KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 môn toán

KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn Toán. Thời gian 180 phút Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số 3 3 2y x x= − + 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Biện luận theo m số nghiệm phương trình 3 3 2 0x x m− + − = Câu 2(1,0 điểm) 1. Giải phương trình 2 2sin 3sin 2 2 0x x+ − = 2. Gọi z 1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình: 2 2 10 0z z + + = . Tính giá trị của biểu thức A = 2 2 1 2 z z + Câu 3 (0, 5 điểm) Giải bất phương trình 2 2 1 2 log ( 1) log ( 1)x x− ≥ − Câu 4 (1,0 điểm) Giải bất phương trình sau: xx x 1 1 1 −−− > x x 1− . Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân ( ) . 1 0 2 ∫ += xdxexI x Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = 2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 0 . Gọi M là trung điểm của SD. Tính theo a thể tích của khối chóp SABCD và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC) Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 15. Đường thẳng AB có phương trình 2 0x y− = . Trọng tâm của tam giác BCD là điểm 16 13 ; 3 3 G    ÷   . Tìm tọa độ bốn đỉnh của hình chữ nhật biết điểm B có tung độ lớn hơn 3. Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(- 4;1;3) và đường thẳng d: 1 1 3 2 1 3 x y z+ − + = = − . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với đường thẳng d. Tìm tọa độ điểm B thuộc d sao cho 3 3AB = Câu 9 (0,5 điểm) Một túi đựng 6 viên bi màu đỏ và 4 viên bi màu vàng có kích thước và trọng lượng như nhau. Lấy ngẩu nhiên ra 5 viên bi. Tìm xác suất để lấy được ít nhất 3 viên bi màu vàng. . Câu 10 (1,0 điểm) Cho 2a b+ ≥ . Chứng minh rằng: 4 4 3 3 a b a b+ ≥ + / Hết / HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu Điểm 1 a) b) a) + TXĐ : D R= + 2 ' 3 3y x= − 1 ' 0 1 x y x =  = ⇔  = −  + Giới hạn : x Lim y →−∞ = −∞ ; x Lim y →+∞ = +∞ + Bảng biến thiên : x −∞ -1 1 +∞ 'y + 0 – 0 + y 4 +∞ −∞ 0 + Chiều biến thiên : - Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ; 1−∞ − và ( ) 1;+∞ . - Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 1;1− . + Cực trị: - Hàm số đạt CĐ tại D 1, ( 1) 4 C x y y= − = − = - Hàm số đạt CT tại 1, (1) 0 CT x y y= = = + Điểm đặt biệt : - Giao điểm với trục tung ( ) 0;2 - Giao điểm với trục hoành ( ) ( ) 1;0 , 2;0− + Đồ thị : f(x)=x^3-3x+2 -2 2 2 4 x y b) 3 3 3 2 0 3 2x x m x x m− + − = ⇔ − + = . Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng (d) y m= . Dựa vào đồ thị ta có: 0.25 đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ + Khi 4 0 m m >   <  thì (d) cắt (C) tại một điểm. Phương trình có 1 nghiệm. + Khi 4 0 m m =   =  thì (d) cắt (C) tại một điểm và tiếp xúc tại một điểm. Phương trình có 2 nghiệm. + Khi 0 4m< < thì (d) cắt (C) tại ba điểm. Phương trình có 3 nghiệm. 0.25đ 0.25 đ 0.25 đ 0.25đ 2 a) b) 2 2sin 3sin 2 2 0 3sin 2 cos2x 1 1 sin 2 sin 2 sin 6 2 6 6 2 2 6 6 6 5 2 2 6 6 2 x x x x x x k x k x k x k π π π π π π π π π π π π π + − = ⇔ − =     ⇔ − = ⇔ − =  ÷  ÷       − = + = +   ⇔ ⇔     − = + = +     Ta có: ∆ = 1 2 - 10 = -9 = 9i 2 Phương trình có các nghiệm: z 1 = - 1 - 3i; z 2 = - 1 + 3i Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 3 1 3 20z z + = − + − + − + = 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 3 ĐK: 2 1 0 1 1 0 x x x  − > ⇔ >  − >  ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 log ( 1) log ( 1) log ( 1) log ( 1) 0 1 5 ( 1)( 1) 1 1 0 ( 1) 2 PT x x x x x x x x x x Do x ⇔ − ≥ − − ⇔ − + − ≥ + ⇔ − − ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ ≥ > Vậy tập nghiệm 1 5 ; 2 S   + = +∞ ÷    0.25đ 0.25đ 4 Ta thấy, x = 1 không phải là nghiệm pt. ĐK : 01 ≤≤− x hoặc x > 1 0 1 > − ⇒ x x Chia mỗi vế của pt cho x x 1− ta được pt : x x x x x x 1 11 1 11 − +>−⇔ − >−− (2) )1(0 −≥<∀ xx đều không phải là nghiệm bpt (2) vì VT < 1, VP > 1 1>⇒ x (2) x x x x x x x x x 1 2 1 )1( 1 2 1 11 − >+−⇔ − + − +>+⇔ x > 1 0 1 ,01 >>−⇔ x x 0.25đ 0.25đ 0.25đ Theo côsi ta có : x x x x 1 2 1 )1( − ≥+− Dấu = xảy ra 2 511 1 + =⇔=−⇔ x x x Vậy bpt đã cho có nghiệm x > 1 với . 2 51+ ≠∀x 0.25đ 5 . 3 1 | 3 ; 1 0 3 1 0 2 1 0 2 1 0 2 ==+= ∫∫∫ x dxxdxxedxxI x Đặt u = x ⇒ du = dx; 2 2 1 2 x x dv e dx v e= ⇒ = ∫∫ + =−=−=⇒ 1 0 2 1 0 2 2 21 0 2 1 0 2 4 1 | 4 1 22 1 | 2 e e e dxee x dxxe xxxx Vậy . 12 73 2 + = e I 0,25 đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 6 Gọi H là trung điểm của AB ( )SH AB SH ABCD⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Suy ra hình chiếu của SC lên (ABCD) là SH 0 ( ,( )) ( , ) 45SC ABCD SC HC SCH⇒ = = = 2 2 ABCD S a= 0.25đ 2 2 1 17 4 4 2 a SH HC a a= = + = 3 2 1 1 17 17 . .2 . 3 3 2 3 SABCD a a V B h a= = = 0.25 1 1 ( ,( )) ( ,( )) (B,( )) ( ,( )) 2 2 d M SAC d D SAC d SAC d H SAC= = = Kẻ , ( ) ( ,( ))HI AC HK SI HK AC HK SAC d H SAC HK⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = 0.25 Kẻ 1 2 BE AC HI BE⊥ ⇒ = 2 2 2 1 1 1 2 5 5 a a BE HI BE BA BC = + ⇒ = ⇒ = Suy ra 2 2 2 1 1 1 17 17 ( ,( )) 89 89 a a HK d M SAC HK HI HS = + ⇒ = ⇒ = 0.25 7 Ta có 10 3 10 ( , ) . 5 3 5 2 3 5 3 5 d G AB BC AB= ⇒ = = ⇒ = Gọi d là đường thẳng qua G và vuông góc với (AB) ( ) : 2 15 0d x y⇒ + − = 0.25 Gọi 1 (6;3) 5 3 N d AB N NB AB= ∩ ⇒ ⇒ = = 0.25 2 2 2( ) (2 ; ) 5 6 8 0 (8;4) 4 b l B b b AB NB b b B b =  ∈ ⇒ = ⇔ − + = ⇔ ⇒  =  0.25 3 (2;1) 3 (7;6). (1;3) 2 BA BN A AC AG C CD BA D = ⇒ = ⇒ = ⇒ uuur uuur uuur uuur uuur uuur 0.25 8 Đường thẳng d có VTCP là ( ) 2;1;3u = − r Vì ( ) P d⊥ nên (P) nhận ( ) 2;1;3u = − r làm VTPT Vậy PT mặt phẳng (P) là -2(x+4) + 1(y – 1) + 3(z – 3) = 0 2 3 18 0x y z⇔ − + + − = Vì B d ∈ nên B(-1-2t;1 + t; -3+ 3t) 3 3AB = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 27 3 2 6 3 27 7 24 9 0AB t t t t t⇔ = ⇔ − + + − + = ⇔ − + = 3 3 7 t t =   ⇔  =  Vậy B(- 7;4;6) hoặc 13 10 12 ; ; 7 7 7 B   − −  ÷   0.25 đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 9 Không gian mẫu lấy 5 viên bi trong 10 viên bi là n( )Ω : C 5 10 = 252 phần tử. Gọi A là biến cố “lấy được ít nhất 3 viên bi vàng” Ta có 2 trường hợp: • 3 bi vàng và 2 bi đỏ thì số cách là:C 3 4 .C 2 6 = 60 • 4 bi vàng và 1 bi đỏ thì số cách là:C 4 4 C 1 6 = 6 0.25đ Cho nên số phần tử biến cố A là n(A): 60+6=66 Vậy xác suất cần tìm là:P(A)= )( )( Ωn An = 252 66 =26,19 0 0 0.25đ 10 Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 0 1 1 1 1 2 0 1 1 1 1 2 0 1 1 1 1 2 0 * a b a b a a b b a b b a b a b a a b b a b a a a b b b a b + ≥ + ⇔ − + − ≥ ⇔ − + − − − − − + + − ≥ ⇔ − − + − − + + − ≥ ⇔ + + − + + + − + + − ≥ Mà ( ) 2 2 0a b a b+ ≥ ⇔ + − ≥ ⇒ * đúng 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ Chú ý: Nếu HS giải cách khác vẫn đúng, căn cứ vào thang điểm của hướng dẫn chấm để cho điểm hợp lý ./. . KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn Toán. Thời gian 180 phút Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số 3 3 2y x x= − + 1. Khảo sát. Cho 2a b+ ≥ . Chứng minh rằng: 4 4 3 3 a b a b+ ≥ + / Hết / HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu Điểm 1 a) b) a) + TXĐ : D R= + 2 ' 3 3y x=. Giới hạn : x Lim y →−∞ = −∞ ; x Lim y →+∞ = +∞ + Bảng biến thi n : x −∞ -1 1 +∞ 'y + 0 – 0 + y 4 +∞ −∞ 0 + Chiều biến thi n : - Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ; 1−∞ − và