Câu 1. (2 đi ểm) Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 1 2 2 2y x m x m x m= + − + − + + (C m ) a. Khả o sát sự bi ến thiên và v ẽ đồ thị hàm số khi m = 2. b. Tìm m để đồ th ị hàm s ố ( C m ) có c ự c tr ị đồ ng th ờ i hoành độ c ự c ti ể u nh ỏ h ơ n 1. Câu 2. (1 đ i ể m ) Gi ả i ph ươ ng trình: sin 2 2 2(sinx+cosx)=5 x − Câu 3. (1 đ i ể m ) Gi ả i ph ươ ng trì nh: 2 2 1 1 5 5 24 x x + − − = Câu 4. (1 đ i ể m ) a) Giả i ph ươ ng trì nh ( ) 2 2 2 log 2 3 2log 4 x x − − = b) Có bao nhiêu s ố t ự nhiên có 7 ch ữ s ố khác nhau t ừng đôi m ột, trong đó ch ữ s ố 2 đứ ng liền giữa hai chữ s ố 1 và 3. Câu 5. (1 điể m) Trong mặ t phẳng vớ i hệ tọ a độ Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2 : 2 4 2 0 C x y x y + − + + = . Vi ế t phươ ng trình đườ ng tròn ( C') tâm M (5, 1) bi ết ( C' ) c ắ t ( C) t ạ i các đ i ểm A , B sao cho 3 AB = . Câu 6. (1 đi ểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, g ọi M là trung đ iểm của AB. Tam giác SAB cân tại S và n ằm trong m ặt phẳ ng vuông góc vớ i đáy ( ABCD), bi ết 2 5 SD a = , SC t ạo v ớ i m ặ t đ áy ( ABCD ) m ộ t góc 60 ° . Tính theo a th ể tích kh ố i chóp S.ABCD và kho ả ng cách gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng DM và SA . Câu 7. (1 điểm) Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ tr ụ c to ạ độ Oxy cho hình ch ữ nh ậ t ABCD có di ệ n tích b ằ ng 12, tâm I là giao đ i ể m c ủ a đườ ng th ẳ ng 0 3: 1 = − − y xd và 0 6: 2 = − + yx d . Trung đ i ể m c ủ a m ộ t c ạ nh là giao đ i ể m c ủ a d 1 v ớ i tr ụ c Ox . Tìm to ạ độ các đỉ nh c ủ a hình ch ữ nh ậ t. Câu 8. (1 điểm) Gi ả i h ệ ph ươ ng trình : 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 1 3 2 2 0 x y y x x x y y − + − − = + − − − + = Câu 9. (1 điểm) Cho x , y , z là ba s ố th ự c th ỏ a mãn 5 5 5 1 x y z− − − + + = . Ch ứ ng minh r ằ ng : 25 25 25 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 x y z x y z x y z y z x z x y+ + + + + + + ≥ + + + Hết S Ở GD& Đ T B Ắ C NINH TR ƯỜ NG THPT NGÔ GIA T Ự KÌ THI TH Ử THPT QU Ố C GIA N Ă M H Ọ C 2014 – 2015 Môn thi: TOÁN Th ời gian làm bài: 180 phút, không k ể th ờ i gian giao đề ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu Ý Nội dung Điểm 1. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 1 2 2 2y x m x m x m= + − + − + + (C m ) 200 a. .Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. 1,00 Với m = 2 ta được y = x 3 – 3x 2 + 4 Tập xác định : D = R. lim ; lim x x y y →+∞ →−∞ = +∞ = −∞ 0,25 Có 2 ' 3 6y x x= − ; 0 4 ' 0 2 0 x y y x y = ⇒ = = ⇔ = ⇒ = BBT Vậy hàm số đồng biến trên ( ) ;0−∞ và ( ) 2;+∞ ; hàm số nghịch biến trên (0;2) y CĐ = 4 tại x = 0; y CT = 0 tại x = 2 0,5 Đồ thị : + Lấy thêm điểm . + Vẽ đúng hướng lõm và vẽ bằng mực cùng màu mực với phần trình bầy 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -15 -10 -5 5 10 15 0,25 b. Tìm m để đồ thị hàm số (C m ) có cực trị đồng thời hoành độ cực tiểu nhỏ hơn 1. 1,00 Có ( ) ( ) 2 ' 3 2 1 2 2 y x m x m = + − + − Để hàm số có cực trị thì phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu qua hai nghiệm đó ( ) ( ) 2 3 2 1 2 2 0 x m x m ⇔ + − + − = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ' 2 4 5 0m m ∆ = − − > ⇔ m < - 1 hoặc m > 5 4 (1) 0,25 0,25 Khi đ ó gi ả s ử y’=0 có hai nghi ệ m phân bi ệ t x 1 , x 2 v ớ i x 1 < x 2 thì x 2 là đ i ể m c ự c ti ể u. Theo đề bài có x 1 < x 2 < 1 7 5 m ⇔ < (2) 0,25 K ế t h ợ p (1) và (2) ta đượ c… Đ áp s ố ( ) ; 1 m ∈ −∞ − 5 7 ; 4 5 ∪ 0,25 2. Gi ả i ph ươ ng trình: sin 2 2 2(sin cos )=5 x x x − + . 1,00 Đặ t sinx + cosx = t ( 2 t ≤ ). ⇒ sin2x = t 2 - 1 0,25 ⇔ 2 2 2 6 0 t t − − = ⇔ 2 t = − (t/m) 0,25 +Gi ả i đượ c ph ươ ng trình sinx + cosx = 2 − … ⇔ os( ) 1 4 c x π − = − + L ấ y nghi ệ m 0,25 K ế t lu ậ n : 5 2 4 x k π π = + ( k ∈ Z ) ho ặ c d ướ i d ạ ng đ úng khác . 0,25 3. Gi ả i ph ươ ng trì nh: 2 2 1 1 5 5 24 x x + − − = 1,00 Pt 2 2 5 5.5 24 0 5 x x ⇔ − − = Đặt ( ) 2 5 1 , x t t= ≥ , pt trở thành: 5 5 24 0t t − − = 0,5 2 5 5 24 5 0 1 5 (t/m) (loai) t t t t = ⇔ − − = ⇔ = − 0,25 V ớ i t = 5 ta có 2 2 5 5 1 1 x x x = ⇔ = ⇔ = ± 0,25 4. 1,00 a. Đ k: 3 0 2 x < ≠ 2 2 2 2log 2 3 2log 4 2 3 log 2 pt x x x x ⇔ − − = − ⇔ = 2 3 4 3 2 2 3 4 1 2 3 0 2 2 3 4 x x x x x x x x x − ⇔ = > − = ⇔ ⇔ = < < − + = 0,25 0,25 1 TH : S ố ph ả i tìm ch ứ a b ộ 123 : L ấ y 4 ch ữ s ố ∈ { } 0;4;5;6;7;8;9 : có 4 7 A cách Cài b ộ 123 vào v ị trí đầ u,ho ặ c cu ố i,ho ặ c gi ữ a hai ch ữ s ố li ề n nhau trong 4 ch ữ s ố v ừ a l ấ y: có 5 cách → có 5 4 7 A = 5.840 = 4200 s ố g ồ m 7 ch ữ s ố khác nhau trong đ ó ch ứ a b ộ 123 Trong các số trên, có 4 3 6 A = 4.120 = 480 số có chữ số 0 đứng đầu → Có 5 4 7 A - 4 3 6 A = 3720 s ố ph ả i tìm trong đ ó có m ặ t b ộ 123 2 TH : S ố ph ả i tìm có m ặ t b ộ 321 (l ậ p lu ậ n t ươ ng t ự ) Có 3720 s ố g ồ m 7 ch ữ s ố khác nhau , có m ặ t 321 0,25 b K ế t lu ậ n: có 3720.2 = 7440 s ố g ồ m 7 ch ữ s ố khác nhau đ ôi m ộ t,trong đ ó ch ữ s ố 2 đứ ng li ề n gi ữ a hai ch ữ s ố 1 và 3 0,25 5. Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ t ọ a độ Oxy , cho đườ ng tròn ( ) 2 2 : 2 4 2 0 C x y x y + − + + = . Vi ế t ph ươ ng trình đườ ng tròn ( C' ) tâm M (5, 1) bi ế t ( C' ) c ắ t ( C ) t ạ i các đ i ể m A , B sao cho 3 AB = . 1,00 Đường tròn (C): x 2 + y 2 – 2x + 4y + 2 = 0 có tâm I(1, –2) 3R = Có IM = 5. Đườ ng tròn (C') tâm M c ắ t đườ ng tròn (C) t ạ i A, B nên AB ⊥ IM t ạ i trung đ i ể m H c ủ a đ o ạ n AB. Ta có 3 AB IA IB = = = nên ABC ∆ đề u 3 3 . 2 2 IH AB ⇒ = = TH1: I và M n ằ m khác phía v ớ i AB thì HM = IM – IH = 7 2 2 2 2 13 2 AB AM HM ⇒ = + = ( ) ( ) ( ) 2 2 ' : 5 1 13 C x y ⇒ − + − = TH2: I và M n ằ m cùng phía v ớ i AB thì HM = IM + IH = 13 2 2 2 2 43 2 AB AM HM = + = ( ) ( ) ( ) 2 2 ' : 5 1 43 C x y ⇒ − + − = 0,25 0,25 0,25 0,25 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, gọi M là trung điểm của AB . Tam giác SAB cân và n ằ m trong m ặ t ph ẳ ng vuông góc v ớ i đ áy ( ABCD ), biết 2 5SD a= , SC tạo với mặt đáy ( ABCD ) một góc 60 ° . Tính theo a th ể tích kh ố i chóp S.ABCD và kho ả ng cách gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng DM và SA . 1,00 Theo gi ả thi ế t ta có ( ) SM ABCD ⊥ MC là hình chi ế u c ủ a SC trên (ABCD) nên góc gi ữ a SC v ớ i m ặ t ph ẳ ng (ABCD) là 60 SCM = ° Trong tam giác vuông SMC và SMD ta có : 2 2 .tan60 SM SD MD MC = − = ° mà ABCD là hình vuông nên MC = MD 2 2 2 3 5 SD MC MC MC a ⇒ − = ⇒ = 15 SM a ⇒ = L ạ i có 2 2 2 2 5 2 2 4 AB BC MC BC BC a = + = ⇒ = 2 4 ABCD S a ⇒ = V ậ y 3 . 1 4 15 . 3 3 S ABCD ABCD a V SM S = = *) D ự ng hbh AMDI ta có AI // MD nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , DM SA DM SAI M SAI d d d = = K ẻ MH AI ⊥ và MK SH ⊥ . Ch ứ ng minh ( ) ( ) , M SAI d MK = Tính đượ c 2 2 15 5 79 a a MH MK = ⇒ = .KL… 0,25 0,25 0,25 0,25 7. Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ tr ụ c to ạ độ Oxy cho hình ch ữ nh ậ t ABCD có di ệ n tích b ằ ng 12, tâm I là giao đ i ể m c ủ a đườ ng th ẳ ng 0 3 : 1 = − − y x d và 0 6 : 2 = − + y x d . Trung đ i ể m c ủ a m ộ t c ạ nh là giao đ i ể m c ủ a d 1 v ớ i tr ụ c Ox . Tìm to ạ độ các đỉ nh c ủ a hình ch ữ nh ậ t. 1,00 Ta có: I d d 2 1 = ∩ . To ạ độ c ủ a I là nghi ệ m c ủ a h ệ : = = ⇔ = − + = − − 2/3 y 2/9 x 0 6 y x 0 3 y x . V ậ y 2 3 ; 2 9 I Do vai trò A, B, C, D nên gi ả s ử M là trung đ i ể m c ạ nh AD Ox d M 1 ∩ = ⇒ Suy ra M( 3; 0) Ta có: 23 2 3 2 9 32IM2AB 2 2 = + −== Theo gi ả thi ế t: 2 2 2 3 12 AB S AD 12 AD . AB S ABCD ABCD = = = ⇔ = = Vì I và M cùng thu ộ c đườ ng th ẳ ng d 1 AD d 1 ⊥ ⇒ Đườ ng th ẳ ng AD đ i qua M ( 3; 0) và vuông góc v ớ i d 1 nh ậ n )1;1(n làm VTPT nên có PT: 0 3 y x 0 )0 y(1 )3 x(1 = − + ⇔ = − + − . L ạ i có: 2 MD MA = = To ạ độ A, D là nghi ệ m c ủ a h ệ PT: ( ) = + − = − + 2 y 3 x 0 3 y x 2 2 ( ) ( ) ±= − −= ⇔ = − + − + −= ⇔ = + − + − = ⇔ 1 3 x x3y 2 )x 3( 3 x 3 x y 2 y 3 x 3 x y 2 2 2 2 = = ⇔ 1 y 2 x ho ặ c − = = 1 y 4 x . V ậ y A( 2; 1), D( 4; -1) Do 2 3 ; 2 9 I là trung đ i ể m c ủ a AC suy ra: = − = − = = − = − = 2 1 3 y y2 y 7 2 9 x x2 x A I C A I C T ươ ng t ự I c ũ ng là trung đ i ể m c ủ a BD nên ta có B( 5; 4) V ậ y to ạ độ các đỉ nh c ủ a hình ch ữ nh ậ t là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1) 0,25 0,25 0,25 0,25 Gi ả i h ệ ph ươ ng trình 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 (1) 1 3 2 2 0 (2) x y y x x x y y − + − − = + − − − + = 1,00 Đ i ề u ki ệ n: 2 2 1 0 1 1 0 2 2 0 x x y y y − ≥ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ − ≥ 0,25 Đặ t t = x + 1 ⇒ t ∈ [0; 2]; ta có (1) ⇔ t 3 − 3 t 2 = y 3 − 3 y 2 . Hàm s ố f ( u ) = u 3 − 3 u 2 ngh ị ch bi ế n trên đ o ạ n [0; 2] nên: (1) ⇔ y = t ⇔ y = x + 1 0,25 ⇒ (2) ⇔ 2 2 2 1 2 0 x x − − + = Đặt 2 1v x= − ⇒ v∈[0; 1] ⇒ (2) ⇔ v 2 + 2v − 1 =2 2 1 2 3 0 3 (t/m) (loai) v v v v = ⇔ + − = ⇔ = − . 0,25 8. V ớ i v = 1 ta có x = 0 ⇒ y = 1. V ậ y h ệ có nghi ệ m (x;y) = (0;1) 0,25 9. Cho x , y , z là ba s ố th ự c th ỏ a mãn 5 5 5 1 x y z − − − + + = . Ch ứ ng minh r ằ ng : 25 25 25 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 x y z x y z x y z y z x z x y+ + + + + + + ≥ + + + 1,00 www.MATHVN.com FB.com/ThiThuDaiHoc Đặ t 5 x = a , 5 y =b , 5 z = c . T ừ gi ả thi ế t ta có : ab + bc + ca = abc B ấ t đẳ ng th ứ c c ầ n ch ứ ng minh có d ạ ng : 2 2 2 4 a b c a b c a bc b ca c ab + + + + ≥ + + + (*) ( *) ⇔ 3 3 3 2 2 2 4 a b c a b c a abc b abc c abc + + + + ≥ + + + ⇔ 3 3 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 a b c a b c a b a c b c b a c a c b + + + + ≥ + + + + + + Ta có 3 3 ( )( ) 8 8 4 a a b a c a a b a c + + + + ≥ + + ( 1) (B ấ t đẳ ng th ứ c Cô si) T ươ ng t ự 3 3 ( )( ) 8 8 4 b b c b a b b c b a + + + + ≥ + + ( 2) 3 3 ( )( ) 8 8 4 c c a c b c c a c b + + + + ≥ + + ( 3) . Cộ ng v ế v ớ i vế các b ất đẳ ng thứ c ( 1) , ( 2) , (3) suy ra đ i ều ph ả i chứ ng minh 0,25 0,25 0,25 0,25 Tổ ng : 10,00 Lư u ý: Các cách giả i khác đ úng cho đ iể ng đương t ừng ph ần. m tươ