thang ABCD là 1 120 = 60cm 2 S = ( 3 + 14 ) 2 17 14 BT 2 : Cho hình thang ABCD có AB // CD , đường cao bằng 4 cm,... ) 16 Ngày soạn :……… /………./ 2009 Ngày giảng:…… /……… / 2009 CHỦ ĐỀ 2 : Sự xác định đường tròn Đường kính và dây của đường tròn I./ Mục tiêu: * Giúp học sinh tiếp tục củng cố các kiến thức cơ bản về các hệ thức trong tam giác vuông, các tỉ số lượng giác * Rèn luyện kĩ năng vẽ hình, tư duy tính toán thông qua cá bài tập cơ bản và phát triển nâng cao * Giáo dục tinh thần tự giác trong học tập, lao động,... là đường cao nên OA ⊥ MN b) H là giao điểm MN và OA Có ON = OC = R HM = NM ( OA là trung tuyến ) ⇒ HO là đường trung bình ∆ MNC ⇒ HO // MC Pi ta go ∆ vuông AON AN = OA 2 − ON 2 = 5 2 − 3 2 = 16 = 4 Từ hệ thức lượng : AN.ON = AO HN Hay : 4.3 = 5 HN C M A 0 N 12 = 2,4 5 Mà HM = HN ⇒ MN= 2.HN = 2 2,4 = 4,8 ⇒ HN = AM = AN = 4 cm 19 Ví dụ 7: Cho nửa (O) Đường kính AB , qua C ∈ nửa đường tròn Kẻ tiếp tuyến... A C B A 0 H ˆ ˆ c) ∆ CAE ( E = 1v) và ∆ CAH ( H = 1v) có AC ( cạnh huyền chung ) ˆ ˆ A1 = A2 ⇒ ∆ CAE = ∆ CAH ⇒ AE = AH Tương tự : BF = BH ∆ ABC có : OC = 1 AB là trung tuyến AB 2 ⇒ ∆ ACB ⊥ tại C Theo hệ thức lượng : CH2 = HA HB = AE BF ( đpcm) Ví dụ 8: Cho (O) ; bán kính OA , dây CD là trung trực của OA a) Tứ giác OCAD là hình gì ? tại sao ? b) Kẻ tiếp tuyến với (O) tại C tiếp tuyến này cắt OA tại... tại A B b) ∆ AMB có : OA = OB = r A I nên MI là đường trung tuyến của AB ⇒ ∆ AMB vuông tại M ⇒ AMB = 900 Mà ∆ ABN cân tại B ( BA = BN = R ) Có BM là đường cao , nên là đường trung tuyến ⇒ AM = MN Ví dụ 10: (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Gọi CD là tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường tròn ( C ∈ (O) ; D ∈ (O’) ) a) Tíng sđ góc CAD b) Tính độ dài CD Biết OA = 4,5 cm , OA = 2cm C M chứng minh: D a) Kẻ... trung tuyến ứng với cạnh CD ⇒ AM = ⇒ ∆ ACD vuông tại A ⇒ CAD = 900 0 A 0' 1 CD 2 b)Ta có MO , M0’ làtia phân giác hai góc kề bù AMC và AMD ⇒ OMO’ = 900 Nên ∆ OMO’ vuông tại M Nên MA là đường cao Theo hệ thức lượng : MA2 = OA.O’A = 4,5 2 = 9 ⇒ MA = 9 = 3 Vậy CD = 2.M = 2.3 = 6 (cm) 15 BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TRÒN ( TỰ LUYỆN) Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD Gọi H là 21 trực . ra : DH = CK = 10 2 x− . Vậy HC = HK + CK = x + 10 2 x− = 10 2 x + Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vuông ở A có đường cao AH Ta có : AH 2 = DH . CH hay 2 10 10 . 2 2 x x x −. 394 4 60 C B A P x ? 9 20 H C B A x 2x 8cm 60 ° H C B A 10 cm 1cm D C B A x 4 10 4 D C B A HỆ THỨC LƯỢNG CÁC BÀI TOÁN HAY GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ (Đề sưu tầm từ các vòng thi Olypic đầu tiên- lớp 9) Bài 1:Cho. x – y = 3 ⇒ y = x – 3 thay vào đẳng thức x. y = 108 ta được phương trình: x (x – 3) = 108 ⇔ x 2 – 3x – 108 = 0 (1) ⇔ x 2 – 12x + 9x – 108 = 0 ⇔ ( x – 12)(x + 9) = 0 Nghiệm dương của