Đề thi và đáp án HSG Toán 8-Thanh Chương

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG. NĂM HỌC 2010 – 2011. Môn thi: TOÁN 8 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: a) Phân tích đa thức thành nhân tử: 201120102011 24 +++ xxx b) Tìm các số nguyên yx; sao cho: 33 3 =+ xyx . c) Tìm các hằng số a và b sao cho baxx ++ 3 chia cho 1+x dư 7; chia cho 2−x dư 4. Câu 2: a) Tính giá trị biểu thức: A= xyyxyxyx 2)1(425 222 +−+−−−+++ với 5032011 16;2 == yx b) Tìm x để B có giá trị nhỏ nhất: B 2 2 2 2011x x x − + = với x > 0. Câu 3: Chứng minh rằng a) 20002011 112011 20002011 112011 33 33 + + = + + b) Nếu ;m n là các số tự nhiên thỏa mãn : nnmm +=+ 22 54 thì : m n− và 5 5 1m n+ + đều là số chính phương. Câu 4 : Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình thang ABCD (AB//CD). Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N. a) Chứng minh OM=ON. b) Chứng minh MNCDAB 211 =+ . c) Biết .; 22 bSaS CODAOB == Tính ABCD S ? d) Nếu 0 90 ˆ ˆ << CD . Chứng minh BD > AC. HẾT./. ĐỀ CHÍNH THỨC UBND HUYỆN THANH CHƯƠNG PHÒNG GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG KHỐI 8 NĂM HỌC 2010 – 2011. Môn thi: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu: Nội dung Điểm 1a 0,75đ a/ 201120102011 24 +++ xxx = )1()1(2010 32234 −−+++++ xxxxxx 0,5 = ( )( ) 20111 22 +−++ xxxx 0,25 b/ 33 3 =+ xyx ( ) 33 2 =+⇔ yxx . Do yx; là các số nguyên nên ta có: 0,25 0,75đ TH1:    = = ⇔    =+ = 0 1 33 1 2 y x yx x (thỏa mãn) hoặc 2 3 3 26 3 1 x x y x y = =   ⇔   = − + =   (thỏa mãn) 0,25 TH2:    −= −= ⇔    −=+ −= 6 1 33 1 2 y x yx x (thỏa mãn) hoặc 2 3 3 28 3 1 x x y x y = − = −   ⇔   = − + = −   (thỏa mãn) 0,25 0,75đ c/ Vì baxx ++ 3 chia cho 1 + x dư 7 nên ta có: baxx ++ 3 = ( ) 7)(.1 ++ xQx do đó với 1 −= x thì -1-a+b=7, tức là a-b = -8 (1). 0,25 Vì baxx ++ 3 chia cho 2 − x dư 4 nên ta có: baxx ++ 3 = ( ) 4)(.2 +− xPx do đó với 2 = x thì 8+2a+b=4, tức là 2a+b=-4 (2). 0,25 Từ (1) và (2) suy ra a=-4;b=4. 0,25 2. a. 0,75đ a/ Ta có: ( ) ( ) 021425 22 22 ≥−++=−+++ yxyxyx với mọi yx; nên ta có: 0,25 A= ( ) xyyxyxyx 21425 2 22 +−+−−+++ = 4)2(242422221425 2222 +−=+−=+++−−−−−+++ yxyxxyyxxyyxyxyx 0,25 Thay ( ) 2012 503 45032011 2216;2 ==== yx vào A ta có: A= ( ) 4422.2.2 20122011 =+− 0,25 b 1,0đ b/ B= 2 2 20112 x xx +− = 2 22 2011 20112011 22011 x xx +− 0,5 = ( ) ( ) 2011 2010 2011 2011( 2011 2010 2011 20112010 2 2 2 2 2 ≥ − += −+ x x x xx . 0,25 Dấu “=” xẩy ra khi 2011 = x . 0,25 Vậy GTNN của B là 2011 2010 đạt được khi 2011=x . 3. a/ Đặt a=2011; b=11; c=2000. Khi đó ta có a=b+c. 0,25 1,0đ Xét vế phải đẳng thức ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 33 33 33 33 20002011 112011 cacaca bababa ca ba +−+ +−+ = + + = + + 0,25 Thay a=b+c vào ( ) ( ) 222 2 22 cbcbbbcbcbbaba ++=++−+=+− 0,25 ( ) ( ) 222 2 22 cbcbcccbcbcaca ++=++−+=+− 0,25 Nên 2222 cacababa +−=+− . 0,25 Vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) 20002011 112011 20002011 112011 22 22 33 33 33 33 + + = + + = +−+ +−+ = + + = + + ca ba cacaca bababa ca ba N M O D C A B 1,0đ b/Ta có nnmm +=+ 22 54 ( ) ( )( ) 2222 1555 mnmnmmnmnm =++−⇔=−+−⇔ (*) 0,5 Gọi d là ƯCLN(m-n;5m+5n+1) ⇒ (5m+5n+1)+5m-5n  d ⇒ 10m+1  d Mặt khác từ (*) ta có: 2 m  d 2 ⇒ m  d. Mà 10m+1  d nên 1  d ⇒ d=1 0,25 Vậy m-n;5m+5n+1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương. 0,25 4. hình vẽ 0,25 1,0đ a/ Ta có BD OB AC OA = Do MN//DC ⇒ DC ON DC OM = ⇒ OM=ON. 0,5 0,5 1,0đ b/ Do MN//AB và CD ⇒ AD AM CD OM = và AD DM AB OM = . Do đó: 1 OM OM AM MD DC AB AD + + = = (1) 0,25 Tương tự: 1=+ AB ON DC ON (2) 0,25 Từ (1);(2) ⇒ 2=+ AB MN DC MN 0,25 ⇒ MNABDC 211 =+ 0,25 1,0 0,75 c/ Hai tam giác có cùng đường cao thì tỉ số diện tích 2 tam giác bằng tỉ số giữa 2 cạnh đáy tương ứng. Do vậy : OD OB S S AOD AOB = và OC OA S S COD AOD = 0,25 Nhưng OC OA OD OB = ⇒ COD AOD AOD AOB S S S S = ⇒ 222 baSSS CODAOB AOD == nên abS AOD = . Tương tự abS BOC = .Vậy ( ) 2 baS ABCD += 0,5 0,25 d/ Hạ AH, BK vuông góc với CD tại H và K Do 0 90 ˆ ˆ << CD nên H, K nằm trong đoạn CD Ta có AEADDCDCBDEA >⇒>== ˆ ˆˆ ˆ . Tứ giác BCEA là hình bình hành nên BC=AE Vậy AD>BC ⇒ DH>KC ⇒ DK > CH. 0,25 0,25 Theo định lý pitago cho tam giác vuông BKD ta có : 2 2 2 2 2 2 DB BK DK AH CH AC= + > + = 0,25 E K H D C A B (Do 2 2 )AH BK BD AC= ⇒ > HS làm các cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa . AC. HẾT./. ĐỀ CHÍNH THỨC UBND HUYỆN THANH CHƯƠNG PHÒNG GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG KHỐI 8 NĂM HỌC 2010 – 2011. Môn thi: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu:. PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG. NĂM HỌC 2010 – 2011. Môn thi: TOÁN 8 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: a) Phân tích đa thức. n− và 5 5 1m n+ + đều là số chính phương. Câu 4 : Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình thang ABCD (AB//CD). Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và