ĐỀ THI HSG Toán 8 -2011

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học: 2010-2011 Môn :Toán - Lớp : 8 (Thời gian làm bài: 120 phút) Bài 1 (2đ): Tìm nghiệm nguyên dơng x, y, z sao cho: x 1 + y 1 + z 1 =1 Bài 2 (1đ): So sánh 100 3 2 và 100 2 3 Bài 3 (2đ): Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất thoả mãn điều kiện:Chia cho 2 d 1,chia cho 3 d 2,chia cho 4 d 3 và chia cho 5 d 4. Bài 4 (2đ): a) Cho t giỏc ABCD cú 0 100 == BA ; 0 80 = D . a) Tớnh C b) Chng minh t giỏc ABCD l hỡnh thang cõn c) AC ct BD ti I, AD ct BC ti K. Chng minh IK AB. b) Cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A. Ly im M bt kỡ nm gia hai im B v C. Tỡm v trớ im M MB 2 + MC 2 cú giỏ tr nh nht. Bài 5 (1đ): Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho số a= 2 8 +2 11 +2 n là số chính ph- ơng Bài 6 (2đ): Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : x 2 + y 2 + z 2 = x 2 y 2 . Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học: 2010-2011 Môn :Toán - Lớp : 8 (Thời gian làm bài: 120 phút) Bài 1 (2đ): Tìm nghiệm nguyên dơng x, y, z sao cho: x 1 + y 1 + z 1 =1 Bài 2 (1đ): So sánh 2 3 100 và 3 2 100 Bài 3 (2đ): Tìm số nguyên dơng nhỏ nhất thoả mãn điều kiện:Chia cho 2 d 1,chia cho 3 d 2,chia cho 4 d 3 và chia cho 5 d 4. Bài 4 (2đ): Cho tam giác AHM vuông tại H. Kẻ phân giác MN ( N AH).Vẽ tia AE MN tại E. AE cắt MH tại B Tính S ABM , S ABH biết AM= p, AN= q Bài 5 (1đ): Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho số a= 2 8 +2 11 +2 n là số chính phơng Bài 6 (2đ): Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : x 2 + y 2 + z 2 = x 2 y 2 . Ngời ra đề Xác nhận của hiệu trởng Nguyễn Trọng Khái Nguyễn Anh Xuân hớng dẫn chấm thi Học kỳ II Môn: Toán 8 Năm học:2010- 2011 Câu Đáp án Thang điểm Bài 1 (2đ) Giả sử x y z > 0 x 1 + y 1 + z 1 z 3 1 z 3 0< z 3 + Nêu z= 1 x 1 + y 1 =0 Không có giá trị x, y thoả mãn + Nếu z = 2 x 1 + y 1 = 2 1 Có x y x 1 + y 1 y 2 2 1 y 2 0< y 4 y= {1,2,3,4} (0,25đ) ( 0.25đ) (0,25đ) y=1 thì x 1 + 1 = 2 1 Không có giá trị nào của x thoả mãn y= 2 thì x 1 + 2 1 = 2 1 Không có giá trị nào của x thoả mãn y= 3 thì x 1 + 3 1 = 2 1 x=6 (6,3,2) là 1 nghiệm y= 4 thì x 1 + 4 1 = 2 1 x=4 (4,4,2) là 1 nghiệm + Nếu z = 3 x 1 + y 1 = 3 2 Có x y x 1 + y 1 y 2 3 2 y 2 0< y 3 y= {1,2,3 } y=1 thì x 1 + 1 = 3 2 Không có giá trị nào của x thoả mãn y= 2 thì x 1 + 2 1 = 3 2 x=6 (6,2,3) là 1 nghiệm y= 3 thì x 1 + 3 1 = 3 2 x=3 (3, 3, 3) là 1 nghiệm Vậy (x, y, z) = { (6,3,2) , ( 4, 4, 2), (3, 3, 3)}= (y, x, z) = (z, y,x) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) Bài 2 (1đ) Ta có ( 2 3 ) 2 > 2 ( 2 3 ) 100 > 2 3 100 > 2. 2 100 100 100 100 100 3 2.2 2 2 2 2 4 3> = > Vậy 100 100 3 2 2 3> (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) Bài 3 (2đ) Ta có: a 1(mod 2) ; a 2(mod3) ; a 3(mod 4) ; a 4(mod 5) 20a 40(mod 60) 15a 45(mod 60) 12a 48(mod 60) 47a 133(mod 60) 13(mod 60) 47a=60t+13 60 13 13 13 47 47 t t a t + + = = + Đặt 13 13 47 13 8 3 1 47 13 13 t k k k t k + = = = + Đặt 8 13 5 13 8 8 k u u u k u= = = + Đặt 5 8 3 8 5 5 u v v v u v= = = + Đặt 3 5 2 5 3 3 v p p p v p= = = + Đặt 2 3 3 2 2 p q q q p q= = = + Đặt 2 2 q l q l= = (với t,k,u,v,p,q,l Z + ) p=2l+l=3l v=3l+2l=5l u=5l+3l=8l k=8l+5l=13l t=3.13l-1+8l=47l-1 a=47l-1+13l=60l-1 Vì a là số nguyên dơng nhỏ nhất Chọn l=1 a=59 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) Đáp số:a=59. Bài 4 (2đ) : a) Tớnh c C = 80 0 1,0 b) Tớnh c: 0 180 =+ DA ; gii thớch AB//CD ABCD l hỡnh thang Chng minh tip t giỏc ABCD l hỡnh thang cõn c) Chng minh tam giỏc IAB cõn ti I; suy ra: IA=IB Chng minh tam giỏc KAB cõn ti K; suy ra: KA=KB KI l ng trung trc ca on thng AB, suy ra IK AB. b : Tỡm v trớ im M MB 2 + MC 2 cú giỏ tr nh nht. V MH AB; MK AC MB 2 = 2MH 2 ; MC 2 = 2MK 2 MK = AH MC 2 = 2AH 2 MB 2 + MC 2 = AM 2 MB 2 + MC 2 cú GTNN AM cú GTNN M l trung im ca BC Bài 5 (1đ) + Nếu n = 8 a = 2 8 +2 11 +2 8 = 2 9 (1+4) = 5. 2 9 (loại) + Nếu n< 8 a = 2 8 .( 9 + 2 n-8 ) n = { 1,2 7} a không phải là số chính phơng + Nếu n > 8 a =2 8 .( 9 + 2 n-8 ) a là số chính phơng ( 9 + 2 n-8 ) = p 2 2 n-8 = (p-3).(p+3) Có (p+3)-(p-3) =6 2 n-8 là tích của hai số có hiệu bằng 6 và mỗi số phải là luỹ thừa của 2 p - 3 = 2 p + 3 = 8 p = 5 Với p =5 2 n-8 = 2.8 = 2 4 n - 8 = 4 n = 12 KL : n = 12 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) Bài 6 (2đ) Vì x , y có vai trò nh nhau ta có: VP = x 2 y 2 = (xy) 2 )4(mod1 )4(mod0 TH1:x chẵn ,y lẻ :Suy ra VP 0 (mod 4) Từ (*) suy ra z lẻ Đặt x = 2a, y = 2b+1 , z = 2c +1 (a,b,c thuộc Z) Khi đó VT có dạng (4d +2) ,d Z VT 2 (mod 4) Vô lý. TH2:x lẻ ,y lẻ :Suy ra VP 1 (mod 4) Từ (*) suy ra chẵn. Đặt x = 2a+1, y = 2b+1 , z = 2c (a,b,c thuộc Z) Khi đó VT có dạng (4d +2) , d Z VT 2 (mod 4) Vô lý. TH3:x chẵn ,y chẵn : VP 0 (mod 4) Từ (*) suy ra z chẵn .Đặt x = 2a, y = 2b, z = 2c PT (*) 4a 2 + 4b 2 + 4c 2 = 16a 2 b 2 a 2 + b 2 + c 2 = 4a 2 b 2 Dễ dàng chỉ ra đợc a,b,c chẵn .Đặt a = 2A, b = 2B, c= 2C . PT (*) 4A 2 +4B 2 + 4C 2 = 64A 2 B 2 (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) A B C D I K K H M K C B A H A B C M A 2 + B 2 + C 2 = 16A 2 B 2 Lập luận tơng tự nh trên,nếu( x 0 , y 0 , z 0 ) là nghiệm của phơng trình (*) thì 0 0 0 ; ; 2 2 2 k k k x y z Z Z Z , * k N Do đó : x 0 = y 0 = z 0 = 0 Ngợc lại :( 0 , 0, 0 ) là nghiệm của phơng trình. KL:PT đã cho có nghiệm là ( 0 , 0 , 0 ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) Ngời ra đề Xác nhận của hiệu trởng Nguyễn Trọng Khái Nguyễn Anh Xuân . n = 8 a = 2 8 +2 11 +2 8 = 2 9 (1+4) = 5. 2 9 (loại) + Nếu n< 8 a = 2 8 .( 9 + 2 n -8 ) n = { 1,2 7} a không phải là số chính phơng + Nếu n > 8 a =2 8 .( 9 + 2 n -8 ) a. 2 8 +2 11 +2 n là số chính ph- ơng Bài 6 (2đ): Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : x 2 + y 2 + z 2 = x 2 y 2 . Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học: 201 0-2011 Môn :Toán - Lớp : 8 (Thời. 2 n -8 ) = p 2 2 n -8 = (p-3).(p+3) Có (p+3)-(p-3) =6 2 n -8 là tích của hai số có hiệu bằng 6 và mỗi số phải là luỹ thừa của 2 p - 3 = 2 p + 3 = 8 p = 5 Với p =5 2 n -8 = 2 .8 =