Đề thi mẫu THPT quốc gia năm 2015 môn Toán Trung tâm dạy thêm văn hóa Lê Hồng Phong

T R U N G  T Â M  D Ạ Y  T H Ê M  V Ă N  H Ó A  L Ê  H Ồ N G  P H O N G          Câ u  1 ​ (​ 2  đi ể m ) :  Ch o  hà m s ố  y =  c ó  đồ  th ị  là  ( C) .  a )   K h ả o  s á t  v à  v ẽ  đ ồ  t h ị  ( C )  c ủ a  h à m  s ố .  b ) Viế t ph ươ ng tr ìn h của t iế p tuy ến c ủa (C ) bi ết ti ếp t uyế n đi q ua đi ểm A( –1 ; 4) .  C â u  2 ​  ​( 1  đ i ể m )   T í n h t í c h  p h â n  s a u :  I  =  .   C â u 3  ​( 1 đ i ể m)   a ) Giả ip hư ơng t rìn h 3si nx + co s2x = 2.  b )  G i ả i  b ấ t  p h ư ơ n g  t r ì n h  .  Câ u 4​  ​( 1 đi ểm ) a)Tìmsốhạ ngchứax 2 ​ tro ngkhaitriểnNiu–tơn của ,vớix>0và nlàsốnguyên d ư ơn g  t h ỏ a  (t r o n g  đ ó  l ầ n  l ư ợt  l à  t ổ h ợ p  c h â ̣ p k  v à  c hỉ n h  h ợ p  ch â ̣ p  k  củ a  n ) .  b ) T ro ng gi ải cầ u l ôn g kỷ ni ê ̣ m n gà y t ru yề n t hố ng họ c s in h s in h v iê n c ó 8 ng ườ i t ha m g ia t ro ng đó có                       ha i b ạ n Vi ê ̣t  và  Na m.  Cá c đ ô ̣i đ ư ợc  ch i a là m h a i b ản g A v à B , m ỗi  bả n g g ồm 4  ng ư ời . G i ả sử  vi ê ̣c  c h i a b ả n g t h ự c h i ê ̣n  b ằ ng  c ác h  b ốc  t hă m  n gẫ u  n hi ê n , t í n h x á c s u ấ t đ ể  cả  h a i b ạ n V i ê ̣t  v à N a m n ằ m  ch u n g  m ô ̣t  b ả n g  đ ấu .   Câ u 5​ ​( 1 đi ểm )  Cho hìnhchóp S.ABCDcóđ áylàhình chữnhâ ̣t ABCDcóA D=2AB,S A⊥​(ABCD ),SC=2  và g óc g iữ a SC v à (A BC D) b ằn g 60  0​ . Tí nh t hể t íc h củ a kh ối c hó p S. AB CD v à tí nh k ho ảng c ác h gi ữa  h ai đư ờn gt hẳ ng AM và SD t ron g đó M là tr ung đi ểm củ a cạn h BC.   Câ u 6 ​( 1 đi ểm )  T ro n g k hô ng  gi a n O xy z c ho  mă ̣ t ph ẳ ng  (P ) : 2x  + y –  2z +  1 = 0  và h a i đ iể m A (1 ; – 2 ; 3 ), B ( 3;  2;  –1 ) . V i ết  p hư ơ n g t r ìn h  mă ̣ t p h ẳn g  (Q )  qu a A ,  B v à v u ô ng  g óc  (P ) . T ì m đ i ể m M t r ê n t r ục  O x s a o c ho  kho ảngc ácht ừMđ ến(Q )bằn g .  C âu7 ​(1 điể m) Tro ng m ă ̣t phẳ ng O xy c ho h ình tha ng A BCD có đáy lớn CD = 3AB , C( –3; –3) , tr ung điể m c ủa A D là                      M(3 ;1 ).T ìm tọa đô ̣ đỉ nhB bi ếtS  BCD ​ = 18, AB =  và đỉnh D cóh oàn hđ ô ̣n guy ênd ươn g.  Câ u8​( 1điểm) ​Giải hê ̣ph ươngtr ìnhsa u: .  Câ u9 ​(1 điểm ) ​Cho x, ylà các số không âm thỏa x 2 ​ + y​ 2 ​ = 2. Tìm giá trị lớn nhấ tvà nhỏ nhấ tcủ a: P= .  –Hết – 15     Đ Á P  Á N  V À  B I Ể U  Đ I Ể M  C H Ấ M    C â u  Ý  N ô ̣ i  d u n g  Đ i ể m  1   Chohà msốy = có đồthị là(C).  ∑  =  2 . 0   a  K h ả o  s á t  và  v ẽ  đ ồ  t h ị  ( C )  c ủ a  h à m  số .  ∑  =  1 . 2 5    * T â ̣ px ác đ ịnh : D = R\{ –1 }.  * G i ới  hạ n , t iê ̣ m c â ̣n :   ​ ⇒ ​  y  =  2 l à  t i ê ̣ m  c â ̣ n  n g a n g  c ủ a  đ ồ  t h ị .  ⇒ ​ x  = – 1  là  t iê ̣ m c â ̣n  đ ứn g  củ a  đồ  th ị .    0 .25   * y' =  *  y '  >  0 ,  ​ ∀ ​  x  ​ ∈ ​  D  ​ ⇒ ​  H à m  s ố  đ ồ n g  b i ế n  t r ê n  c á c  k h o ả n g  x á c  đ ị n h   0. 25    * Bả ng b iế n th iê n:  x  – ∞     – 1       + ∞   y '   +      +   y     +∞  2  2 – ∞       0 .25   *  Đ i ể m  đ ă ̣ c  b i ê ̣ t :  ( 0 ;  – 1 ) ;  ( ;  0 ) ;  ( – 2 ;  5 ) ;  )   *  Đ ồ  t h ị :              0.5  b Viế t p h ươn g  trìnhc ủatiế p  tu y ế ncủa ( C )  biếtti ế p  tu y ế nđi q u ađiểm A ( – 1;4 ) .  ∑  =0.75   (d)làtiếptuyếncủa(C)tạiM(x 0​ ;y​ 0​ ) ⇒​ (d ): y – y​ 0​  = y'( x​ 0 ​ ) (x – x​ 0​ ) ⇒​(d) :y= .    0. 25   ( d)  qu a A ​ ⇔​   ⇔ ​– 3+ 2x​ 0 ​ – 1= 4x​ 0 ​ + 4​⇔ ​2 x​ 0 ​ = –8​ ⇔​ x​ 0 ​ = –4​ ⇒​ y​ 0 ​ = 3;y '(– 4) =   0. 2 5   Vâ ̣y (d) :y = =  . 0.2 5 2  Tínhtíchphânsau:I=  ∑=1.0   I= . 0.25   *I​ 1​ = = =e–1.  0.25   *I​ 2​ = : Đă ̣t u=x ⇒​u'=e​ x​ . v'=e​ x​ ,chọnv=e x​ . ⇒​I​ 2​ = = =1.   0.25      Vâ ̣yI=e–1+1=e​. 0.25 3 a Giảiphươngtrình: 3sinx+cos2x=2(1) ∑=0.5   ⇔​1–2sin​ 2​ x+3sinx=2​⇔​2sin​ 2​ x–3sinx+1=0  ⇔​sinx=1hoă ̣csinx=   0.25   *sinx=1​⇔​  *sinx=  0.25  b Giảibấtphươngtrình: (2) ∑=0.5   Đă ̣tt=log 3​ x(x>0).  (1)​⇔​  ​⇔​ ​⇔​  0.25   ⇔​ ​⇔​t≥2. Dođótađược:log 3​ x≥2​⇔​x≥9.Vâ ̣ynghiê ̣mcủabptlàx≥9​. 0.25   4   a Tìmsốhạngchứax 2​ trongkhaitriểnNiu–tơncủa ,vớix>0vànlà sốnguyêndươngthỏamãn (trongđó lầnlượtlàtổhợp châ ̣pkvàchỉnhhợpchâ ̣pkcủan) ∑=0.5   Tacó: ​⇔​  ⇔​ ​⇔​n–2+6=15​⇔​n=11. 0.25 TRUNGTÂMDẠYTHÊMVĂNHÓALÊHỒNGPHONG     Khiđó = = . Sốhạngchứax 2​ phảithỏa ​⇔​ ​⇔​k=9. Vâ ̣ysốhạngchứax 2​ trongkhaitriểncủa là . 0.25   b Trong giải cầu lông kỷ niê ̣m ngày truyền thống học sinh sinh viên có 8 người tham                 gia trong đó có hai bạn Viê ̣t và Nam. Các đô ̣i được chia làm hai bảng A và B, mỗi                    bảng gồm 4 người. Giả sử viê ̣c chia bảng thực hiê ̣n bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên,                 tínhxácsuấtđểcảhaibạnViê ̣tvàNamnằmchungmô ̣tbảngđấu. ∑=0.5   GọiΩ​làkhônggianmẫu.SốphầntửcủaΩ​là =70 GọiClàbiếncố"cảhaibạnViê ̣tvàNamnằmchungmô ̣tbảngđấu".Tacó: SốphầntửcủaΩ​ C​ là =30. 0.25   Vâ ̣yxácsuấtđểcảhaibạnViê ̣tvàNamnằmchungmô ̣tbảngđấulà =    0.25   5  Cho hình chóp SABCD, đáy là hình chữ nhâ ̣t ABCD có AD = 2AB, SA ​⊥ (ABCD),                 SC = 2 và góc giữa SC và (ABCD) bằng 60​ 0​ . Tính thể tích của khối chóp                 S.ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SD trong đó M là trung                 điểmcủacạnhBC. ∑=1.0   *​V​ SABCD​ :TacóSA⊥​(ABCD)​⇒​SCcóhìnhchiếutrên(ABCD)làAC ⇒​ . TamgiácSACvuôngtạiA ⇒​AC=SCcos60​ 0​ =  vàSA=SCsin60 0​ = . 0.25   TacóAB 2​ +AD​ 2​ =AC​ 2​ ​⇔​5AB​ 2​ =5a​ 2​ ​⇔​AB=a. DođóS ABCD​ =AD.AB=2a​ 2​ . Vâ ̣y . 0.25   *d(AM,SD)​: ​DựnghìnhbìnhhànhAMDNvàdựngAH⊥​SNtạiH. Tacó: *AM//DN​⇒​AM//(SDN)​⇒​d(AM,SD)=d(AM,(SDN))=d(A,(SDN)). *AM​⊥​MDnênAMDNlàhìnhchữnhâ ̣t ⇒​ND​⊥​ANmàDN⊥​SA​⇒​DN​⊥​(SAN) ⇒​DN​⊥​AHmàAH⊥​SN​⇒​AH​⊥​(SDN)​⇒​d(A,(SDN))=AH. 0.25   Tacó  ⇒​AH= .Vâ ̣yd(AM,SD)= . 0.25   TrongkhônggianOxyzchomp(P):2x+y–2z+1=0,A(1;–2;3)vàB(3;2;–1). ∑=1.0 6 Viếtphươngtrìnhmă ̣tphẳng(Q)quaA,Bvàvuônggóc(P).TìmđiểmMtrêntrục OxsaochokhoảngcáchtừMđến(Q)bằng .    =(2;4;–4)vàvectơpháptuyếncủa(P)là =(2;1;–2). Gọi làvectơpháptuyếncủa(Q).Tacó: ​⇒​Chọn =(–4;–4;–6)=–2(2;2;3). 0.25   Dođó(Q):2(x–1)+2(y+2)+3(z–3)=0⇔​2x+2y+3z–7=0. 0.25   Mthuô ̣cOx⇒​M(m;0;0).Dođó:d(M;(Q))= ​⇔​  0.25   ⇔​|2m–7|=17​⇔​ .Vâ ̣yM(12;0;0)hoă ̣cM(–5;0;0). 0.25  7  Trong mă ̣t phẳng Oxy cho hình thang ABCD có đáy lớn CD = 3AB, C(–3; –3),                trungđiểmcủaADlàM(3; 1). Tìm tọa đô ̣đỉnh B biết S​ BCD = 18, AB = và D                cóhoànhđô ̣nguyêndương. ∑=1.0   Gọi =(A;B)làvectơpháptuyếncủaCD (A​ 2​ +B​ 2​ >0) ⇒​CD:A(x+3)+B(y+3)=0 ⇔​Ax+By+3A+3B=0. 0.25   Tacó:S BCD​ =S​ ACD​ =18 ⇒​d(A;CD)= ​⇒​d(M;CD)=    ⇔​ ​⇔​  ⇔​25(36A​ 2​ +48AB+16B​ 2​ )=90(A​ 2​ +B​ 2​ ) ⇔​810A​ 2​ +1200AB+310B​ 2​ =0​⇔​ . 0.25   * :ChọnB=–3⇒​A=1​⇒​(CD):x–3y–6=0​⇒​D(3d+6;d) Tacó:CD 2​ =90​⇔​(3d+9)​ 2​ +(d+3)​ 2​ =90​⇔​(d+3)​ 2​ =9​⇔​d=0hayd=–6 ⇒​D(6;0)(nhâ ̣n)hayD(–12;–6)(loại).Vâ ̣yD(6;0)⇒​A(0;2) Tacó ​⇒​B(–3;1). 0.25   * :ChọnB=–27⇒​A=31​⇒​CD:31x–27y+12=0 ⇒​ ​⇒​ ​⇒​ (loại) Vâ ̣yB(–3;1)​. 0.25  8  Giảihê ̣phươngtrìnhsau:  ∑=1.0 Đ/C:235NguyễnVănCừ,P4,Q5,TP.HCM(38322293)Website: ttdtvh.lehongphong.edu.vn    Điềukiê ̣n:–2≤x≤2vày≥0 (1)​⇔​ ​⇔​  0.25   ​ :(2)​⇔​ (3) Đă ̣tt= ​⇒​ . Dođó:(3)⇔​2t=t​ 2​ ​⇔​  0.25   ⇔​ ​⇔​  ​⇔​ ​⇔​ ​⇔​ . Khix= ​⇒​y= vàkhix=2⇒​y=0. 0.25   * ≤0mày≥0⇒​y=0vàx=2.Thửlạitacóx=2,y=0lànghiê ̣m. Vâ ̣yhê ̣đãchocó2nghiê ̣mlà . 0.25 9  Chox,ylàcácsốkhôngâmthỏax 2​ +y​ 2​ =2.Tìmgiátrịlớnnhấtvànhỏnhấtcủa: P=   ∑=1.0   * ​⇒​ ​⇒​ . *4=(1​ 2​ +1​ 2​ )(x​ 2​ +y​ 2​ )≥(x+y)​ 2​ ​⇒​2≥x+y ⇒​2(x​ 3​ +y​ 3​ )≥(x+y)(x​ 3​ +y​ 3​ )≥ ​⇒​x​ 3​ +y​ 3​ ≥2. Đă ̣tt=x 3​ +y​ 3​ .Tacó . 0.25   Tacó: *2​ 3  =(x​ 2​ +y​ 2​ )​ 3​ =x​ 6​ +y​ 6​ +3x​ 2​ y​ 2​ (x​ 2​ +y​ 2​ ) =x​ 6​ +y​ 6​ +6x​ 2​ y​ 2​ =(x​ 3​ +y​ 3​ )​ 2​ –2x​ 3​ y​ 3​ +6x​ 2​ y​ 2  ⇒​​2x​ 3​ y​ 3​ –6x​ 2​ y​ 2​ =t​ 2​ –8 *2(x​ 3​ +y​ 3​ )=(x​ 3​ +y​ 3​ )(x​ 2​ +y​ 2​ )=x​ 5​ +y​ 5​ +x​ 2​ y​ 3​ +x​ 3​ y​ 2​ =x​ 5​ +y​ 5​ +x​ 2​ y​ 2​ (x+y) ⇒​​x​ 5​ +y​ 5​ +x​ 2​ y​ 2​ (x+y)=2t​. 0.25   P =  =–4x​ 3​ y​ 3​ +12x​ 2​ y​ 2​ +5(x​ 5​ +y​ 5​ )+5x​ 2​ y​ 2  =–2(2x​ 3​ y​ 3​ –6x​ 2​ y​ 2​ )+5(x​ 5​ +y​ 5​ )+5x​ 2​ y​ 2   =–2(t​ 2​ –8)+5[x​ 5​ +y​ 5​ +x​ 2​ y​ 2​ (x+y)]=–2t​ 2​ +10t+16=f(t). 0.25   f'(t)=–4t+10;f'(t)=0​⇔​t= . 0.25 Đ/C:235NguyễnVănCừ,P4,Q5,TP.HCM(38322293)Website: ttdtvh.lehongphong.edu.vn   T a  c ó :  f ( 2 )  =  2 8 ;    v à  .  Vâ ̣ y và  .  . ̣ph ươngtr ìnhsa u: .  Câ u9 ​(1 điểm ) ​Cho x, ylà các số không âm thỏa x 2 ​ + y​ 2 ​ = 2. Tìm giá trị lớn nhấ tvà nhỏ nhấ tcủ a: P= .  –Hết – 15     Đ Á P  Á N  V À  B I Ể U  Đ I Ể M  C H Ấ M    C â u  Ý  N ô ̣ i  d u n g  Đ i ể m  1   Chohà msốy =. lầnlượtlàtổhợp châ ̣pkvàchỉnhhợpchâ ̣pkcủan) ∑=0.5   Tacó: ​⇔​  ⇔​ ​⇔​n–2+6= 15 ​⇔​n=11. 0.25 TRUNGTÂMDẠYTHÊMVĂNHÓALÊHỒNGPHONG     Khiđó = = . Sốhạngchứax 2​ phảithỏa